潘璐璐 徐根玖

摘  要：教书且育人的理念在我国有着深厚的文化基础，教师依托于课程在落实课程思政的过程中发挥着至关重要的作用。通过探讨大学数学课程实施课程思政的立足点和发力点，提出数学课程育人要依托于数学课程自身特点和专业内涵，植根于数学教师的专业知识和专业素养，注重数学史特别是中国数学史的融入，以及数学不同分支知识之间的互通互融，同时也要重视教材建设。

关键词：大学数学；课程思政；数学史；数学思想；数学教材

中图分类号：G641      文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2024）15-0193-04

Abstract：  The concept of teaching and educating has deep cultural deposits in our country. Teachers play a vital role in the process of implementing curriculum ideological and political. By exploring the foothold of the implementation of curriculum ideology and politics in college mathematics curriculum， this paper proposes that mathematics curriculum education should rely on the characteristics and professional connotation of mathematics curriculum， take root in the professional knowledge and professional quality of mathematics teachers， pay attention to the mathematics history， especially the history of Chinese mathematics， focus on the mutual integration of different branches of mathematics knowledge， and also pay attention to the construction of teaching materials.

Keywords： college mathematics; curriculum ideological and political; history of mathematics; mathematical thought; mathematics textbook

为人师者，信守师道，铸就师德，是中华优秀传统文化。课堂教学是教师传道、弘道的主阵地。在课程思政理念被系统提出之前，广大教师都或多或少、有意无意在课程教学中践行育人职责，但多呈碎片化形式，缺乏系统性、整体性设计。教育部印发的《高等学校课程思政建设指导纲要》指出，要明确课程思政建设目标要求和内容重点，结合学科专业特点分类推进课程思政建设。这对新时代各门课程的育人工作提出了更具体、更高的要求。

理科课程的内容主要是事物运行的自然规律和发展规律，具有很强的客观性，价值属性却不明显，这与人文社科类课程有很大不同。因此，相比于人文社科类课程，理科课程践行课程思政理念存在诸多困难和挑战。特别是数学课程，其主要关注“对现实世界的数量关系、空间形式和变化规律进行抽象，通过概念和符号进行运算与逻辑推理[1]”，几乎不涉及意识形态问题。这对数学课程授课教师提出了新的挑战。近年来针对大学数学课程思政工作，不少教师在总体目标规划、思政元素挖掘途径、思政元素融入教学的方法等方面都做了一些有益的探索[2-3]。

笔者认为，要落实数学课程的育人价值，应运用好数学教师自身具有的专业知识和专业素养，更加专注于数学课程的特点和内涵，以避免“表面化”“硬融入”等问题，避免让学生产生“油溶于水”的感觉，真正让数学课程思政入理入情入味、入耳入脑入心。以下对大学数学课程落实课程思政的方法和途径进行逐一探讨。

一  大学数学课程践行课程思政的立足点与发力点

课程思政是落实立德树人的战略举措，是以课程为载体，将价值观塑造融入知识传授和能力培养的全过程，其目标是培养有用之才、创新之才。对于大学数学课程思政之术，笔者认为，结合数学课程的特点，可以从以下四個方面来理解与落实。

（一）  在课程中融入数学史，再现数学发现过程，促进科学思维形成

数学史是跨越时空的数学智慧，关于数学的故事跨越了几千年，至今仍有新的篇章在加入。正如数学家陈省身先生所言：“数学是一种‘活的学问，它的内容不断在变化，在进展。”数学的发展是活生生的，有血有肉的。它不断为人们提供新概念、新方法，促进着人类思想的解放与不断前行。

以高等数学（微积分）课程为例，微积分的思想在公元前就已经开始萌芽。古希腊数学家阿基米德使用分割的方法解决计算面积、体积等实际问题。公元一世纪左右成书的《九章算术》中方田和商功二章也记录了我国古代数学家计算面积和体积的方法。但由于分割方法及分割程度的问题未能解决，面积和体积的计算一直是不够精确的，数学家们历经漫长的岁月也没有取得实质性的进展。直到17世纪，牛顿和莱布尼兹依托于前人的工作分别创立了微分法和积分法，并且发现这两种方法实际上是对立统一的（具体体现在微积分基本定理中，也称为牛顿-莱布尼兹公式）。但由于早期的微积分缺乏严格的理论基础，很快就陷入了重重危机，并引发了历史上第二次数学危机。在随后的两个世纪，众多数学家如柯西、黎曼、刘维尔和魏尔斯特拉斯建立了严格的极限、连续、导数的定义，微积分才具有了严格性和精确性。然而，随着微积分在各个领域的深入应用，各种复杂的新的问题接连产生，微积分再次陷入了危机。直到数学家康托尔、沃尔泰拉、贝尔和勒贝格将严格性与精确性同集合论与艰深的实数理论结合起来之后，微积分的创建过程才抵达终点[4]。

