李勇

（重庆工商大学数学与统计学院，重庆400067）

随机信息中正态方差的灰色估计

李勇

（重庆工商大学数学与统计学院，重庆400067）

利用随机信息进行参数估计，是数理统计学的基本内容。但经典统计学的理论和方法，都是建立在参数是明确数据的基础上。而现实社会经济生活中的参数，具有大量不确定性或认识的模糊灰色性。文章在Neyman的置信区间理论基础上，借助灰色系统的方法，在随机样本的信息下，对正态方差的灰色估计进行了研究，求出了正态方差的灰数估计及其白化权函数；并列举实例以示其应用。

随机信息；正态方差；灰色估计

1 灰数的定义

灰色系统理论是1982年邓聚龙提出的，是处理少数据不确定性问题的理论。少数据不确定性即称灰性。而灰统计是指将统计对象的实际样本通过白化权函数抽象为数字量（即灰统计量），按此灰统计量统计出对象所属灰类的权。

灰数指只知道大概范围而不知其确切值的数，常指某个区间或某个一般数集内取值的不确定数。本文的灰数主要指三角形（态）的区间灰数⊗∈[a，b]，灰数的白化值记为=ax+(1-x)b，x∈[0，1]，灰数的白化权函数主要指三角形（态）（适中测度）白化权函数，其一般形式为：

2 灰色估计

灰色估计是指使用灰数作为概率密度函数或离散的概率质量函数的参数估计值。首先，利用Neyman的置信区间理论，来获得作为参数估计值的灰数。令X为随机变量且f(x,θ)（θ为参数）为其概率密度函数或概率质量函数。设随机样本x1，…xn，令Y＝μ(x1,…xn)是用以估计参数θ的统计量，在给定随机变量值为Xi=xi，1≤i≤n的情形下，能得到θ的点θ*=y=u(X1，…，Xn)。从而得参数θ的（1-β）100%的置信区间，其中β值取为0.01。

其区间表示为：

在(2)中，0.01≤β≤1，当β=1时，即为0%置信区间，此时以点估计值θ*的[θ*，θ*]表示置信区间。

3 正态方差的灰色估计

设X是一个服从正常分布N(μ，σ2)的随机变量，μ和σ2都是未知参数。现随机抽取一组来自N(μ，σ2)的随机样本X1，……，Xn，估计其参数σ2。设这组随机样本值为x1，…，xn，则未知参数σ2的点估计值可表示如下：

又由于(n-1)s2/σ2服从自由度为n-1的卡方分布，因此：

根据上述讨论，利用正态方差σ2的(1-β)的置信区间对正态方差σ2进行灰色估计。设正态方差σ2的灰色估计数为是三角形（态）区间灰数。在当0.01≤β≤1时，正态方差σ2的灰色估计数为的白化权函数(x)为：

且α1=θ1(0.01)，α2=θ2(0.01)。

4 应用实例

例：为了比较不同国家或地区之间的真正实际生活水平，不能简单地利用货币来计算，需要利用“购买力平价”（简称PPP）方法来测度。假定根据“PPP”方法测算的重庆市一地区人均月收入（元）X服从正态分布N(μ，σ2)，其总体均值μ和σ2未知。现根据简单随机抽样获得一组来自该总体的有效随机样本X1…，X121，样本均值为2658元，样本方差为1000。在置信水平99%下，求该正态总体方差σ2的灰色估计。

解：由（8）得，σ2的99%置信区间为：

则可求得该总体方差σ2的灰色估计数，灰数的白化权函数为：

5 结论

利用随机信息进行参数估计，是数理统计学的基本内容。但经典统计学的方法，都是建立在参数是明确数据基础上的参数估计理论和方法。而现实社会经济生活中的大多数参数，具有不确定性或认识的模糊灰色性。本文在Neyman的置信区间理论基础上，借助于灰色系统的方法，研究了在随机样本的信息下，对正态方差的灰色估计研究，这比点估计或Neyman的置信区间能够提供相对多的有效信息。

[1]陈希孺.数理统计引论[M].北京:科学出版社,1981.

[2]李勇，张维，陈正伟.随机样本中正态均值的灰色区间估计研究[J].统计与决策，2010，（13）.

[3]刘思峰，党耀国，方志耕等.灰色系统理论及其应用（第5版）[M].北京：科学出版社，2010.

[4]James J.Buckley.Fuzzy Statistics[M].Berlin：Springer-Verlag，2004.

C32

A

1002－6487（2011）07－0024-02

国家社会科学基金资助项目（09XTJ002）；国家自然科学基金资助项目（10871217）

李勇（1970－），男，重庆人，博士，研究方向：统计学理论及应用。

（责任编辑/浩天)