王明刚，许 华

（南京师范大学泰州学院 数学系，江苏 泰州 225300）

利用数学建模课堂教学培养学生思维能力

王明刚，许 华

（南京师范大学泰州学院 数学系，江苏 泰州 225300）

结合自己在讲授数学建模课程中遇到的一些实例并总结前人的研究硕果，针对以往相关研究的不完整性，与现行的新课程改革相结合，针对如何充分利用数学建模课堂教学培养学生的思维能力进行全面的研究，分别对六种不同的思维能力，运用设计不同的教学情境，来引导和培养学生的思维能力。

数学建模；课堂教学；思维能力；课程改革

1 .引言

数学建模这门课程将抽象的、枯燥的定理公式渗透到活生生的实际问题中，要求学生积极参与数据的设计、收集和分析。以数学为基调，形成理论实际相结合的思维方式，让学生体会到数学是一切科学技术的基础，学会怎样用数学语言描述具体的问题，学会怎样用数学去解决实际中存在的问题[1]。数学建模是连接数学与实际问题的桥梁，对数学模型而言，数学是工具，解决问题是目的。数学模型的学习是数学知识与应用能力共同提高的最佳结合点。

思维能力是培养学生各种能力的核心，如何培养学生的思维能力已经成为现阶段教育研究人员纷纷探讨的热门话题。而数学建模全过程（图1）[2]中的每一步都从不同的方面锻炼了学生的思维能力（如将现实对象的信息抽象成数学模型的抽象思维能力；对不同的数学模型进行分析求解时的逻辑思维能力等），因此 ，研究如何利用数学建模课堂教学来培养学生的思维能力就显得尤为重要。

图1

2 .利用数学建模课堂教学培养学生思维能力

数学课程的基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律。数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面都有着独特的作用[3]，下面我就结合自己在讲授数学建模课程中遇到的一些实例并总结前人的研究硕果，针对以往相关研究的不完整性，与现行的新课程改革相结合，针对如何充分利用数学建模课堂教学培养学生的思维能力进行全面的研究，分别对六种不同的思维能力，运用设计不同的教学情境，来引导和培养学生的思维能力。

2.1 培养思维的积极性

兴趣是学习的最好老师，也是每个学生自觉求知的内在动力。教师应该注重在课堂教学中对学生思维能力的培养，为学生设计好一个激发思考和创造的课堂环境，设置诱人的悬念，激发学生发散思维的火花和求知的欲望，从而培养学生思维的积极性。

（1）在新授课的导入或讲解的过程中，设置一些悬念来引起学习兴趣，培养思维的积极性来引发探求的欲望。例如：数学建模课程的引言部分，可以选择一些能够用建模解决的一些有趣的生活中的问题，如“如何设计高跟鞋的高度问题”，“人带着鸡、猫、米过河的问题”等等，用这些生动的生活实例来调动学生学习数学建模的兴趣，这样使学生在解决一个个“悬念”问题中探究，激发学生的学习兴趣，从而在讲解公平的席位分配一节内容时，课本上定义了相对不公平度这个概念，即设A，B两方人数分别为 p1和p2，两方分配的席位为 n1和n2，

因为相对不公平度是人为定义的一个数量指标，它并没有严格的定义，因此，我们就可以引导学生开动脑筋，寻求其他的定义方法。此时，我们适当的加以引导、提示，学生很快就会发现A的相对不公平度如下两种新的定义方法：掌握数学建模的本质。

（2）在新课结束时，也要适当对某一些问题做一些延伸发展，设计一些悬念问题，引发学生学习的兴趣，为学习后面的内容做好铺垫，留下悬念。

再例如讲“人口增长预测模型”这节新内容时，可以讲讲世界及中国人口发展概况及趋势，同时介绍为什么中国要实行计划生育，国家是以什么为依据来制定这项国策的，留下这样一个学习人口增长预测模型知识的悬念，学生对本节的学习将会特别的投入，学习成果将会很明显。因为它的悬念引发了学生学习的兴趣，引起了学生对下次课的好感，对后面的学习产生了向往，盼望的急切心情，将被动的学习转向了主动。

2.2 培养思维的求异性

在数学建模课堂教学中应引导学生从不同的角度来观察和思考，以寻求不同的解题路径，开拓学生的解题思路。并在此基础上让学生进行多次训练，这样既增长巩固了知识，又培养了学生的求异性思维能力。因此在教学中，要注意抓住一道典型题目，努力寻求多种途径的解法，促使学生多方位、多层次的思考分析，打开学生的解题思路。例如，

又如在讲解完用 Q值方法进行席位分配时，又可以引导学生去探讨“D ’Hondt”法、“D ’Hondt + Q ”值法等其他形式的分配方法，并对这些方法进行比较，不仅要让学生掌握更多的知识，更重要的是培养学生求异性的思维能力，同时要重视引导学生对多种方法进行比较，优化方法，提高解决问题的速度并注意找出同一问题存在多种方法的条件与原因，挖掘其内在规律。这样将能很好的达到教学双赢了，提高了教学质量又培养了思维能力，何乐而不为呢？

2.3 培养思维的连续性

在数学建模这门课程中的，许多模型的得到都是一类条理分明，思路清晰，由浅入深具有鲜明层次性的问题，随着台阶的上升涉及的知识点逐渐增多，不断探索的问题将得到逐步地解决， 在这样一个不断探索的过程中让学生顺着清晰的思路进行自行探讨，从而解决问题，有助于培养思维的连续性。

