肖　骁

2009福建数学≤考试说明≥中命题指导思想“实现平稳过渡,讲究命题规范,适度创新,体现时代风范”｡给命题者提供发挥智慧的空间,给高三的复习留下想象的空间｡综观高考试题中的创新题型,每年都让人们津津乐道的｡创新题型背景新颖､公平,设问灵活,对发散性思维和创新性思维有较高的要求｡创新题型有利于头脑灵活,知识面广的学生学习潜能的发挥,对搞题海战术的学生得不到好处,对推进课程改革起到重要的作用｡回顾历年高考,创新性题型有如下特点:

1.以生活材料为背景,考查直觉思维能力

这类题目背景新颖,起点底,但立意鲜明,设问灵活,考查学生的直觉思维能力｡

【例1】.(2007年高考广东卷•理)右图是某汽车维修公司的维修点环形分布图,公司在年初分配给A､ B､C､D四个维修点某种配件各50件｡在使用前发现需将A､B､C､D四个维修点的这批配件分别调整为40､45､54､61件,但调整只能在相邻维修点之间进行.那么要完成上述调整,最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为

A.18 B.17C.16 D.15

分析:从A处调10件给D处,需要调动件数10次,从B处调4件给C处,需要件数4次｡再从B处调1件给D处,需要经过A或C处,需要调动件数2次,合计最少的调动件次16次,故选C｡试题设计机智灵活｡

【例2】.(2001年全国高考12题)如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联｡连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量｡现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递｡则单位时间内传递的最大信息量为 ()

A. 26B. 24C. 20D. 19

分析:本题主要是考查学生阅读能力和对图形的理解,答案是3+4+6+6+19选D｡

【例3】.(1999年全国高考16题)在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A､B两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A､B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法共有___________种(用数字作答)

分析:对题目的要求进行分类,①A､B两种作物的间隔为6垄有3种｡②A､B两种作物的间隔为7垄有2种｡③A､B两种作物的间隔为8垄有1种,总共为6种｡

【例4】.(原创题)把一个棱长分别为4､4和3的长方体,用一个截面把它切割成两部分后,将切割得到两个几何体再拼接在一起,能得到()个不同的直三棱柱(通过翻转能得到底面和高都相同的直三棱柱,属于相同的直三棱柱)｡

A.4B.5C.6D.7

分析:本题主要考查动手操作和空间想象能力｡切割后组成不同的直三棱柱有:底面直角三角形两直角边长分别为4,4高为6,底面直角三角形两直角边长分别为4,3高为8,底面直角三角形两直角边长分别为4,8高为3｡底面直角三角形两直角边长分别为4,6高为4｡底面直角三角形两直角边长分别为42,42高为3｡底面为等腰三角形三边长分别为5,5和8高为4｡底面为等腰三角形三边长分别为5,5和6高为4｡答案:D

2.以图形变幻为特征,考查极端求解能力

特殊值法,将图形置于特殊位置和举反例,都可以体现学生反常规思维能力,体现以能力立意,考查出学生的数学思想方法和数学素养｡

【例5】.(2001年全国高考11题) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜｡记三种盖法屋顶面积分别为P1､P2､P3｡

若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则 ()

A . P3>P2>P1B . P3>P2 = P1C . P3 = P2>P1D. P3 = P2 = P1

分析:(特殊位置法)这个问题只要学生能够把图形至于特殊位置,既斜面与水平面成00,就可以马上得到答案C,省时且不容易失误｡

【例7】.(2008年海南高考试卷12题)某几何体的一条棱长为7,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为6的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a+b的最大值为()

A.22B.23C.4D.25

分析:(特殊图形法)根据题意,把几何图形设置为长方体特殊的图形,很快可以找到答案｡如图

设长方体的长､宽､高分别为m,n,k,由题意得

m2+n2+k2=7,m2+k2=6n=1

1+k2=a,1+m2=b,所以(a²-1)+(b2-1)=6

=a²+b2=8,∴(a+b)2=a²+2ab+b2=8+2ab≤8+a²+b2=16

=a+b≤4当且仅当a=b=2时取等号｡

【例8】.(原创题)桌面上摆放着一些相同的小正方体木块,正视图如图(a),左侧视图如图(b)｡那么,桌上至少有这样的小正方体木块()块｡

A.12B.15C.18D.21

分析:(极端原理)可以设置6*6表格(如右),在1和6号位置,2和5号位置,3和4号位置,分别放一个,两个,三个正方形方块｡就得到答案是A｡

【例9】.(2008福建高考试卷11)双曲线x²a²-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1､F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3)B.(1,3]C.(3,+∞)D.[3,+∞)

分析:(特殊位置法)如图,设|PF2|=m,∠F1PF2=θ(0<θ≤π),把P点θ=π,e=2c2a=m2+(2m)2-4m2cos θm=5-4cosθ

∵-1

3.以寻找规律为特性,考查合情推理能力

从最简单,最原始状态下研究数学问题,发现规律,寻找规律进行推理论证,是学习数学的本质要求｡数学学习过程,本身也是个再发现的过程,是培养学生的发现问题的过程｡这类问题有利于考查学生观察､联想､猜想和发现问题的能力｡