但大多数高等数学（微积分）课程，一开始先把极限、连续等抽象的概念进行讲授，继而讲微分，再讲积分。极限定义中的“ε-N”“ε-X”“ε-δ”表述形式不仅让学生感觉高数抽象难懂，也无法让学生感受数学知识发展演变的真实历程，很难感受到数学家们在数学发展历史长河中炙热的思考，这使得数学教学从火热的思考走向了冰冷的美丽，变得越发“形式化”，让学生对数学的感觉就是从定义到定理再到性质，会计算就可以，不足以提升学生的数学思维和培养创新能力。因此，在高等数学课程教学第一节绪论课中向学生概括性介绍微积分发展历程，让学生了解到微积分曲折的发展历程，感受微积分的发展不是一蹴而就的，激励学生在课程学习过程中不断探索，积极思考课程内涵，打好大学数学学习的基础，是十分必要的。

实际上，同微积分发展历程一样，数学历史中很多学科的建立都不是一帆风顺的，大多数成果都是历经艰难曲折才完成的。如负数和虚数的引入，虽然一开始遇到了极大阻力，但最终为数学提供了更广泛的工具和观点，推动了代数、分析等领域的深入发展；又如19世纪非欧几何的产生引发了数学界的极大震动，但这一挑战促使数学家重新审视几何的基础，并为后来的拓扑学等领域铺平了道路；20世纪初集合论的引入也曾受到了强烈的争议，但最终成为现代数学的基础之一；1931年哥德尔提出的不完备性定理，证明了在任何足够强大的公理体系中，总存在一些命题是无法被证明真假的，这一发现打破了对数学完备性的幻想，但同时也促使了对形式主义和构造主义等数学哲学观点的深刻思考，推动了数学基础的进一步研究。可以看出，正是由于这一次又一次被解决的困难和矛盾，才促使了数学不断飞跃与深化。纵观数学发展长河，许多数学家甚至没有经过系统专业的数学专业训练，完全是凭借着自己对数学浓厚的兴趣与不懈的坚持，在业余时间刻苦钻研才取得了很多优秀的成果。因此，在数学教学中适当融入数学发展历程中的故事，再现数学发现过程，可以使学生更好地理解数学的发展脉络，激发学生对数学学习的兴趣，使学生们感受到数学并不是一堆枯燥的公式，而是一个充满创造性的学科，是学生形成理性的思考能力、进行素质教育的重要途径。

（二）  讲好中国数学史，弘扬中国数学文化

中国数学史是中国文化史的一部分，也是世界文化史的一部分[5]。虽然西方关于数学史的书籍中较少描述中国数学发展历史，但这并不能湮灭中国数学取得的辉煌成就。每一位数学教学工作者，都有责任有义务了解并传播中国数学在世界数学发展过程中的重要贡献，共同推进我国的数学事业发展。

中国在十进位值制上作出了突出的贡献[6]。在河南安阳殷墟出土的甲骨文（经碳-14测龄，大约在公元前1 400年前）表明古代中国已经采用了十进制，同样的符号在周代的青铜器上也有出现。中国在早期的数学研究中不仅使用了十进位制，而且对其进行了深刻的思考和发展。这些概念和方法在后来的数学发展中具有持久的影响，为十进位制在全球的传播和应用奠定了基础。《周髀算经》中记载的公元前十世纪左右周公与商高的对话，“勾广三，股修四，径隅五”，就已经给出了勾股定理及其证明。西汉时期张苍编撰的《九章算术》，收集了自公元前1 000年累计下来的官方数学数据，包括了体积、面积、方程式的计算等多种数学问题，并涉及矩阵中的高斯消元法。后世的数学家们，大都是从《九章算术》开始研习数学，很多人曾为它作过注释，其中刘徽、李淳风等人的注释和《九章算术》一起流传至今。《九章算术》对世界数学的发展也作出了卓越的贡献，不仅在隋唐时期即已传入朝鲜、日本，还被译成日、俄、德、法等多国语言，广泛传播。刘徽提出的“割圆术”以及祖冲之对圆周率的计算，是我国古代极限思想的杰出代表。我国南北朝时期成书的《孙子算经》中第一次提到了一次方程，并发现了中国定理，这个定理可以说是中国古代数学最富原创性的定理。在宋代，这项研究又推广至待定线性方程的研究，同时也产生了很多优秀数学家和著作。秦九韶使用杨辉三角形（西方也叫帕斯卡三角形）方法解决了高次方程开方问题。郭守敬推导出现在被称为牛顿-斯特林公式的三次插值公式。

