曹振洲，程衍富

(中南民族大学电子信息工程学院，武汉430074)

石墨烯中费米子(电子和空穴)的运动遵循狄喇克方程［1］，该方程在数学形式上和描述电磁波的赫姆霍兹方程相似.几何光学的光线类似于电子的经典轨迹，电子的德布罗意波干涉又类似于光的干涉.电子显微镜是这种相似性在技术领域的体现.电子束在石墨烯中传输而被电势磁势散射可以和电磁波在非均匀介质中的反射、折射和透射等几何光学概念相类比，形成了石墨烯中的电子光学［2］.本文首先指出石墨烯的电子能带结构特点，而后从理论角度分析电势、磁势对电子束传播的影响，最后评述当前电子光学领域的研究进展.

1 石墨烯的特点

1.1 石墨烯的电子能带结构

石墨烯是二维碳原子蜂巢晶格，是由两个A型或B型的三角布拉维晶格(三角子晶格)组成.其载流子(电子和空穴)波函数具有双旋量，也就是说载流子除了通常的1/2自旋外，还有与它的子格自由度相联系的1/2赝自旋.石墨烯的电子能带结构可由最近邻紧束缚模型得到［3］.导带电子(π电子)能从一个碳原子的2pz轨道跃迁到与它最近邻的3个碳原子之一，跃迁振幅(共振积分)为γ≡t≈3eV.色散关系(能量和动量的关系)为:

其中，晶格常数a=0.246nm，碳原子的间距为=0.143nm.导带(CB，α =+1)和价带(VB，α =-1)分别对应上述色散关系中的不同正负号.导带和价带接触处为不等价的Dirac点(分别对应能谷K和K')，如图1所示［4］.能量E作为二维布洛赫波矢(也是动量)(kx，ky)的函数.六边形布里渊区上K或K'点(Dirac点)附近，色散关系是线性的，从局部来看相当于圆锥(见图1放大区).费米能级位于Dirac点处，费米面也由Dirac点构成.价带(VB)填满电子，导带(CB)是空的.由此可见，未参杂石墨烯是无带隙的.

在Dirac点附近，电子的能量只依赖动量且成线性关系，类似于无质量的相对论粒子.因此，在低能且靠近K和K'点时，电子由二维无质量Dirac本征方程描述:

图1 紧束缚模型计算的石墨烯能带结构Fig.1 Band structure of graphene computed in the tight-bindingmodel

1.2 电势和磁势对电子束传输的影响

当电子束射到电势垒上时，会产生Klein遂穿效应［1］，一般常指电子束垂直入射到电势垒上并全部通过该势垒的现象.该现象可从赝自旋守恒的角度得到解释.石墨烯锥形能谱的形成是由于子格A和B的能带交叉所致，如图2所示［1］.在图2(a)中第3幅图画出了通过势垒的电子的费米能，势垒外边时位于导带，势垒里边时位于价带.蓝色填充区域表示占据态.赝自旋用矢量σ表示，σ平行(反平行)于电子(空穴)运动方向.具有能量E的电子沿正方向传播，红色实线所示能量分支.而同一能量分支的空穴则以能量-E沿相反的方向传播.因此就产生属于同一能量分支的电子和空穴具有的赝自旋σ指向同一方向，赝自旋的方向与电子的动量方向一致，而与空穴的动量方向相反.可以引入手性，也就是赝自旋沿运动方向的投影，电子手性(投影)为正而空穴手性为负.石墨烯中的手性经常用于指电子和空穴能谱的额外对称性，类似于量子电动力学的手性.没有赝自旋翻转(发生几率极小)的时候，电子向右运动遇上势垒被散射，只能形成向右运动的电子态和向左运动的空穴态.红色实线所示能带的载流子(电子或者空穴)被散射后成为同一红色能带的载流子态，不可能成为绿色虚线所示能带的载流子态，否则赝自旋就要翻转.势垒内部和外部准粒子赝自旋方向的匹配(守恒)保证了完美的遂穿——电子全部通过势垒.

图2 电子通过一个势垒的Klein遂穿Fig.2 Klein tunneling through a potential barrier

对于未参杂的石墨烯，费米能EF位于Dirac点(导带和价带的交汇处).EF附近空穴和电势等价布居，系统为电中性.V可以降低(或抬高)Dirac点，这样费米能EF就位于导带(或价带)，从而使石墨烯表现为p型或n型材料.电势对石墨烯的影响在很多情况下都需要考虑.

