李艳萍

在学习“轴对称”时，总有不少同学解题时常出现错误，李老师根据课堂教学实录列举几例并进行诊断分析，希望对同学们的学习有所帮助.

易错点一：对“两个图形成轴对称”与“轴对称图形”两概念理解不透.

例1下列说法中，正确的是（）.

A.形状一样的两个图形成轴对称

B.能够完全重合的两个图形成轴对称

C.轴对称和轴对称图形是一回事，都是关于某直线对称

D.沿着一条直线对折能够重合的两个图形成轴对称

【课堂实录1】课堂中学生给出了四种不同的答案，分别用甲、乙、丙、丁表示如下：

甲：A.乙：B.丙：C.丁：D.

【评析】上述甲、乙、丙、丁四种答案中，甲、乙、丙答案均错，只有丁答案正确.甲、乙两种答案都错在学生对“两图形成轴对称”这一概念没真正理解，忽略了“两个图形成轴对称，不仅与图形的形状、大小有关，而且与图形的位置有关，三条件缺一不可”；而丙答案错在混淆了“两个图形成轴对称”和“轴对称图形”这两个不同的概念，“两个图形成轴对称”是对两个图形的位置关系而言的，而“轴对称图形”是指一个图形的特有性质，是对一个图形而言的，二者既有区别，同时又有密切联系：如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么就是一个轴对称图形，但如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，则这两个图形就关于这条直线成轴对称了.

易错点二：叙述轴对称图形的对称轴时出错.

例2填空：（1）角是轴对称图形，它的对称轴是.

（2）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是.

【课堂实录2】下面是学生解答过程中提供的甲、乙两种答案：

甲：（1）角平分线.（2）底边中线（底边的高或顶角平分线）

乙：（1）角平分线所在直线.（2）底边中线（底边的高或顶角平分线）所在直线.

【评析】：上述甲、乙两种答案中，乙答案正确.答案甲错在忽略了“对称轴必须是直线，不可是线段或射线”，而角平分线是射线，等腰三角形的底边中线、高和其顶角平分线都是线段.

易错点三：运用等腰三角形性质解题时，常考虑不全，导致漏解.

1.与等腰三角形的边有关的计算时，常考虑不全，导致漏解.

例3已知等腰三角形的周长为13 cm，其一边长为3 cm，则另两边长和解答理由都正确的是（）.

A.3 cm，7 cm.理由是：根据等腰三角形的性质和已知条件易知另一边长是3 cm，则第三边长为13-3-3=7（cm）.故所求另两边长是3 cm，7 cm.

B.5 cm，5 cm.理由是：根据等腰三角形的性质和已知条件易知：13-3=10（cm）.则10÷2=5（cm），故所求另两边长均为5 cm.

C.3 cm，7 cm或者5 cm，5 cm.理由是：因为已知条件中等腰三角形的一边长是3 cm，没有说明是底还是腰，所以应该分两种情况讨论求解.根据等腰三角形的性质和已知条件，若已知边长为腰时，则13-3－3=7（cm）；若已知边长为底时，则13－3=10（cm），10÷2=5（cm），故另两边长为3 cm，7 cm或者5 cm，5 cm.

D.5 cm，5 cm.理由是：因为已知条件中等腰三角形的一边长是3 cm，没有说明是底还是腰，所以应该分两种情况讨论求解.根据等腰三角形的性质和已知条件，若已知边长为腰时，则13-3－3=7（cm），但3＋3＜7，所以以3 cm，3 cm，7 cm为边长的线段不能构成三角形；若已知边长为底时，则13－3=10（cm），10÷2=5（cm），且3＋5＞5，5-3<5，所以以3 cm，5 cm，5 cm为边长的线段能组成三角形.故所求另两边长为5 cm，5 cm.

【课堂实录3】下面是课堂中同学们提供的甲、乙、丙、丁四种不同的答案：

甲：选A.乙：选B.丙：选C.丁：选D.