然而宋代以后中国数学发展逐渐滞后于西方。虽然徐光启和李善兰开始了中国数学发展历史中的西学东渐，但宋代之后的数学家并没有像汉代宋代那样取得原创的进展。虽然清代康熙皇帝对数学的发展付出了相当多的努力，中国数学的辉煌历史仍然没有得以延续。

经历了一段时期的低迷之后，中国近代数学开始创新崛起，涌现出一大批卓越的数学家如华罗庚、陈省身等，他们在几何和现代拓扑、解析数论、多复变分析、偏微分方程和高维数值积分等领域作出了许多开创性的工作。同时两位先生也培养出了许多才华横溢的学生如陈景润、苏步青、陈建功、熊庆来、吴文俊、冯康和王元等，他们在基础数学、计算数学、應用数学等领域的研究都大放异彩，对数学的发展作出了重要的贡献。这段时期中国数学发展既表现为学科广度的拓展，也表现为在一些前沿领域的深度研究，为中国数学在国际上的地位奠定了坚实基础。这个时期的数学家们以其深厚的数学功底和创新意识，在全球范围内取得了显著的成就。

历史的进程表明，文化和经济的发展对数学的进步起着至关重要的作用。一方面，要为中国古代数学取得的辉煌灿烂的成果感到自豪，另一方面，也不回避近代数学发展相对于西方的滞后。虽然我国没有抓住工业革命的历史机遇，后又饱经战乱和列强欺凌，导致我国科技和人才长期落后，但现在我国正处于政治稳定、经济繁荣、创新活跃的时期，为加快建设世界重要人才中心和创新高地创造了有利条件。通过在数学课程教学过程中融入中国数学的发展历史，“万物有所生，而独知守其根”，鼓励莘莘学子抓住大好时机，奋发图强，在守正中寻求创新，为中国数学的发展、科技的发展贡献力量，不忘本来，开创未来。

（三）  注重数学思想方法的互通互融，提高创新思维能力

数学思想，是对数学知识和方法经过概括后产生的本质认识[7]。数学思想既体现在类比、归纳、演绎等数学方法中，也体现在数学课程具体知识点中，如极限思想、数形结合思想等，同时也体现在不同数学分支之间的互通互融中。在数学学习中领悟数学思想，是数学学习的要义所在，是大幅度提高数学思维和数学能力、灵活运用数学知识解决科学问题的重要途径，为学生最终成长为具有深厚科学素养的人才奠定扎实的基础，同时也是高校培养创新型人才的重要保障。

大学阶段的数学是按课程学习的，在学习的过程中，学生往往会把每门课程孤立地进行学习，很少能将课程之间的壁垒打通，将不同分支的数学知识互通互融。以大学阶段高等数学和线性代数课程为例，按照数学三大分支（分析、代数、几何）分类方法，这两门课程分别属于分析和代数范畴，在研究对象、研究方法和研究思想上有着明显的区别。但实际上，高等数学中研究微积分最重要的思想就是局部线性化，也就是我们常说的“以直代曲”，这就将分析中的非线性问题转化为了线性问题，就可以用线性代数的知识加以诠释[8-11]。这可以举出很多例子。比如微积分中判断多元函数极值的充分条件，在线性代数中就是黑塞矩阵（Hessian Matrix，即目标函数f在点x0处的二阶偏导数组成的n×n阶对称矩阵）正定（负定）性的判定；在微积分中的多元函数全微分概念中，全微分的定义是用两个偏导数的线性组合表示的，即dz=■dx+■dy，而我们也可以利用线性代数中自变量空间的基变换方法，推演出二元函数全微分的两个方向不平行的方向导数的线性组合表示。这对于学生的学习来说，无疑也是具有启发性的，对提升学生的学习兴趣、提升数学思维能力和创新能力都是大有裨益的。教师通过在数学课程教学过程中将不同数学课程中的知识相互联系，可以使学生更全面地理解数学的整体结构和应用，提高数学素养和解决实际问题的能力。这也有助于打破课程之间的壁垒，使学生更好地理解数学的整体框架。

此外，数学课程与其他课程之间也有非常多的思想与方法上的互通互融。例如，微积分和线性代数中的思想和方法在物理学和工程学中有着广泛的应用。微积分被广泛用于解决质点和刚体的运动方程、计算热量的传递和功的产生、描述电场和磁场的分布、解决电磁感应和电磁场变化、描述流体运动方程等问题，线性代数提供了对位移、速度和力等物理量进行向量表示和运算的方法、描述刚体的旋转和平移、对信号在不同域进行表示和分析、对线性时不变系统进行建模和分析等。又如离散数学中的思想和方法在计算机科学中具有重要的地位。数值分析中如数值逼近和数值优化，在计算机科学领域中处理大规模数据和优化问题也起到了非常重要的作用。而概率论与统计思想与方法在经济学中也得到广泛应用。在数学课程的讲述过程中，如能通过简单的实际应用案例作为引入，最后再用所学的数学知识解决问题形成知识闭环，可以使学生建立起更为统一和深入的数学知识体系，提升学生将数学应用于实际问题的能力。

