郭　庆

不确定事件发生的机会有大小的区别，所以玩游戏时，参与游戏的各方都很在乎游戏的公平性，即各方赢的机会要一样大.本文通过举例分析，介绍了几种解决这类问题的常用方法.

一、两分法

若一个游戏或活动满足以下两个条件：1. 游戏或活动的结果只有两种；2. 游戏或活动的任一结果只有一种情况.则可以直接得出这个游戏或活动是公平的.以上方法称为两分法.

例1在一些体育比赛（如足球赛和篮球赛）中，裁判通常在比赛开始之前用抛硬币的方法来决定比赛双方的场地和首先发球者.请问：这样做对比赛的双方来说公平吗？

解析： 抛硬币满足两分法，因为硬币的正反两面代表两种结果，各种结果都只有一种情况，并且随机事件“出现正面”发生与不发生是相对的，随机事件“出现反面”也是如此.出现正面和出现反面的机会都是1/2，故这样做是公平的.

评注： 比赛中用抛硬币的方法决定比赛双方的场地和首先发球者，随机事件“出现正面”如果发生，其结果只有一种情况，并且要么发生，要么不发生.随机事件“出现反面”也是如此，故符合两分法.两分法适用于相对比较简单的情况.而在如投掷骰子的相对复杂的游戏中，随机事件“投掷两枚普通正方体骰子，掷得的点数之和为3”若发生，可能会是（1，2）或（2，1），也就是随机事件发生的结果不仅仅是一种情况，我们就不能用两分法来处理.

二、列举法

列举法是指游戏或活动的结果不止一种，并且每种结果出现的情况可能也是不止一种，但又是有限的，可以一一列举出来，我们就将所有结果（一种结果对应一个随机事件）可能出现的情况分类列举出来，以便进行比较.

例2投掷两枚普通正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，则“第一枚骰子的点数为1且第二枚骰子的点数为6”是“两枚骰子的点数之和为7”的一种情况，我们记为（1，6）.如果我们在游戏中规定，掷出的两枚骰子的点数之和为7则甲方赢，掷出的两枚骰子的点数之和为9则乙方赢.这个游戏公平吗？如果不公平，它偏向哪一方？

解析： 从这个游戏的规定我们可以看出，出现（1，6），（2，5）等情况甲方都会赢.我们可以用列举法解决这个问题，如表1.

从表中我们可以看出，出现“两枚骰子的点数之和为7”的情况多一些，故该游戏不公平，偏向甲方.

评注： 如果随机事件有两种或更多种情况，又是可以列举出来的，我们就不妨将各个随机事件可能出现的情况全部列举出来.哪个随机事件可能出现的情况多，则这个随机事件发生的可能性就大.列举法是一种常用的方法，但是要注意，在列举时要考虑全面，不能遗漏.

三、递推法

递推法是利用想要出现的结果逆向分析，从而得出在游戏或活动中获胜的机会大小的方法.

例3桌子上放着20颗糖果，小明和小军玩游戏，两人商定的游戏规则为：两人轮流拿糖果，每人每次至少要拿1颗，至多可以拿2颗，谁先拿到第10颗糖果谁就获胜，获胜者可以把剩下的10颗糖果全部拿走.这个游戏公平吗？为什么？

解析： 要想拿到第10颗糖果，就必须要先拿到第7 颗，把第8颗或第8颗和第9颗留给对方.要想拿到第7颗，就必须要先拿到第 4颗，把第5颗或第5颗和第6颗留给对方.要想拿到第4颗，就必须要先拿到第1颗，从而把第2颗或第2颗和第3颗留给对方.由分析我们可以看出，这是一个明显偏向第一个拿糖果者的游戏，因此游戏不公平.

评注： 递推法是一种相对有效的方法，主要考查同学们的推测能力，要求是同学们在思考的时候思维一定要严密.

同学们在分析游戏或比赛是否公平时，一定要分清情况，根据具体情况采取相应的方法来分析.