具有费米能EF的非相对论电子入射到势垒V上，电子平行于势垒界面的动量必须守恒，即p1sinθ1=p2sinθ2，这里p1，2是电子动量，θ1，2是电子在势垒内外的入射角和折射角.由此可得电子在势垒中传播的折射定律——Snell定律［5］:

对于相对论费米子而言，它的手性守恒要求p1sinθ1=-p2sinθ2，由此产生负折射率［6］.负折射首先在光学左手变换材料中发现，石墨烯中也有负折射现象，并用来设计电子透镜，在下文将详细讨论该现象.

电子被磁势散射不会像几何光学那样呈直线形式，并且折射率随磁势垒的方向和强度变换，折射定律具体形式为［7］:

其中，lB为磁长度，φ为电子的入射角，θ为电子在磁势垒中的折射角，kF为电子波矢.

若同时考虑电势垒和磁势垒对电子传输的影响时，折射定律变为［7］:

从(5)式可知，对于给定的磁场B和入射角φ，增加V超过临界值后，该电磁势垒可全反射电子.磁势垒的反射率与磁场B大小正相关，V可增强磁势垒的反射率，从而使弱磁势垒变为强磁势垒.当V大于EF时，入射角和折射角的符号相反，电磁势垒表现左手变换材料的性质，折射率为负.

在某些实际的应用中(如基于石墨烯的电子器件)，需要压制Klein遂穿效应，使器件中的电子局限于微米或者纳米尺度的范围内.磁势垒可以完成此任务［8］，并且很多实现方案已被提出.利用铁磁材料作为石墨烯的衬底可以产生非均匀磁场，磁场可使带电粒子产生回旋运动，当电子的回旋半径小于磁势垒的厚度，电子可以全部被反射，达到囚禁电子的目的.

2 研究进展

2.1 负折射与电子透镜

光学概念折射率n=c/v∝1/v，折射率反比于相速度v，其中c是光在真空中传播的速度.相速度v是光在介质中的传播速度，从一种介质进入另外一种介质时发生改变.Veselago［9］首次从理论上分析了光学负折射率的本质，发现群速度和相速度方向相反.负折射现象已在左手变换光学材料中实现［10-12］.由于负折射，光线经过一块厚板之后可以聚焦，并且这种聚焦不受波长的影响，具有完美的聚焦特性.一些实验证实该透镜具有很高的(亚波长的)分辨率.所以，这种透镜(Veselago透镜)有时被称为“完美透镜”.石墨烯中电子传输时也有类似于光学中的负折射效应.电子在导带传输时，群速度和相速度方向相同，而在价带传输时群速度和相速度方向相反，由此引起负折射效应.

在光学领域，透明介质材料的界面用于操控光束，如透镜、棱镜等.在半导体电子学领域，界面问题主要是p-n结.由于耗尽区导致较大的能隙，传统的p-n结不适用于精密控制电子束.石墨烯作为无能隙的二维半导体，可通过门控电压和基底参杂精细调节载流子的密度，成为利用p-n结界面控制电子束的首选材料.由于Klein遂穿效应(载流子无衰减地通过电势垒)［1］，石墨烯中的p-n结对于载流子是高度透明的，类似于光通过透明介质材料.电子传输通过p-n结界面类似于左手变换材料中光的负折射，当电子通过p型石墨烯间隔两片n型石墨烯的平行界面(即n-p-n结)时可以被聚焦［6］.依此原理，Cheianov等人［6］提出石墨烯p-n结中的Veselago透镜方案，该透镜可汇聚或者发散电子束.精确的聚焦可以通过细致调节p-n结中p型区和n型区的载流子密度使之相等(即成为纯净的、无参杂的石墨烯)而实现.此发现可用于电子透镜工程和石墨烯晶体管中的聚焦分束器.

与聚焦相反的就是焦散，焦散线的反向延长线为虚焦点.Cserti等人［13］研究了圆形石墨烯p-n结的焦散问题，焦散的成因也是石墨烯p-n结的负折射.焦散是几何光学中有趣的课题，焦散曲线可以利用斯奈尔定律结合负折射率计算得出.

Xing等人［14］研究了石墨烯带边界对聚焦作用的影响.他们利用“紧键”模型研究了不同手性双极石墨烯带组成的p-n结对电子流的聚焦问题.在“扶手椅”型边界的石墨烯带中，电子流从n型区(L，0)点总能被聚焦到p型区(-L，0)点;在“锯齿”型边界的石墨烯带中，电子流只能在低能区被聚焦.若考虑的平滑边界的石墨烯带，电子在p-n结附近被散射而削弱聚焦效果.在实际应用中，石墨烯边界对Veselago透镜的聚焦影响必须考虑，Xing等人［14］的研究深化了人们对石墨烯负折射的认识.