（四）  加强教材建设，发挥教材启发心智的作用

教材是教学过程中非常重要的教学资源，不仅是知识的载体，还是在教学活动中师生之间交流的基本资料。然而数学教材上的数学，经过多次的加工，刀斧的痕迹，清晰可见。正如数学家和数学史家克莱因（M·Kline，1908—1992年）所说，这样的数学教材会使人觉得数学家们可以理所当然地从定理到定理，数学家们能克服任何困难。对于学生而言，他们在一开始学习数学课程的时候，就被淹没在成串的定理中。这也造成了在很长一段时间里，实际的数学教育往往偏重于数学理论的灌输，少有启发心智的内容，往往使学生感到数学的抽象难懂、遥不可及。打个比方这就好比盖房子，现有的教材呈现给学生的是一栋完整的、功能齐全的建筑物，学生很难探究房子是如何建造出来的，但实际上在建造房子的过程中要历经一系列的工序，甚至有可能存在出现问题进行返工的情况。正因为现有的大多数数学教材内容往往都是“定义—定理—计算”的内容安排，会让学生感觉数学是一门枯燥乏味的学科，很多人对数学学习产生了畏惧心理。

一方面，可以在数学教材中增加数学的发展历史，这就像在给学生展示房子建造的全过程，让数学活起来，启发学生更好地探索数学思想的产生根源，加深对数学本质的认识，进一步帮助学生树立科学的数学观和辩证唯物主义的认识观。另一方面，增加数学教材中的启发性内容，而非单一地罗列定义、定理、例题。举个例子，线性代数中特征值特征向量的概念在工程中有着广泛的应用，但大多数线性代数教材都是直接给出其定义（当Ax=λx，非零向量x是矩阵A的特征向量，λ是非零向量x对应的特征值）。这个定义对于学习过线性代数课程的学生应该是烂熟于心的，可是为什么这么定义？这个简洁的定义背后有着怎样的深层次含义？笔者在给学生进行这部分知识讲授的时候，会从特征值、特征向量的英文名称（eigenvalue，eigenvector）進行引入，eigen作为一个德文词根，它的意思是本征、特征、特有，突出了特征值和特征向量与给定矩阵的内在性质的关联，强调它们是该矩阵特有的属性。借助于MATLAB软件中的eigshow功能，可以很直观地看到一个确定的二维矩阵A和平面上的所有向量x相乘时，向量Ax的方向有时会与向量x的方向保持一致（当然也不是所有的二维矩阵都具有这个结论，这个问题可以留给学生课后思考），只是长度可能会发生一些改变，这些方向不变的非零向量即为特征向量，可以看作为矩阵的一个固有属性，因此就有了Ax=λx。然后再引出特征值和特征向量的定义，这样可以使得学生对定义理解更为直观，而不是仅仅背住了公式，只是会计算而已。以这种引导式启发式的方式重新构建我们的数学教材，笔者认为是一种有益的尝试。

二  结束语

课程是落实立德树人的主要载体，教师是课程思政的执行者和实施者，而课程思政的根本目标是人才培养。一方面，教师要主动开阔自己的视野，丰富自己的知识储备，砥砺德行，身正为范；另一方面，课程思政要因课程而异，数学教师要更多从数学的视角挖掘思政元素，通过数学的具体例子，引导学生进行德育思考，同时作为数学教师也可以更得心应手收放自如，使得育人工作更有成效。我们始终认为，落实课程思政的过程是孕育更多卓越教师的过程，也是切实落实培育人、塑造人的过程。全面、精准地在课程教学中实施课程思政，是实现教育大计的坚实基础。

参考文献：

[1] 史宁中.教育与数学教育[M].长春：东北师范大学出版社，2006.

[2] 彭双阶，徐章韬.大学数学课程思政的课堂教学实现[J].中国大学教学，2020（12）：27-30.

[3] 秦厚荣，徐海蓉.大学数学课程思政的“触点”和教学体系建设[J].中国大学教学，2019（9）：61-64.

[4] WILLIAM D，李伯民.微积分的历程：从牛顿到勒贝格[M].北京：人民邮电出版社，2010.

[5] 钱宝琮.中国数学史[M].北京：北京科学出版社，1981.

[6] 周向宇.中国古代数学的贡献[J].数学学报中文版，2022，65（4）：581-598.

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[8] 鲁自群，李铁成.微积分教学和线性代数教学的相互借鉴[J].大学数学，2019，35（5）：35-39.

[9] 陈桂东，崔周进.从三届全国大学生数学竞赛看线性代数在高等数学中的应用[J].大学数学，2014，30（4）：113-116.

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