李庆社

如何搞好期末复习呢？看看李老师给我们是如何支招的吧.

期末复习是完成一学期的数学学习任务之后的一个系统、完善、深化和熟练运用所学内容的关键环节.重视并认真完成这个阶段的学习任务，不仅有利于同学们巩固、消化、归纳所学的数学基础知识，提高分析问题、解决问题的能力，而且有利于在实际生活中运用所学知识.同时也是让基础较弱的同学对教材知识进行再学习的过程，从而达到查漏补缺的目的，提高学习成绩.下面谈一下期末复习的具体措施和方法.

一、围绕新课标，制定复习计划

本学期的学习内容多而杂，共有六章内容，主要包括一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式和一元一次不等式组、多边形、轴对称和体验不确定现象等知识.同学们应该围绕新课标规定的内容和系统化的知识要点，精心编制复习计划.计划的编写必须依据自己平时的学习情况，可采用基础知识习题化的方法，通过做老师组织的测试题，从中找出难以理解、遗忘率较高且易混淆易出错的知识点，确定复习的重点、难点.复习计划编好后，要做好习题的选择、配套练习的筛选，从而明确自己的复习目标.

例1一个箱子中放有红、黄、黑三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出黑色小球者为赢.你认为这个游戏公平吗？

简析：通过实验我们可以知道从一个放有红、黄、黑三种小球的箱子中任意摸出一个小球的机会是均等的.由于三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，所以摸出黑色小球的机会也是均等的.即三个人赢的机会是均等的，这是一个公平的游戏.

小结：判断一个游戏是否公平的关键是看游戏双方赢的机会是否相等.

例2一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相向而行，从相遇到离开需4秒，如果同向而行，从快车追上慢车到离开需16秒.求两车每小时各行驶多少千米.

简析：设快车每小时行驶x千米，慢车每小时行驶y千米.则根据题意，得4（x+y）=168+184，

16（x-y）=168+184.即x+y=88，

x-y=22.解得x=55，

y=33.即快车每小时行驶55千米，慢车每小时行驶33千米.

小结：通过对本题的解答，能够掌握列方程组解应用题的知识和二元一次方程组的解法.同时还要考虑如果两车相向而行，则其相对速度为速度之和，如果两车同向而行，则其相对速度为速度之差.这一点同学们很容易理解，但问题是在相对移动的过程中，移动的距离应为两列火车的长度之和，大家却不易理解而往往会造成错解，这是要特别注意的.

二、掌握“双基”，题型训练系列化

复习开始的第一阶段，首先必须要过好课本关，牢固掌握课本上的基础知识和基本技能.对自己提出明确的要求：①对基本概念、法则、公式、定理不仅要能正确叙述，而且要能灵活应用；②对课本后练习题必须逐题过关；③每章节后面的复习题，要能一题不漏地独立完成，不能独立完成的可以请教其他同学或在老师的指导下完成.对一些基础较好的同学应注意设计好“问题群”和“习题群”，即分题型组织复习，总结规律.

例3（1）已知关于x、y的方程组3x+y=k+1，

x+3y=3，其中2＜k＜4，则x－y的取值范围是（ ）.

A.0＜x－y＜B.0＜x－y＜1

C.－3＜x－y＜－1D.－1＜x－y＜1

（2）已知方程组y-2x=m，

2y+3x=m+1的解x、y满足2x+y≥0，则m的取值范围是（）.

A.m≥－ B.m≥

C.m≥1D.－≤m≤1

（3）不等式组x+2a>4，

2x-a-b<5的解是0＜x＜2，那么a+b的值等于.

简析：（1）要求x－y的取值范围，若已知不等式组的两式相减，得2x－2y＝k－2，即k＝2x－2y+2.而2＜k＜4，所以2＜2x－2y+2＜4，此时视x－y为一个整体，得0＜x－y＜1.故应选B.（2）用加减法解方程组y-2x=m，

2y+3x=m+1，得x

=，

y

=.因为2x+y≥0，所以有2×+≥0，即≥0，解得m≥－.故应选A.（3）视a与b为常数，解不等式组x+2a>4，

2x-a-b<5，得x>4-2a，

x

<.因为不等式组x+2a>4，

2x-a-b<5的解是0＜x＜2，所以有4-2a=0，

=2.解得a=2，

b=-3.当a＝2，b＝－3时，a+b＝－1.

小结：通过对这一题组的解答，既能掌握方程组的解法，又能巩固不等式或不等式组的解法.从中可体会整体思维在求解中的作用.

