1试题展示

如图1，二次函数 y=-x²+ bx+c 的图象与 Ψ_x 轴交于 A ，B（2，0） 两点，与 轴交于点 C（0，6） AP 为该图象上一动点，连接AC，BC

（1）求二次函数解析式；

（2）直接写出 ∠ACB 的度数；

（3）当 ∠ABP=∠ACB 时，求点 P 坐标；

（4）如图2，在（3）的条件下，平行于 BP 的动直线 ξ_l 与该图象交于 D，E 两点（直线 l 与 BP 不重合），连接 PD，BE ，直线 PD 与 BE 是否在 轴上交于同一点，请说明理由.

2解法探究

本题前三问都是常规问题，亮点在探索第（4）问，限于文章的篇幅，前三问直接写出答案：

（1）二次函数解析式为 y=-x²-x+6 ： （ 2）∠ACB=45^∘ . （3）点 P 坐标为 （-2，4） 或 （-4，-6） ： 我们重点探索第（4）问的解法.

方法一：顺着题意自然求解.

本问是在抛物线背景下探讨直线 PD 与 BE 是否在 y 轴上交于同一点.要讨论两个一次函数图象与 y 轴上是否交于同一点，自然是求出两个一次函数的表达式，看它们表达式中的 b 是否相同，相同则交于同一点，不相同则不交于同一点.

题目条件首先提出“如图2”，图2中的点 P 坐标为（一2，4），在第二象限.

接着题目条件是“在（3）的条件下，平行于 BP 的 动直线l”，而直线 BP 解析式为 y=-x+2 ，所以设直

线 ξ_l 解析式为 y=-x+t

再读题目“动直线 ξ_l 与该图象交于 D，E 两点”，联立方程组{y=-x+t， 解方程组得，

所以点 D 的坐标 ，点 E 的坐标

由点 P，D 的坐标可得直线 PD 的表达式为

则直线 PD 交 y 轴于点

由点 B，E 的坐标可得直线 BE 的表达式为

则直线 BE 交 y 轴于点

故直线 PD 与 BE 在 轴上交于同一点.

方法一顺着题意，步步为营，对基本的运算能力要求非常高.

方法二：换个角度简化运算.

设 D（m，-m²-m+6），E（n，-n²-n+6）

易知直线 BP 解析式为 y=-x+2 ，设直线 DE 解析式为 y=-x+t ，则由 -x²-x+6=-x+t 得 x²+t-6=0 ，所以 m+n=0 ，即 n=-m

所以 E（-m，-m²+m+6）

由点 P（-2，4），D（m，-m²-m+6） ，得直线PD 的表达式为 y=（1-m）x+6-2m ：

由点 B（2，0），E（-m，-m²+m+6） ，得直线BE的表达式为 y=（m-3）x+6-2m

所以，直线 PD 与……