李祖锋,高建军,缪志选,张明山

(中国水电顾问集团西北勘测设计研究院测绘工程大队,甘肃 兰州,730050)

利用最优抵偿投影面算法限制GPS边长投影变形

李祖锋,高建军,缪志选,张明山

(中国水电顾问集团西北勘测设计研究院测绘工程大队,甘肃 兰州,730050)

为了限制 GPS边长投影变形,可选择将边长归算至某一抵偿投影面上。基于抵偿投影原理,提出使控制网长度综合变形更小的最优抵偿投影面算法。通过实例验证,该方法在限制 GPS边长投影变形方面优于其他方法。关键词:GPS;长度变形抵偿;最优抵偿投影面

工程使用中需要将三维的 GPS基线向量观测值及其方差阵投影转换到工程坐标系的二维平面上,即将 GPS基线网投影变换成工程使用测量控制网。其转换的核心是使 GPS基线向量网与常规地面网测量控制点原点重合,起始方向一致[1]。为便于工程使用,要求由转换的控制点坐标直接反算的边长与实地量得的边长,在长度上应该相等,即由归算投影改正而带来的变形或改正数,不得大于工程各阶段的精度要求。当边长的归算投影改正不能满足精度要求时,为保证测量结果的直接利用和计算的方便,可采用抵偿投影面高斯正形投影,任意带高斯正形投影,或尺度强制约束等变换方式限制边长投影变形。

抵偿投影面算法平差过程中,约束条件一般是一点一方位,即 GPS基线向量网与地面网在一个起算点上位置重合,在一条空间基线方向上重合,该方法是从投影变换方面保持了高斯平面上边长尺度的一致性,不会改变平差后 GPS网的相对构型。只要选取合适的椭球参数,GPS网在高斯平面上的边长尺度就能与地面网坐标系中应有的边长尺度相一致。其优点是,归算到地面网坐标系后仍保持 GPS网形的高精度,避免了地面网的固有误差对 GPS网形的扭曲[2],同时,约束平差的工程测量控制网不需要其他转换即与国家测量系统相联系。

本文提出了使 GPS边长尺度与工程控制网边长归算尺度一致的最优抵偿投影面算法。取一理想的抵偿投影面,使投影到该面上的测区内边长综合变形尽可能小[3]。

1 抵偿投影面最优算法

1.1 抵偿投影面算法

根据文献[4],边长归算到椭球面上,实量边长归算至参考椭球面上的变形ΔS1,椭球面上的边长归算至高斯投影面上的变形ΔS2。

式中:Hm为边长归算所选投影面高出参考椭球面的平均高程,S0=S+ΔS1,Ym为归算边两端点横坐标自然值的平均值,Rm为参考椭球面平均曲率半径。

R与Rm一般皆取为6 371 km,S与S0数值接近,可视为相等。于是边长投影综合变形为

式中:H′m为归算边高出抵偿投影面的平均高程。则抵偿投影面的高程为 Hm-H′m。

1.2 至中央子午线最佳距离的确定

对于较大区域的控制测量,采用抵偿投影面算法,由于高斯正形投影的影响,在远离计算所选择的中央子午线的位置,也会产生较大的投影变形。为了让投影综合变形达到最小,本文提出了最优抵偿投影面选择的问题,其关键问题就是求定用于计算抵偿高程的到中央子午线的最佳距离。

文献[5]和文献[3]根据最小二乘法原理提出了一种在使长度综合变形平方之和为最小的条件下直接求得长度变形抵偿值和相应归算边高出抵偿高程面的平均高程。这个方法对于测区整体边长投影变形的把握较好,但不能很精确地解决类似长隧洞施工轴向的贯通边长综合投影变形问题。本文提出的公式,其最初使用的目的就是为了满足施工要求很高的长距离引水发电隧洞的准确贯通需要,其以隧洞轴线整体的投影变形为0为标准推导,实践证明,其在一定范围内要优于其他算法。下边就该公式推导过程予以介绍。

式中:D1为测距边在参考椭球面的长度,m;ΔY为测距边两端点近似横坐标的之差,m;D2为测距边在高斯投影面上的长度,m;Ym为测距边两端点横坐标平均值,m;Rm为参考椭球面上测距边中点的平均曲率半径,m。

根据式(6)可以看出,高斯投影变形实际上是一个以距离中央子午线距离为自变量的二次曲线。通过取最小和最大距离中央子午线距离 Y1和 Y2算数平均值,不能使其两端间的边长综合变形量最小。为了进一步减小测区边长综合变形,需要采用一定的算法求出最优的距离中央子午线距离。