例如我们在讲解传染病模型时，刚开始我们不区分病人和健康的人群可以得到一个较为简单的模型：

这时我们就可以引导学生思考建模失败的原因：我们在第一个模型里没有考虑到病人有效接触的人群中既有健康者又有病人，因而我们可以对模型（1）进行改进，从而得到模型：

模型2对模型1进行了显著的改善，利用模型2，我们可以得到传染病高潮期到来的时刻为：可以为医疗部门提供信息服务。但是模型

2.4 培养思维的联想性

引导学生自主联想，揭示和建立新旧知识的联系是培养思维联想性的有效途径。学生联想回忆的过程可以实现挖掘激发思维潜力。数学研究本身就是一个不断从实践→认识→实践的过程，这样的过程推进了数学的进步。而思维的联想性在这一过程当中起着举足轻重的作用。所以教师可以在教学过程中多设计一些反复式问题，引导学生联想与回忆，建立好新旧知识间的联系，深化对知识的理解;经常回忆与反思必将使学生的思维能力得到大大地提升。因此，在数学建模教学中，应紧密结合学生的认知活动，适时设计好反复式问题，培养学生思维的联想性。例如我们在介绍完人口阻滞增长模型后，可以引导学生思考草原上羊群数量的增长，渔场中鱼群数量的增长是以什么样的方式增长的呢？是不是也满足Logistic模型呢？又如，在讲到稳定性模型的第一节内容“捕渔业持续收获”问题时，要考察在没有捕捞的前提下鱼群数量会发生什么变化，这时，我们就可以引导学生，将前面学习过的Logistic模型与之对比，引导学生进行联想，让学生主动去回顾，大胆去实践，亲身体验知识的发生和发展过程。再通过实践所得到的结论，带回到所学的知识内，反复进行复习比较，获取更多的信息，实现培养思维连续性的目的。

2.5 提高直觉思维能力

“凡事预则立，不预则废。”预见意识对探索成功率的提高是大有裨益的。解题过程中我们对于解题策略、思路、方向和手段都应该作出正确的判断和抉择。否则将误入歧途。因此在数学建模教学中，先不急于分析解题思路，而恰当的留有空间，让学生仔细审题，联系相关知识，对比权衡，如未知数、自变量、参数的确定，辅助元素的设置，坐标系、点的坐标的选取，分类讨论的时机掌握，及讨论标准层次的确定等，他们对于建模的 成败、难易、繁简会产生怎样的影响，在此基础上作出正确估计和判断。

例如：在讲解“正规战与游击战”模型时，在建模之前就可以引导学生思考，影响战争结局的因素有哪些？其中哪些是主要因素，哪些是次要因素？如何将一个看似与数学无关的问题来进行转化呢？用这些问题来调动学生进行思考；而在讲解完正规战争模型后，转而讲解游击战争模型时，就可以让学生通过直觉思维思考一下，游击战争与正规战争的区别在哪？影响双方士兵人数变化的因素还有正规战争一样吗？这样引导学生一步步的深入思考下去，通过学生思考，凭直觉可以预见到解决本题的关键，学生很快就会得到游击战争模型：

2.6 培养思维的广阔性

探究表现为“为什么是这样”“还会怎样”的心理活动过程。对知识的学习，表现为不满足于知其然，执意追求知其所以然。而创造性思维是最高层次的思维活动，是在自由想象的基础上对头脑中已有知识、经验进行新的组合的结果。引导、诱发、鼓励学生在强烈的创新意识驱动下不断实现自我突破。敢于“标新立异”，敢于“离经判道”。例如在讲解层次分析模型时要用到求矩阵的特征值和特征向量，而利用我们所掌握的知识，求解高阶矩阵的特征值和特征向量是相当复杂的，又由于层次分析模型中，对特征向量的要求并一定要非常准确，在这种情况下，我们就可以带领学生脱离我们以前所学方法的局限，来寻求求解矩阵特征值和特征向量的近似的方法：和法、幂法和根法。

教学中放手让学生朝各个方向发散，按照他们自己的想法去探求。你会发现由于他们的思考角度不同，出现了许许多多的不同答案，有些结果出乎老师所料。通过学生交流，再引导、反思，使学生主动进行变式探究，思维向不同的方向发散。不仅巩固了所学知识；而且激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能、发展智力、提高能力的目的，从而培养学生的创新精神和创造能力

3 .总结

随着素质教育改革的深入，如何活跃课堂的气氛，培养学生的思维，提高学生的素质已经成为我们教育工作者的一个重要任务。数学不仅仅是再向学生传授知识，更重要的是培养他们独立的思维能力。教学观念陈旧，教学手法单一，这些都已经成为制约学生思维能力提高的重要因素。为了改变这个现状，拓展学生的思维，使之健康成长，我们不得不研究对策，研究怎么样的教学才可以充分提高学生的积极性，引起他们的兴趣，在轻松活跃的气氛下完成教学的任务。

我认为在数学建模这门课程的具体的做法就是通过上面所述的一系列的不同的设计问题的方式，精心设计每节课，使之形象生动，有意创造动人的情景，设置诱人的悬念，激发学生思维的火花和求知的欲望。让他们在实际生活中了解到数学的作用，在探索知识的过程中解决实际的问题，迸发出无穷的灵感，培养各种思维能力。

[1] 李医民，王学弟，丁丹平，等. 数学素质教育改革的系统工程[J]. 大学数学，2003，（4）.

[2] 姜启源，谢金星. 数学模型[M]. 北京：高等教育出版社，2003.

[3] 洪双义. 一种新型数学教育方式的探索[J]. 数学教育学报，2003，（2）.

G42

A

1008-7427（2010）01-0133-02

2009-11-05

作者王明刚系南京师范大学泰州学院数学系讲师。