【例10】.(竞赛题改编)将一列数 ,2,2,6,22,10…,102 按下面的方法进行排列:

按此方法进行排列,32的位置可记为(2,4),26的位置可记为(3,2)｡那么这列数中的最大有理数按次排法的位置可记为｡

分析:把每个书写为2,4,6,8……,200｡就可以看出规律,最大的有理数是196,所以答案:(20,3)｡

【例11】.(原创题)如图,以O(0,0) ､A(23,0)为顶点作正△OAP1,再以P1和P1A的中点B为顶点作正△P1BP2,再以P2和P2B的中点C为顶点作正△CBP3,…,如此继续下去｡

°

(1)分别求出正△OAP1,△P1P2B, 和△BP3C重心的坐标｡

(2)设按顺序做出的第2009个三角形的重心坐标为(x2009,y2009),求x2009,y2009的表达式｡

分析:从第一个三角形,第二个三角形,第三个三角形寻找规律,再论证其一般性｡

(1)正△OAP1的边长为23,则它的高为3｡

∴正△OAP1的重心坐标为(1,3)｡

正△P1P2B的边长为3,则它的高为32｡由3-32×13=52,3+32=323｡

∴正△P1P2B的重心坐标为(323,52)｡

正△BP3C的边长为32,则它的高为34｡

由32+34×13=74,3+32+34=743｡

∴正△BP3C重心坐标为(743,74)｡

(2)按顺序做出的2009个三角形,都是相似三角形,后一个三角形与前一个三角形的相似比为12｡所以:

x2009=3+123+(12)23+…+(12)20083=3[1-(12)2009猐1-12=23[1-(12)2009猐

y2009=3×12+3(12)2 (12)+3(12)4(12)+3(12)6(12)…+3(12)2006(12)+3(12)20008(13)

=3[12+(12)3+(12)5+(12)7+…+(12)2007猐+(12)2008

=3[1-(12)1004猐1-12+(12)2008=6-3(12)1003+(12)2008

第2009个三角形的重心坐标为(23[1-(12)2009猐,6-3(12)1003+(12)2008 )

【例12】.(竞赛题改编)给定正整数n,(n≥2)按下述方式构成三角形数表:第一行依次写上数1,2,…,n,在每一行的每两个相邻数的正中间上方写上这两个数之和,得到上一行(比下一行少一个数)｡依次类推,最后一行(第n行)只有一个数｡

例如,n=6时的数表如下所示｡

(1)问这个n行数表中的每行数组成的数列是否是等差数列?如果是等差数列,请写出各行数组成数列的公差,并说明理由;如果不是请举例说明｡

(2)设这个n行数表第i行第j列的数为a﹊j,求a﹏1的通项公式｡

分析:(1)这个n行数表中的前n-3行,每行数组成的数列是等差数列｡

设某一行a2,a2,a3,…,a璵成等差数列,公差为d,则其上行为a1+a2,a2+a3,…,a﹎-1+a璵也成等差数列,公差为2d ,故数表的各行均成等差数列,公差分别为1,2,4,…,2﹏-3｡

(2)a﹏1 =a(n-1)1+a(n-1)2=2a(n-1)1+2(n-2)=(2a(n-2)1+2(n-3)+2﹏-2=22a(n-2)1+2•2(n-2)=……=2(n-1)猘11+(n-1)2﹏-2=(n+1)2﹏-2

4.以给定法则､定义为起点,考查应用能力

运用新概念,新定理和新规则,进行分析､归纳､猜想和论证｡可以考查学生的自主学习潜能,可以考查在相同背景下学生收集信息､处理信息和解决问题的能力｡

【例13】(2008年高考陕西卷•理)为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息｡设定原信息为a0a1a2,a璱∈{0,1}(i=0,1,2),传输信息为h0a0a1a2h1,其中h0= a0⊕a1, h1= h0⊕a2,⊕运算规则为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0,例如原信息为111,则传输信息为01111｡传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是

A.11010B.01100C.10111D.00011

分析:本题是一道阅读量大但计算量小的信息题,考查创新意识｡要仔细阅读题目､理解题意,读懂新规定“⊕”运算规则｡若收到信息10111是无误,则对应的原信息是011,由约定计算h0=1, h1=0, 此时传输信息为10110与收到信息10111矛盾 ｡选C.

【例14】.设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a､b∈R,都有a+b､a-b, ab､ab∈P(除数b≠0),则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域;数集F={a+b2∣a,b∈Q}也是数域.有下列命题:

①整数集是数域;②若有理数集Q M,则数集M必为数域;

③数域必为无限集;④存在无穷多个数域.

其中正确的命题的序号是.(把你认为正确的命题的序号填上)

分析:①对除法如12 Z不满足,所以排除,

②取M={a+b32∣a,b∈Q},对乘法32□32=34 M, ③④的正确性容易推得｡

【例15】.中学数学中存在许多关系,比如“相等关系”､“平行关系”等等.如果集合A中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件:

(1)自反性:对于任意a∈A,都有a-a;

(2)对称性:对于a,b∈A若a-b,则有b-a;

(3)传递性:对于a,b,c∈A若a-b,b-c,则有a-c.