【评析】上述甲、乙、丙、丁四种答案中，只有丁正确.甲、乙答案不仅忽略了“在有关等腰三角形边的计算时，如果已知条件中没说明所给边长是底或腰长时，应注意分两种情形计算其余的边长”，而且还忽略了“所求三角形另两边长与已知边长能否构成三角形”的问题，显然都是错误的.答案丙只想到应该分情形求解，但却疏忽了后者，当三边为“3 cm，3 cm，7 cm”时，此时根本就不能组成三角形，所以此时无解，故答案丙仍然错误.答案丁考虑周全，答案和解释都正确，因此只有丁选择的答案是正确的.

2.与等腰三角形的角有关的计算，常考虑不全，导致漏解.

例4下面是数学课堂的一个学习片段，请阅读后再回答后面的问题.

在学习等腰三角形有关内容后，老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰△ABC的∠A=30°，请求出其余两角.”

同学们经过思考讨论交流之后，林明小组的代表说：“其余两角都是75°.”赵娜小组的代表说：“其余两角是30°和120°.”另外，还有其他小组提出了各不相同的看法……

如果你也在课堂中，你的意见如何呢？请说明理由.

【课堂实录4】下面是课堂中同学们提供的甲、乙、丙三种不同的答案：

甲：赞成林明小组的意见，与其答案一致.理由是：由题意可知等腰△ABC的两底角相等，而∠A=30°，所以根据三角形内角和是180°，易知两底角和为150°，故其余两角都是75°.

乙：赞成赵娜小组的意见，与其答案一致.理由是：由题意可知等腰△ABC的∠A=30°，所以根据等腰三角形性质和三角形内角和是180°，易知其余两角是30°和120°.

丙：对两小组意见均不赞成，认为“其余两角应该是75°、75°或30°、120°”.理由是：等腰三角形所给的∠A=30°，并没有说明是等腰三角形的顶角还是底角，所以两种情形都应该考虑，故其余两角为75°、75°或30°和120°.

【评析】上述甲、乙、丙三种答案中，因为已知条件中的∠A=30°，没说明是等腰三角形的顶角或者底角，所以都有可能，而答案甲和乙都忽略了一种情形，漏掉一解，故只有丙考虑周全，解答正确.

易错点四：忽略“等边对等角”和“等角对等边”的应用条件：“在同一个三角形中”.

例5如图1，在△ABC中，D、E是B、C边上的点，AD=AE，∠1=∠2.请判断△ABC的形状并说明理由.

【课堂实录5】课堂中同学们提供了下面甲、乙、丙三种不同的答案：

甲：△ABC是等腰三角形.理由：因AD=AE，故∠ADE=∠AED（等边对等角）.所以AB=AC（等角对等边）.

乙：△ABC是等腰三角形.理由：因AD=AE，故∠ADE=∠AED（等边对等角）.所以180°－∠ADE=180°－∠AED，即∠ADB=∠AEC.所以AB=AC（等角对等边）.

丙：△ABC是等腰三角形.理由：因AD=AE，故∠ADE=∠AED（等边对等角）.

又因∠ADE=∠B＋∠1，∠AED=∠C＋∠2，∠1=∠2，故∠B=∠C.所以AB=AC（等角对等边）.

【评析】上述三种答案中，答案甲和乙都忽略了“等腰三角形性质与判定”的应用条件必须是“在同一个三角形中”，不在同一个三角形中，不可滥用“等角对等边”或者“等边对等角”，只有答案丙解答正确.

【跟踪练习】——“考考你”

1.下列说法正确的个数是（）.

（1）成轴对称的两个图形可以看成一个轴对称图形

（2）经过一条线段中点的直线是这条线段的垂直平分线

（3）线段的垂直平分线上点到这条线段上的点距离相等

（4）角的平分线上的点到这个角的两条边的距离相等

（5）等腰三角形是轴对称图形，且有一条对称轴

A．0个B．1个C．2个D．3个

2.如果三角形两边的垂直平分线的交点正好落在第三边上，则这个三角形是（）.

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等边三角形

参考答案：

1.C2.B