作者简介：王继延，理学硕士. 曾执教高中十余年，并任中学校长. 现为华东师范大学数学系教授，国家数学课程标准核心组成员，全国初中数学实验教科书（华东师大版）常务副主编，教育部基础司项目“全国初中毕业、升学考试评价”数学学科负责人. 作为主编或主要人员参与编写或翻译多本数学教育专业著作与教材，如《全国初中数学实验教科书》《基础教育新课程师资培训指导（初中数学）》《数学教与学研究手册》《数学教学理论选讲》《数学物理方程》《文科数学-数学思想和方法》与《高中数学选修读本》等书，在《人民教育》《数学学报》《高等数学研究》《生态学报》《数学教学》等杂志上发表多篇文章.

同学们，对称美吗？请听王教授给我们一一解析对称的数学美吧.

你看，图1是某些名胜古迹的一些照片.

你发现了吗？这三张照片中的北京天安门、河南开封府与印度泰姬陵的图片都是轴对称图形，那个印度泰姬陵与水中的倒影还恰好成轴对称呢！生活中也有不少那样美的图形，如图2的蝴蝶与螃蟹的照片.

那么这些轴对称图形给我们带来什么信息呢？

让我们从最简单的轴对称图形说起吧.你看，将一条直线段绕着它的中点对折，两半一定重合.线段就是一种简单的轴对称图形.折痕，即对称轴，就是线段的垂直平分线.通过类似的操作实验，你还可以知道角是另一种简单的轴对称图形，折痕，即对称轴，就是角平分线所在的直线.由这些操作，我们还可得到垂直平分线与角平分线的一些性质.

那么一个轴对称图形的对称轴是否只有一条呢？当然不是！你看图3的一些图形，有的有三条，有的则更多.

现在请你观察一下，如下的一些汉字中，哪些是轴对称图形？如果是，那么它们各有几条对称轴？

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经过观察和实验操作，我们可以发现轴对称图形的基本性质是：关于对称轴对应的线段相等，对应的角也相等，连接对应点的线段的垂直平分线就是这一轴对称图形的对称轴.这就告诉我们，经过轴对称这一图形的变换，图形的形状与大小都没有发生变化.

你看！图4是一个飞机模型的一半，请你画出整个飞机模型.

我们已经看到等边三角形是一个轴对称图形，它有三条对称轴.那么如果只有两条边相等，也就是等腰三角形，它是否是轴对称图形呢？做个实验，猜测一下.画一个等腰三角形，剪下，将其对折（如图5），发现了什么？每位同学剪的等腰三角形有大有小，但有一点应该是完全一样的：对折后的两半完全重合！

那就是说等腰三角形是一个轴对称图形，那个折痕就是它的对称轴.据此，你还能发现等腰三角形的性质：两个底角相等，底边上的中线、高和顶角平分线互相重合（三线合一）.当然还有反过来的结论：两个内角相等的三角形是等腰三角形.这些可是十分重要的结论，需要我们理解记住，以后很多地方都会用到呢.

图形的变换，我们今天说了一个：轴对称.以后还会学习和研究另外几个，有如同轴对称那样使图形的形状与大小都不发生变化的平移与旋转，还有保持图形形状不变，大小可能发生变化的相似变换.这些变换都是我们研究几何问题的重要工具.

好了，今天就说到这里啦，还是让我们一起多想想吧，生活周围到处充满了轴对称给我们带来的数学美！

练习题：

1.如图6，在长方形台球桌面上有两个球M、N，怎样击打球M，可使其撞击一桌边缘反弹后，正好击中球N？（读者还可考虑：若击打球M，使其连续撞击两条或三条桌边缘反弹后，正好击中球N.那么该如何击打？）

2.图7画着的箭头是一个上下对称的轴对称图形，现在只知道其中一个角的大小和两条线段的关系.要求你剪两刀，把它剪成三块，再拼成一个正方形.想想看，该怎样剪.

3.如图8，一辆汽车在直线形的公路AB上由A处向B处行驶.M、N分别是位于公路两侧的村庄.

（1）当汽车从A出发向B行驶时，在公路的哪一段路上距离两村庄M、N都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远？何处距离村庄N最近？

（2）在公路上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点位置时，恰好与两村庄M、N的距离相等？如果存在，请画出这一点；如果不存在，请简要说明理由.

参考答案：

1.作点N关于桌边的对称点N′，连接MN′，与桌边交于点C.则沿着MC方向击球，即可达到目的.

2.如图9.

3.（1）分别过点M、N作直线AB的垂线，设垂足为E、F.显然当汽车在AE上行驶时，距离两村庄M、N都越来越近；而当汽车在EF上行驶时，距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远；当汽车行驶到点F处时，距离村庄N最近.

（2）存在这样的点H.作线段MN的垂直平分线，与AB的交点即是点H.