电子不仅具有电荷属性，更重要的是具有自旋属性，研究电子自旋形成一门学科——自旋电子学.该领域一个重大的挑战是寻找自旋相干长度长的材料，以确保储存在电子自旋中的信息在短距离传播中不丢失.碳材料如石墨烯就有不寻常的自旋相干长度［15］.另外，传输磁信息往往因自旋流朝各个方向传播而丢失，聚焦自旋流成为一种减少磁信息损失的手段.为减少磁信息传输损失，Moghaddam等人［16］设计了石墨烯电子自旋透镜.电子束通过石墨烯中铁磁-正常界面时，电子束不但被聚焦，且自旋保持确定方向.达到此效果的主要原因是负折射Klein遂穿效应的自旋分辨作用.鉴于此，他们提出正常-铁磁-正常石墨烯电子自旋透镜，其性质可与左手光学变换材料相比拟，也是Veselago透镜在自旋电子学领域的发展.用实验中易于实现的电压控制电子束，Guimar~aes等人［17］提出用石墨烯构建非磁自旋透镜的方案:门控电压区域和非门控电压区域间的弯曲界面作为理想的自旋透镜，可有效减少储存在电子自旋中的磁信息的丢失.

2.2 全反射、GH效应和光纤波导

全反射是光学中首先发现的现象，即光从光密介质射到光疏介质的界面时，全部被反射回原介质内的现象.石墨烯中传输的电子以大于临界角的入射角射到界面上时，也表现出全反射现象.全反射中重要且有趣的现象是Goos-Hänchen效应，全反射的应用主要集中在光纤波导领域，下面就这两方面展开评述.

Goos-Hänchen效应(位移)指光束在两种介质的界面全反射时发生横向位移.该现象在牛顿时代已有所认识，Goos和 Hänchen［18］第一次在微波实验中观察到，Artmann［19］依照稳态位相理论给出了理论解释.目前，Goos-Hänchen效应的研究已经延伸到了不同的物理领域，包括石墨烯领域［7，20，21］.

电子在石墨烯内界面反射时的横向位移可以和光学中Goos-Hänchen效应类比，由此Beenakker等人［21］提出了石墨烯中的量子 Goos-Hänchen效应，并且建立了研究石墨烯中的量子Goos-Hänchen效应的理论方法.他们发现该效应依赖于费米子的赝自旋(石墨烯能带中有能谷K和K'两点，由此形成类似于电子自旋的赝自旋)，并且费米子入射角的改变会使Goos-Hänchen位移的正负发生改变.Zhao等人［20］也发现当入射角大于临界角时，电子束在石墨烯界面发生Goos-Hänchen位移.Sharma等人［7］研究了石墨烯中同时存在电势和磁势时的Goos-Hänchen效应，发现Goos-Hänchen位移的正负因存在磁势而表现出新特性.中国科学院半导体研究所常凯研究小组，研究了应变石墨烯中能谷依赖的Goos-Hänchen效应，提出利用衬底应力产生谷极化电流的方案，对于构建石墨烯谷电子学器件具有重要意义［22］.

电子在石墨烯界面全内反射的性质可用于构建电子波导.石墨烯纳米带可以作为准一维通道(量子线)的设想已经提出，但是控制波导的传输性质需要精准地裁剪石墨烯带的边缘，目前技术上还不能达到.用电压形成波导在实际中较为容易实现.Zhang等人［23］类比光学中的波导，探究了由电势形成的对称量子阱构成的石墨烯波导中的波导模.从电子的经典运动和Klein遂穿两个角度分析了石墨烯波导的独特性质.他们发现经典情形下三阶模消失，而在Klein遂穿情形时基模消失.波导模的研究对于波导设计具有重要指导意义.Hartmann等人［24］提出用电势垒设计波导的方案，并得到解析的零能波导模.用顶部门电压的方式形成一维电势波导，用底部电压调节Dirac点位于费米面，使石墨烯为半填充(即未参杂或者纯净石墨烯)，则线性二维色散态密度消失.他们提出的设计方案具有很高的电流开关比，将有利于石墨烯电子器件设计及应用.Wu［25］从Dirac电子线性能谱和光子的Maxwell方程的相似性出发，提出理论方案，利用p-n-p石墨烯通道限制电子，使之在p-n或n-p界面发生全反射，电子传输类似于光在光纤中的传播.p型或n型石墨烯是由门电压改变费米面和Dirac点的相对位置，使费米能位于导带或价带而形成的.Williams等人［26］在实验上首次实现了石墨烯电子波导，他们利用门电压控制p型和n型载流子的密度，形成电子波导.他们研究了双极p-n波导(即基于角度选择的、通过双极p-n结界面的波导)和利用全内反射形成的单极波导.通过调节门电压可控制波导的传输效率.界面的粗糙度限制了波导的传输性能.至此，石墨烯波导的制作步入实践阶段.Zhao等人［27］应用耦合模理论研究了两个平行波导形成的定向耦合器.该波导由电势垒(门电压)形成，Klein遂穿增强了两个波导的耦合强度.调整门电压，可使电子全部从一个波导内转移到相距几百纳米的另一个波导内.该发现可用于实现信号处理中使用的相干耦合器、集成芯片器件，还可缩小每个器件尺度来制造大尺度集成逻辑电路.