为了求定到中央子午线的最佳距离 Y0,在区间[Y1,Y2]对式(6)变量 Ym进行定积分,则

设 Y0为最优的距离中央子午线距离,要求以Y0计算的抵偿高程可以保证选定区域两端边长投影值为0,则存在关系式

式(10)就是推导的到中央子午线的最佳距离的计算公式。

将式(10)计算的到中央子午线的最佳距离 Y0带入式(4),所计算的 H′m即为推算的归算边高出抵偿高程面的平均高程。

上面两种情况前者只有一个正抵偿点,后者只有一个负抵偿点,其长度变形的抵偿效果较差。当|Y1|≥|Y0|＜Y2时,有两个对称抵偿点±Y0,此时抵偿效果较好。当|Y1|=Y2时,即测区对称于中央子午线,这时抵偿长度综合变形呈对称分布,且综合变形小的边长占的比例最大,抵偿效果最佳。因此,在测区范围确定后,将中央子午线移动至测区中部,并采用抵偿投影面,是限制长度变形最有效的办法,特别是需要抵偿的带宽较大时,应采用此种方案建立坐标系统。

2 实例分析

某水电工程GPS测量控制网等级为D级,涉及干流长度58 km,Y1=35.6 km,Y2=64.5 km,要求边长归算投影面高程为900 m,该区域平均高程异常值为-8.2m。共精密实测了25条边长,其中大于500m的边长12条。

为了对各个抵偿投影面算法进行对比,下面分别列出采用文献[4]提供的方法,算术平均方法和本文推导的方法计算的抵偿投影面高程值。

由计算结果可看出,当投影区域沿Y方向距离小于30 km时,式(10)和(12)计算结果基本一致,为了简化计算,可采用式(12);但在更大范围的抵偿投影面计算时,宜采用更严密的式(10)。

表1所列依次为实测边长,文献[3]、算术平均、式(12)方法计算的坐标反算边长。表1中未列举小于500 m的边长。实测边长误差相对误差很小,可以近似为边长真值,表1中所列比例误差就是以实测边长为基准计算。

按照最小二乘原理,由表1所列的文献[3]、算术平均、本文方法计算的边长相对于实测边长投影变形平方之和分别为[△Si△Si]=0.004 2 m2、[△Si△Si]=0.004 6 m2和 [△Si△Si]=0.003 8m2,计算的相对于实测边长的边长比例误差平均值依次为1/11.2万、1/11.1万和1/12.4万。通过上述结果可以看出,由本文方法推导的Y0值理论公式(10)所对应的抵偿投影面,在一定范围内具有使测区内各点长度综合变形达到更小的特点。

由表1分析结果可以看出,在本工程实例中,采用本文提供的算法计算的综合变形结果要优于采用算术平均的算法,在控制横向两端点间变形方面,要优于文献[4]中提供的算法。

表1 不同算法边长比较表

3 结束语

根据上述推导,抵偿值主要与测区的地理位置和东西宽度 Y1、Y2有关,与抵偿投影面有对应关系。改变测区投影带中央子午线,使其为对称投影,是缩小投影变形的主要措施,采用抵偿任意带投影是解决测区长度变形的理想方法。按照本文介绍的相关公式得到的“抵偿投影面”,可以保证测区横向两端间整体的投影变形最小,在一定的范围内能有效的抑制测区内的综合边长变形。但当距离过大时,该方法最大投影变形值会较大。生产中可根据具体的工作需要,结合各个算法的特点选择使用。

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[7]吴良才,胡振琪.GPS网平面基准点的可靠性分析[J].测绘工程,2003,12(4):39-41.

Study on the controlling of GPS length projection deformation with the calculation of optimal com pensation projecting plane

L IZu-feng,GAO Jian-jun,M IAO Zhi-xuan,ZHANGM ing-shan
(Engineering of Survying and Mapping Team,No rthwest Hydro Consulting Engineers,CHECC,Lanzhou 730050,China)

In order to control the p rojection deformation of GPS length,the length could be calculated to a certain compensation p rojecting p lane.Based on the p rincip le of compensation p rojection,the paper put fo rw ard the calculation of op timal compensation p rojecting p lane,w hich could make the comp rehensive defo rmation of controlling net length smaller.By verification of examp les,thismethod in controlling of GPS length p rojection defo rmation w as better than o ther methods.

GPS;length deformation compensation;op timal compensation p rojecting p lane

P228.4

A

1006-7949(2010)01-0075-03

2009-04-02

李祖锋(1981-),男,工程师.

[责任编辑刘文霞]