则称“-”是集合A的一个等价关系.例如:“数的相等”是等价关系,而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立).请你再列出三个等价关系:______.

分析:16.答案不唯一,如“图形的全等”､“图形的相似”､“非零向量的共线”､“命题的充要条件”等等.

5.以熟悉的知识载体,考查创新能力

知识间的融会贯通,综合应用数学基础知识解决问题｡可以考查学生的化归转化､分类整合思想｡对能力有较高的要求,对合理区分较高能力的考生起到重要的作用｡

【例16】.(2008年高考江苏卷)如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A､B及CD的中点P处,AB=20km,BC=10km,为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形ABCD的区域上(含边界),且与A､B等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO､BO､PO,设排污管道的总长度为ykm.

(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式:

(i)设∠BAO=θ(rad),将y表示为θ的函数;

(ii)设OP=x(km),将y表示为x的函数;

(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系,确定污水处理厂的位置,使铺设的排污管道总长度最短｡

分析:本题以三角函数的知识､导数的知识为载体,要求用两种不同的形式进行建模,考查考生的应用意识.第(Ⅰ)问,(i)延长PO交AB于Q,则 PQ垂直平分AB,由∠BAO=θ (rad),得OA=10cosθ,故OB=10cos,又OP=10-10tanθ,所以y=20-10sinθcosθ+10(0≤θ≤π4)即为所求.(ii)若OP=x(km),则OA=OB=x²-20x+200,所以y=x+2x²-20x+200(0≤x≤10)即为所求. 第(Ⅱ)问,选择函数模型(i),则y′=10(2sinθ-1)coS²θ,令y′=0得sinθ=12

因为0≤θ≤π4,所以θ=π6易得当θ=π6时, y取最小值103+10,此时O点在AB的中垂线上,且与AB的距离是1033km｡

【例17】(2007年高考上海卷•理)

我们把由半椭圆x²a²+y2b2=1(x≥0)与半椭圆y2b2+x²b2=1(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中a²=b2+c2,a>0,b>c>0｡

如图,点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2分别是“果圆”与x,y轴的交点｡

(Ⅰ)若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程;

(Ⅱ)当∣A1A2∣>∣B1B2∣时,求ba的取值范围;

(Ⅲ)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦｡试研究:是否存在实数k,使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的k值;若不存在,说明理由｡

分析:本题以考生熟悉的知识为载体,通过对这些知识的重新整合,构造新的知识情境,较好地考查了考生在新的情境中利用已有知识解决问题的能力,实现了对考生创新意识的考查.第(Ⅰ)问根据两个半椭圆的长半轴长､短半轴长､半焦距间的数量关系,易得所求“果圆”的方程为47x²+y2=1(x≥0),y2+43x²=1(x≤0).第(Ⅱ)问由题意,得a+c>2b,即a²-b2>2b-a｡(2b)2>b2+c2=a²,a²-b2>(2b-a)2得ba<45｡又由b2>c2= a²-b2,得b2a²>12｡所以ba∈(22,45)｡第(Ⅲ)问设“果圆”C的方程为x²a²+y2b2=1(x≥0),y2b2+x²c2=1(x≤0)｡记平行弦的斜率为k｡当k=0时,直线y=t(-b≤t≤b)与半椭圆x²a²+y2b2=1(x≥0)的交点是P(a1-t2b2,t),与半椭圆y2b2+x²c2=1(x≤0)的交点是Q(-c1-t2b2,t)｡所以P,Q的中点M(x,y)满足x=a-c2□1-t2b2y=t消去t得x²(a-c2)2+y2b2=1｡又a<2b,可知(a-c2)2-b2=a-c-2b2□a-c+2b2≠0｡综上所述,当k=0时,“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上.当k>0时,以k为斜率过B1的直线l与半椭圆x²a²+y2b2=1(x≥0)的交点是(2ka²bk2a²+b2,k2a²b-b3k2a²+b2)｡由此,在直线l右下方,以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线y= -b2ka²x即不在某一椭圆上;当k<0时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上｡

数学创新型试题是融知识､方法､思想､能力､素质于一体,强调知识应用的综合性､交汇性､灵活性和创造性,对学生自主学习潜能,发展性思维和创新型思维,有良好的区分功能｡高三复习中认真研究创新题型,提高学生对创新题型的解题能力,综合提高学生数学素养,是复习迎考的重要的环节｡

参考文献

[1]福建省教育厅考试说明编写组｡2009普通高等学校招生考试统一考试,福建省数学考试说明(理科)[M].福建教育出版社,2008

[2]王尚志,孙启平.培养学生的应用意识是数学课程的重要目标[J].数学教育学报,2002,2

[3]赵思林.关于高考数学创新试题的立意[J].中学数学教学参考,2009,1-2

收稿日期:2009-01-13