1 例题呈现

已知椭圆 上有一点 A（0，1） ，设点 O 为坐标原点，直线 l：y=kx+t（t≠±1） 与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q ，直线 AP 与 x 轴交于点 M ，直线 AQ 与 x 轴交于点 N ，若 ∣OM∣⋅∣ON∣=2 ，求证：直线 ξ_l 恒过定点.

2 方法展示

2. 1 利用斜率乘积为定值

直线过定点的问题，一般需要将直线方程和椭圆方程联立，通过设而不求的方式得到参数之间的关系，最后得到直线恒过定点.在此过程中要注重直线的几何位置，利用一些椭圆的二级结论，如经过椭圆两顶点并交于一点的直线斜率乘积为定值进行列式求解.

证明 若 k=0 则 ∣OM∣∙∣ON∣≠2. 当 k≠0 时，设 P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（m 0）， N（n，0） ，则 又因为 ∣OM∣∙∣ON∣=2

所以 mn=±2 .

联立

得 （1+2k²）y²-2ty+t²-2k²=0

代人

得

若

故 2t-2=2t+2 ，矛盾，舍去；

若 ，则 t=0

于是直线 l：y=kx ，即恒过定点 （0，0）

评析掌握一些圆锥曲线中的常用结论，并补充相应的结论证明，就可以列出相关等式进行求解.

2.2 利用坐标变换

坐标变换是一种简化问题的处理方法，通过对椭圆图形进行改变，使得其几何位置更加特殊，从而简化对直线定点的求解.例如可以通过坐标变换的方式将定点转化为新坐标系中的原点，再进行反推，证明 设 则椭圆方程变换为

艮 （20

设直线 l：mx^′+ny^′=1 （假设直线 ξ_l 在新坐标下不过原点）.

联立

（20

得

山

换元得

即 （2+4n）s²+4ms+1=0

由韦达定理得s1S2=2+4n

结合已知条件得 n=0 或 n=-1

当 n=0 时， 即 ，此时直线 ξ_l 的斜不存在，舍去；

当 n=-1 时，直线 ξ_l 的方程为 mx^′2-y^′2=1 ，可知直线 ξ_l 过定点 （0，-1） ，即在原坐标系中的定点为（0，0）.

若直线 ξ_l 在新坐标系下过原点，则在原坐标系中过点（0，1），与题意矛盾.

评析此方法难度较大，需要学生理清两个坐标系之间的联系，同时保证运算的准确性.

2.3 利用坐标表示

对于题目中的……