三、知识点系统化，重点系列化

通过复习应对本学期已经学过的知识进行系统化整理，根据基础知识的相互联系及相互转化关系，梳理归类，分块整理，重新组织，变为系统化、条理化的知识“树”，牢牢地记在脑海里.例如，将一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式和一元一次不等式组放在一组，多边形和轴对称放在一组，体验不确定现象为一组.通过归类，对比复习，分块练习与综合练习交叉进行，使自己真正掌握教材中所学习的内容.

另外，复习的根本任务就是寻求解题方法与揭示解题规律.具体应该做到：①知道常见题型的解题方法；②重视这些题目中蕴涵的数学思想方法；③关注近年中考新题型.

例4如图1，在四个正方形拼接成的图形中，以这十个点中任意三点为顶点，共能组成个等腰直角三角形.你愿意把得到上述结论的探究方法与他人交流吗？若愿意，请简要写出你的探究过程：.

简析：以A1为直角顶点的等腰直角三角形是△A1A2A10，以A2为直角顶点的等腰直角三角形是△A1A2A3，以A3为直角顶点的等腰直角三角形有△A10A2A3、△A10A4A3、△A1A7A3、△A9A5A3共4个，以A10为直角顶点的等腰直角三角形有△A10A1A3、△A10A7A3、△A10A9A7、△A10A2A4、△A10A8A4共5个，以A9为直角顶点的等腰直角三角形是△A10A9A8，这样分别以A1、A2、A3、A10、A9为直角顶点的等腰直角三角形共有1+1+4+5+1＝12（个）.同理，分别以A6、A5、A4、A7、A8为直角顶点的等腰直角三角形一共也有1+1+4+5+1＝12（个）.因此，在整个图形内共可组成12×2＝24（个）等腰直角三角形.

小结：解答本题时一定要掌握求解的方法和一般规律，不能没有目标地去数，这样是得不到正确答案的.本题渗透了分类和对称的数学思想.

四、适量练习，解题方法最优化

同学们在进行系统的知识梳理、把握教材内容之后，即开始最后的综合复习.这个阶段，除了重视课本中的重点章节外，主要以练习为主，充分发挥自己的主体作用.可以章节综合习题和体现系统知识为主的综合练习题为主，从中查漏补缺，巩固复习成效，达到自我完善的目的.

另外，在解题时应养成良好的审题习惯，注意书写规范等.应强调解题方法的系统性，如数学的基本方法和常用的解题技巧等.

例5某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元.它们的进价和售价始终不变.现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元.

（1）该公司有哪几种进货方案?

（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润?最大利润是多少?

（3）若用（2）中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案.

简析：（1）由于准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元，所以若设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（20－x）件.这样就可以根据题意，得190≤12x+8（20－x）≤200，解得7.5≤x≤10.因为x为非负整数，所以x取8，9，10，所以有三种进货方案：①购甲种商品8件，乙种商品12件；②购甲种商品9件，乙种商品11件；③购甲种商品10件，乙种商品10件.（2）因为（14.5－12）×8+（10－8）×12＝44（万元），（14.5－12）×9+（10－8）×11＝44.5（万元），（14.5－12）×10+（10－8）×10＝45（万元），所以购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润，最大利润是45万元.（3）购甲种商品1件，乙种商品4件时，可获得最大利润.

小结：列不等式（组）解应用题的特征是：一般所求问题含有“至少”、“最多”、“不低于”、“不大于”、“不小于”等词语，求解时要正确理解这些词的含义.列不等式（组）解应用题和列方程（组）解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：①设未知数；②找不等关系；③列不等式（组）；④解不等式（组）；⑤检验.其中检验是正确求解的必要环节.本题由（1）利用不等式组求出了进货方案，从而为后面的问题解答打开了绿色通道.

期末复习的时间毕竟是有限的，那种搞题海战术的复习方式是不可取的，为此特提醒同学们在有限的复习时间里应注意下列几个问题：

1.学而又思不罔，回忆有助提高.在理解的基础上建议对重要概念、公式、定理、方法、数学思想加深认识和提高.可采用回忆式复习，即合上课本或练习册，在脑海中像过电影一样回忆有关知识或解题步骤.回忆式复习的前提是要确认知识或方法的正确性，然后再重新思考解题过程，获得解同类题的经验.

2.抓住内在联系，学会知识联想.将知识放在相应的体系结构之中记忆，在比较、辨析的过程中寻求内在联系.学会重组、整合、归类、总结知识，形成体系，达到触类旁通的效果，将知识转化为能力.

3.以求实的精神夯实基础，以求细的态度拓宽知识面.提高数学能力离不开基础知识、基本技能和基本方法.如果离开扎实的基础知识和基本技能，空谈提高能力将成为无源之水、无本之木.