刘方正，祁建清

(解放军电子工程学院，安徽 合肥230037)

1 引言

现有雷达网布站选址工作主要是以经验为基础进行的［5］。文献［6］对于不同的雷达组网方案计算区域内未发现目标概率的上界，在从上界集合中选择最小值作为最优方案。文献［7］通过分析雷达组网过程及相关性能指标，给出了雷达组网问题的数学规划方法。

目前大多数雷达网部署工作都是基于经验或确定性模型的，然而客观环境中存在诸多的不确定因素。本文考虑了雷达组网过程中的不确定条件，如雷达的生存概率、发现概率、部署费用等，分别给出了雷达数量估计和部署的随机机会约束规划，并应用智能混合算法求解随机机会约束规划，为工程实践中的雷达部署提供了理论依据。

2 雷达网选址数学规划模型

2.1 随机机会约束规划

当数学规划问题中含有随机变量时，目标函数和约束条件已不能按通常意义理解，必须为之提出一套新的规划理论并寻求相应的算法。机会约束规划有Charnes和Cooper［8］提出的第二类随机规划，其显著特点是随机约束条件至少以一定的置信水平成立。

机会约束规划提出之后，许多研究者对其进行了研究，其中文献［9，10］给出了极大化目标函数值的乐观值的机会约束规划，其形式如下:

式(1)中，x是决策向量，ξ是随机向量，f(x，ξ)是目标函数，gj(x，ξ)(j=1，2，…，p)是随机约束函数，α和β是预先给定的置信水平。

2.2 确定雷达数量的随机机会约束规划模型

在雷达组网部署中，对于给定的区域，根据区域面积及不同类型雷达的参数，首先需要估计所需雷达的数量。假设某作战区域D(面积为S)中，需要部署m种类型的雷达，其中第i种雷达的作用半径为ri，所需数量为xi。

由于雷达可能遭受发辐射武器的攻击、电力影响、装备故障等一系列因素的影响，故需考虑其生存概率，并假设第i种雷达的生存概率为随机变量Pξi。根据上述假设，可以得到下列比例数:

2.2 各血清学标记物浓度及MoM值比较 比较两组各孕周指标发现，两组AFP和uE3浓度随着孕周的增加而呈上升趋势，free-βHCG浓度则随孕周的增加而下降，见表1。但为了消除孕龄对孕母血清标记物水平的影响，故将血清标记物浓度转化为中位数倍数进行比较，两组free-βHCG MoM值差异有统计学意义（P＜0.05），见表2。

式(2)中，γi为第i种雷达覆盖作战区域的比例。

不考虑在区域D边界上的面积损失，则雷达覆盖作战区域D的比例为:

2.3 雷达部署的随机机会约束规划模型

对于给定的区域，要根据其地理位置以及需要监测的目标的航迹等特点来选择雷达站地址［6］。区域地理特点及雷达组网用途的不同，就有不同的选址方式，本文重点不在于此，不作过多探讨。本文着重研究的是从备选雷达站位置中确定出最优的雷达组网结构。

设在区域D中备选的雷达站位置为n个，第j(j=1，2，…，n)个位置的坐标为(xj，yj)，有m种类型的雷达，其中第i种雷达的作用半径为ri，生存概率为Pξi，对特定目标的发现概率为随机变量Pηi。由于各种雷达的部署费用受材料、运输、保障等一系列因素的影响，故设第i种雷达部署在位置(xj，yj)的费用为随机变量Cτij。

则区域D中(x，y)处的发现概率为:

3 混合智能算法

传统求解机会约束规划的方法是将机会约束分别转化成确定的等价形式，然后对等价的确定模型进行求解。但是，这类方法只适用于一些特殊的情形。文献［10］，将随机模拟、神经元网络和遗传算法结合在一起，设计出了混合智能算法求解一般的机会约束规划模型。模型的主要步骤如下:

(1)用随机模拟技术分别为规划P1、P2的不确定函数产生输入输出数据;

(2)根据产生的输入输出数据分别训练对应的神经元网络net1、net2来逼近不确定函数U1、U2;

(3)建立对应的遗传算法模型，分别初始化大小为pop_size1、pop_size2的种群，并利用训练好的神经元网络net1、net2检验染色体的可行性;

(4)通过交叉和变异操作更新染色体，并利用训练好的神经元网络检验子代染色体的可行性;

(5)利用训练好的神经元网络net1、net2分别计算对应染色体的目标值;

(6)根据目标值计算每个染色体的适应度;

(7)通过旋转赌轮选择染色体;

(8)重复步骤4到步骤7直到完成给定的循环次数;

(9)给出最好的染色体作为最优解。

4 算 例

给定作战区域D(面积S=16)为一正方形，假设按照雷达站选址原则已经选定了9个点(1，1)、(1，2)、(2，1)、(1，3)、(3，1)、(2，2)、(2，3)、(3，2)、(3，3)。需要两种类型的雷达，雷达1的作用半径为2，生存概率Pξ1～U［0.5，1］，对特定目标的发现概率Pη1～U［0.8，1］，部署在第j点即坐标(xj，yj)的费用Cτ1j～exp(3+xj+yj);雷达2的作用半径为1.5，生存概率Pξ2～U［0.6，1］，对特定目标的发现概率Pη2～U［0.7，1］，部署在第j点即坐标(xj，yj)的费用Cτ2j～exp(2+xj+yj)。规划P1的机会约束的置信度α为0.9，覆盖比例不小于0.9，规划P2的机会约束的置信度α为0.9，β为0.8，对区域内任一点的特定目标的发现概率不小于0.8。

(1)求解规划P1，估算所需雷达数目。根据参数设置，可得:

利用随机模拟技术(10000次循环模拟)，为规划P1产生500组输入输出数据，再执行混合智能算法(种群大小为30，交叉率为0.4，变异率为0.1，迭代次数为100)，得到最优解:()=(3，1)。

(2)求解规划P2，选择出最优布站点。根据规划P1的求解，可得规划P2如下:

利用随机模拟技术(10000次循环模拟)，为规划P2产生3000组输入输出数据，再执行混合智能算法(种群大小为30，交叉率为0.5，变异率为0.2，迭代次数为500)，得到两型雷达的最优部署位置a14，a16，a18，a26，部署费用目标值为46.0287。

5 总结

目前在考虑雷达网的选址、布站时，大多采用人工作业的主观方法或采用常规的环形部署、线性部署等方法。人工作业的主观方法主要依靠经验，而经验需要大量的实践积累且往往不可靠;常规的环形部署、线性部署等方法在考虑部署问题时往往没有考虑地理、经济等因素的影响，选出来的站点往往并不能布站。本文采用了基于机会约束规划的雷达网部署模型，考虑了实际布站中的多方面不确定因素，引入了多个随机变量建立随机规划，并应用混合智能算法得到随机机会约束条件下的最优雷达网结构。

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9 LIU B.Uncertain Programming［M］.New York:Wiley，1999.

10 刘宝碇，赵瑞清，王纲.不确定规划及应用［M］.北京:清华大学出版社，2006.