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1 拱型结构的频率分布特点

对于一般荷载，一般的分析方法是将它分解成为不同频率的周期荷载的线性叠加［1］，这些具有不同频谱特性的周期荷载，结构动力响应不同［2］。具有相同幅值，但频率不同的周期荷载对结构的影响不大一样，因此荷载的频谱特性对结构的影响和动力稳定性起着重要的作用［3，4］。

弄清结构的自振特性是进行频谱分析的基础，结构对任意荷载的动力响应程度不仅取决于荷载的幅值，而且和结构自身的频率分布也有着密切的关系［5］，因为一般的任意荷载类似白噪声，几乎包含所有的频率，带宽较大，频率较集中的结构在此白噪声荷载的作用下，更容易引起共振［6］，而且共振时间更长，强度更大，为了全面了解拱型结构的自振特性，计算了不同矢跨比和不同杆件截面结构的前200阶频率，具体结构参数如表1所示。

表1 拱型结构参数表

从图1，图2可以看出，拱型结构的频率分布是连续“光滑的”、中间没有断层。对于同一种矢跨比、不同截面的拱型结构，频率分布特点也不尽相同，杆件较小的结构，刚度小，周期长，频率分布比较密集，密集区间较长，截面较大的结构，刚度较大，密集区间短。分析还发现，不同矢跨比的结构，自振频率的分布也有各自的特点，矢跨比大的结构平面外刚度较小，纵向振型不多，较密集，横向(平面外)的振型较多，较密集，同时伴随着与纵向及竖向的耦合扭转［7］，矢跨比小的结构，竖向振型较多。

图1 单拱自振频率分布曲线（不同矢跨比）

2 拱型结构的线性谐响应分析

持续的周期载荷作用于结构或部件上都产生持续的周期响应(谐响应)，谐响应分析可以确定线性结构在随时间以正弦规律变化的载荷作用下的稳态响应，从而得到结构部件的响应随频率变化规律。我们可以通过响应随频率的变化规律来分析结构的持续动力特性，发生在激励开始时的瞬态振动不在谐响应分析中考虑，如图3所示。

图2 单拱自振频率分布曲线（不同杆件截面）

图3 结构系统的瞬态和稳态动力响应

结构动力运动方程可写为:

方程右边的作用力{F}为简谐荷载，方程(1)的稳态解表达为:

其中，umax为位移幅值;ω为外荷载频率;φ为相位。

将式(2)进一步改写为:

令: {u1}={umaxcosφ};{u2}={umaxsinφ}。

则:

同理:

其中，{F1}={Fmaxcosφ};{F2}={Fmaxsinφ}。

将式(3)和式(4)代入式(1)消去 eiωt可得:

对不同的ω求解方程(5)即可求得不同频率的外荷载对应的结构稳态响应。

3 水平荷载作用平面内的线性谐响应分析

计算取1/3，1/5，1/7矢跨比的单榀拱结构，分别施加横向水平和纵向水平正弦荷载，激活频率从0．05 Hz逐渐增加到40 Hz，每增加0．05 Hz就计算一次结构的稳态响应，阻尼比取0．02，并选取5个特征点(见图4)，以节点1为例，其纵向水平谐响应分析结果见图5～图7。

图4 特征点分布图

图5 1/3矢跨比节点1谐响应曲线（纵向水平）

图6 1/5矢跨比节点1谐响应曲线（纵向水平）

图7 1/7矢跨比节点1谐响应曲线（纵向水平）

首先分析在平面内水平正弦荷载作用下的谐响应结果，从图5～图7可以看出，在此方向的正弦荷载作用下，各矢跨比的结构均有几个共振区段，在此共振区间，频率较密集，结构的动力响应较其他频率荷载对结构的影响大得多，在这个共振区内包括很多频率，同时每个激励频率对应的结构响应是若干振型共同参与的结果。同时可以看出在这几个共振区段中，主要是低阶频率的共振区段内的振型占优势。矢跨比不一样的结构对同一幅值的正弦荷载的响应情况也不一样，1/5矢跨比的特征点1在低阶频率共振区的最大位移达到0．11 m，而1/3，1/7矢跨比结构相应的最大位移只有0．045 m～0．05 m之间，这说明参数矢跨比对简谐荷载的动力响应很敏感;另外，从矢跨比节点谐响应曲线图可以看出，在同一个共振区段，1/3，1/7矢跨比结构的特征点3，4的位移甚至比拱部特征点1的位移还要大，这说明此时结构中部已经发生很大的外凸或内凹变形，材料早已进入塑性变形，建筑物也发生了很大的外观形变，结构易发生突然性“垮塌”，设计时不应该采用这种矢跨比结构。

4 竖向荷载作用下的线性谐响应分析

同样取矢跨比为1/3，1/5，1/7的不同模型，计算其在单位竖向正弦荷载下的谐响应过程，见图8～图10。

图8 1/3矢跨比节点1谐响应曲线（竖向荷载）

图9 1/5矢跨比节点1谐响应曲线（竖向荷载）

图10 1/7矢跨比节点1谐响应曲线（竖向荷载）

在竖向简谐荷载作用下，矢跨比小的结构的响应程度比大矢跨比结构要小，共振区较宽，且位移较小，抗竖向荷载干扰能力较强，大矢跨比的结构的共振区段出现分化，其中第一阶低频共振区位移占据绝对的地位，其他频率可以忽略不计，但位移一般较大，达到0．24 m，故矢跨比大的结构对竖向荷载的谐响应要大得多，在设计时应该引起足够的重视。

5 结语

1)通过与多层平面框架结构自振频率分布对比发现，单拱结构低阶频率基本呈线性增加，较密集，分布均匀，中间无“断层”，类似白噪声。2)分析拱型结构线性谐响应的基本理论，推导出对不同ω求得不同频率的外荷载对应的结构稳态响应结果。3)1/5矢跨比的特征点1在低阶频率共振区的最大位移达到0．11 m，而1/3，1/7矢跨比结构相应的最大位移只有0．045 m～0．05 m之间，这说明参数矢跨比对简谐荷载的动力响应很敏感。4)在同一个共振区段，1/3，1/7矢跨比结构的特征点3，4的位移甚至比拱部特征点1的位移还要大，此时结构中部已经发生了外凸或内凹变形，材料进入塑性状态，结构易发生突然性“垮塌”，设计时不应该采用这种矢跨比结构。

［1］欧进萍．结构随机振动［M］．北京:高等教育出版社，2001．

［2］李国豪．工程结构抗震动力学［M］．上海:上海科学技术出版社，1980．

［3］林家浩，李建俊．结构受多点非平稳随机地震激励的响应［J］．力学学报，1995，27(5):567-576．

［4］王君杰．多点多维地震动随机模型及结构的反应谱分析方法［R］．国家地震局工程力学研究所，1992．

［5］薛素铎．设计用随机振动地震动功率谱模型参数的取值［M］．南京:东南大学出版社，2002:148-153．

［6］Kiureghian A D，Neuenhofer A．Response spectrum method for multi-support seismic excitations［J］．Earthquake Engineering and Structure Dynamics，1992(21):713-740．

［7］李宏男，王苏岩．多维地震动作用下非对称结构扭转耦联随机反应分析［J］．建筑结构学报，1992，13(6):12-20．