磁场可以囚禁电子，也可用来构建波导.Ghosh等人［28］提出非均匀磁场可形成的电子波导，并讨论了磁场形态对于双向和单向蛇态的影响.磁势波导时电势波导的有益补充，但磁场在实际应用中不如电场容易实现，后续的理论和实验研究进展缓慢.

2.3 其他类比

电子光学类比在其他方面也有研究，如Bragg反射镜、超准直效应、电子开关、亚波长领域的电子光学类比等.

Ghosh等人［2］分析了石墨烯中电子传输通过磁势垒时特征，提出Bragg反射镜设计方案，以及如何用Bragg反射器构建共振腔.用双磁势垒链可形成高反射率的Bragg反射镜，其反射率可用传输矩阵的方法计算.这种磁场可用硬磁材料窄条边缘的退磁效应产生，磁条的形状可用毫微光刻技术实现.

Park等人［29］研究了电子束在石墨烯超晶格中的超准直效应(电子的直线传播).电子束的准直传播是人们长久期望达到的目标.本方案中电子束传播时没有空间上的弥散，不使用波导或者磁场，仅仅用实验上容易达到的一维周期势来控制电子的超准直传播.石墨烯超晶格中的超准直效应对于量子电子器件和超集成积分光电路有重要意义.

Sajjad等人［30］讨论了基于石墨烯电子光学的高效开关.由于石墨烯没有带隙，静电势垒对于Klein遂穿是透明的，这样就限制了其电子传导的门调制性，在规则石墨烯和p-n结情况都是如此.通过附加势垒，以规则遂穿替代Klein遂穿，可以形成门调制遂穿间隙.这样就允许用静电调制方式控制电子流，改变可达几个量级.势垒通过径向能分类电子:滤除热电子和正入射电子、全反射剩余电子.入射电子的完全滤波使石墨烯p-n结成为带隙门控可调的非热电子开关.当朝着均匀参杂极限方向减小静电势梯度，传输间隙逐渐衰减为零.门调制金属-绝缘体转变能使电子克服经典室温开关极限.

石墨烯中电子的平均自由程在室温下可达微米量级，Dirac电子波长可达100nm.从技术观点看，石墨烯可通过普通光刻制成几个纳米的器件，因此达到亚波长领域.Darancet等人［31］研究了石墨烯中的相干电子传输，亚波长领域的光学类比现象，在纳米电子学和亚波长光学间建立了桥梁.石墨烯的二维结构结合当今的光刻技术，可以制作尺寸比狄拉克电子波长还小的纳米电子器件.这些石墨烯亚波长纳米电子器件的量子传输效应可与经典亚波长光学类比，如两片石墨烯构成的狭缝而形成的Bethe和Kirchhoff衍射、纳米带中的 Fabry-Perot干涉振荡.电子衍射势垒是理解亚波长领域传输的关键，利用此概念可以分析石墨烯结、狭缝、纳米带、量子点中的电子传导特征(如干涉、衍射等).

3 结语

石墨烯具有特殊的电子能带结构，电势可移动Dirac点而改变其参杂程度，使之表现为p型或n型材料.电子被电势和磁势散射类似于光学中的折射和全反射.负折射效应可用于设计电子透镜，全反射可用于设计光线波导.全反射GH效应在设计波导时必须考虑.Bragg反射镜、电子开关、超准直效应和亚波长领域的电子光学类比研究也均已展开.

石墨烯中的电子光学是新兴的一个研究方向，将光学中的成熟的理论方法迁移到石墨烯电子输运领域，将深化人们对于石墨烯基本性质的理解，产生许多新颖的设计方案以利于实现石墨烯电子器件.同时该领域的研究也会加深人们对光学的理解.

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