丘志华

【摘要】在课外练习或竞赛中,常常会出现有这么一类数学题:看上去数字较大的计算或求值,如果采用常规方法按运算顺序直接计算确实很麻烦甚至根本不可能算得出,这时若巧妙地使用乘法公式则可以大大简化运算,往往使用原本看上去很复杂的数学题出现转机｡运用乘法公式还可以引申到解决其他表面上很复杂的数学问题｡

【关键词】乘法公式､运算､解题

Wondrous use multiplication formula skillful problem solving

Qiu Zhihua

【Abstract】In the extracurricular practice or the competition, will appear frequently has such kind of mathematics problems: Seems the digital big computation or the evaluation, if uses the conventional method to be truly very troublesome according to the operation order direct calculation simply is even impossible to be considered as, if used the multiplication formula to be possible ingeniously by now to simplify the operation greatly, often uses the book seems the very complex mathematics problems presents the favorable turn. May also expand using the multiplication formula to solves on other surfaces the very complex mathematics question.

【Key words】Multiplication formula, operation, problem solving

1.直接化为乘法公式的形式

例1计算99992-10000×9998

分析:如果直接计算虽能算得出,但费时费力,用乘法公式就方便多了｡而10000×9998=(9999+1)(9999-1),恰好可用平方差公式计算｡

解:原式=99992-(9999+1)(9999-1)=99992-(99992-1)

2.原题经过变形化为乘法公式

例2已知玜²-5a+1=0,求玜²+1a²的值｡

分析:本题不能急于先求出玜的值再代入式子计算,那样做将会走入死胡同,还是在乘法公式上想办法｡

由玜²-5a+1=0,可得玜²+1=5a,且玜≠0,即a+1a=5,所以(a+1a)2=52

即a²+2+1a²=25,因此a²+1a²=23

3.添项后能构成乘法公式

例3计算3(22+1)(24+1)(28+1)-216

分析:若直接计算肯定很复杂｡本题只要在连乘因式前面添上因式(2-1),3改为(2+1),即可连续使用平方差公式｡

解:原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)-216

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)-216

=……=216-1-216=-1

4.逆用乘法公式

例4计算(1-122)(1-132)(1-142)…(1-120042)(1-120052)

分析:本题若直接运算,理论上可行,但实际几乎办不到｡仔细观察每个因式的特征,便可发现如果充分利用平方差公式,将每个因式进行分解:1-1n2=(1+1n)(1-1n)=n+1n×n-1n的形式,化繁为简,就会给计算带来极大的便利｡

解原式=(1+12)(1-12)(1+13)(1-13)…(1+12004)(1-12004)(1+12005)(1-12005)=12×32×23×43×…×20032004×20052004×20042005×20062005=12×20062005=10032005

5.探索规律型

例5已知:52-32=8×2,92-72=8×4,112-52=8×12,152-32=8×27,152-72=8×22,……,你从中发现了什么规律?并说明这个规律的正确性｡

分析:注意观察题目,已知条件左边是平方差,此题与平方差公式有关,而右边因式全部含有8｡

解:规律:任意两个奇数的平方差等于8的倍数｡

说明:设m､n为任意两个正整数,两个奇数可表示为:2m+1､2n+1,则(2m+1)2-(2n+1)2=4(m-n)(m+n+1),当m､n取任决正整数时,(m-n)或(m+n+1)中至少有一个是偶数,所以4(m-n)(m+n+1)一定是8的倍数｡因此任意两个奇数的平方差是8的倍数｡

6.利用乘法公式分解因式

因式分解的方法很多,常用的方法有:提取公因式法､公式法(平方差公式､完全平方公式､立方和公式､立方差公式)､分组分解法｡特别是对于“二项式”,如果没有公因式可提取,可试用平方差､立方和､立方差公式进行因式分解,有时需要对原题稍加变化､改变结构､局部分解､拆项､添项､重新组合等｡化为乘法公式后,便可进行因式分解｡

例6分解因式x4+4y4

分析:根据多项式的特点,关键是在式子里添上4x²y2-4x²y2两项,凑完全平方的形式｡

解:原式=x4+4x²y2+4y4-4x²y2

=(x²+2y2)2-(2xy)2

=(x²+2y2+2xy)(x²+2y2-2xy)

乘法公式的用途还很多,无法一一详细介绍｡总之只要灵活地运用好乘法公式,有许多看上去较繁的数学问题可以迎刃而解｡

收稿日期:2009-04-08