王卫杰 张雅声 姚红 张学阳 周海俊

摘  要：航天器轨道力学是航天领域基础性学科。轨道机动是轨道力学课程教学的重要组成部分。教材是实施教学的载体，系统梳理典型航天器轨道力学教材及其特点，分别对国外和国内典型轨道力学教材中轨道机动相关章节的内容进行分析，研究归纳出当前轨道机动教学内容存在轨道机动动力来源不统一、轨道改变内涵不明确、轨道调整和调相机动未受普遍关注等问题，进而面向本科教学，突出高阶性、创新性和挑战度，构建轨道机动教学内容的改革思路，以期为轨道力学课程教学改革提供支撑。

关键词：航天器；轨道力学；轨道机动；轨道力学教材；教学内容改革

中图分类号：G642        文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2024）15-0011-04

Abstract： Orbital mechanics of spacecraft is a basic discipline in the aerospace field. Orbital maneuver is an important part of the teaching of orbital mechanics. Textbooks are the carrier for implementing teaching. This paper systematically sorts out typical orbital mechanics textbooks of spacecraft and their characteristics， analyzes the contents of relevant chapters of orbital maneuver in typical orbital mechanics teaching materials at home and abroad. The study summarizes that the current orbital maneuver teaching content has inconsistent sources of orbital maneuver power， the connotation of orbital change is not clear， and orbital adjustment and phase modulation maneuvers have not received widespread attention. In order to provide support for the teaching reform of orbital mechanics， we should focus on undergraduate teaching， highlight the high order， innovation and challenges， and build a reform idea for the teaching content of orbital maneuver.

Keywords： spacecraft; Orbital Mechanics; Orbital Maneuvers; orbital mechanics textbook; teaching content reform

轨道力学（Orbital Mechanics）是以刚体航天器为研究对象，以高等数学、经典力学、控制理论为基础，分析它们在万有引力及其他内外力作用下的运动特性和控制规律的一门科学，是天体力学在航天领域的具体应用。自1957年第一颗人造地球卫星发射成功以来，轨道力学逐步发展成为与航天工程实践密切相联系的学科，在航天任务设计、航天测控、航天器应用等方面具有重要的地位和作用。轨道力学课程也是培养航天工程技术和指挥管理人才必须开设的一门专业基础課程。

轨道机动（Orbital maneuvers）是指航天器在控制系统作用下有目的地改变其轨道参数，是人造天体与自然天体本质性的区别。目前对航天器可控机动飞行的研究已形成一个新的研究领域，成为天体力学的一个新分支即应用天体力学。轨道机动理论和方法是培养学员知天、用天能力的重要知识基础，科学系统的轨道机动教学内容是提高人才培养质量的前提。教材是教学内容的集中展现，是实施教学的载体，直接关系着教学质量。在系统梳理国内外典型航天器轨道力学教材基础上，深入分析其中轨道机动相关内容的特点，研究总结出当前轨道机动教学内容存在的问题，进而面向本科教学，突出高阶性、创新性和挑战度，构建轨道机动教学内容的改革思路。

一  典型轨道力学教材梳理

航天技术是一个国家现代技术综合发展水平的重要标志，培养高素质航天人才是建设航天强国的基础性工程。目前，国内外主要的航空航天类院校，如哈尔滨工业大学、西北工业大学、国防科技大学、美国麻省理工学院、美国安柏瑞德航空航天大学和美国空军学院等国内外航天名校，均开设了轨道力学相关的课程。不同的学者和机构对轨道力学课程或教材名称称呼略有不同[1]，除轨道力学外，常见的名称还有轨道动力学（Orbital dynamics）、航天动力学（Astrodynamics）等，表1给出了国内外代表性的航天器轨道力学教材。

表1所示的轨道力学系列教材中，An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics作为麻省理工学院的航天动力学课程教材，重在数学方法的介绍和基本概念的阐述，公式推导简洁明了，已经倪彦硕等人翻译为中文版[2]，但其内容章节编排和其余教材差异较大，故不作进一步讨论。

张洪波在《航天器轨道力学理论与方法》[3]中论述到，轨道力学的研究内容可分为轨道动力学和轨道控制两部分。杨嘉墀在《航天器轨道动力学与控制》[4]中指出，轨道动力学主要是研究航天器在重力场和其他外力作用下的质点动力学问题；而航天器的轨道控制则研究对航天器的质心主动施加外力，使之按需要改变运动轨道的理论和技术。轨道力学的经典研究内容则包括二体轨道、轨道确定、轨道摄动、轨道机动、轨道设计、行星际和探月轨道等部分。根据上述定义，经典轨道力学内容体系中，最能体现轨道控制的为轨道机动，一定程度上轨道控制也可称之为轨道机动。但对比分析七部教材内容，发现在轨道机动部分却存在较大差异，为促进轨道力学教学内容改革，本文就此问题展开探究。

二  国外教材轨道机动内容分析

（一）  柯蒂斯《轨道力学》

柯蒂斯是美国安柏瑞德航空航天大学教授。该大学是一所世界知名的以航空航天为特色的私立大学。柯蒂斯《轨道力学》出版的目的是为工科本科生传授航天力学的理论和方法，它不是针对研究生、研究人员和经验丰富的从业者，而是专门面向航天工程类本科生。

柯蒂斯《轨道力学》目前已发行了4版，其中第一版于2005年发行，并由周建华等人于2009年翻译成中文版，最新的第4版于2020年发行[5]。柯蒂斯《轨道力学》鲜明的特点是采用“teach-by-example”教学方法，强调分析过程和计算机实现的算法，包含了大量的例题和Matlab仿真程序，课程教学材料均可通过Elsevier网站获取（但是对我国有限制），内容主体是质心轨道力学，但也包括了航天器姿态动力学和火箭动力学。

柯蒂斯《轨道力学》（第四版）没有三节标题，“轨道机动”安排在第6章，编排了10小节内容：①引言；②脉冲机动；③霍曼转移；④双椭圆霍曼转移；⑤调相机动；⑥共拱线的非霍曼转移；⑦拱线转动；⑧追击，即轨道拦截；⑨非共面机动；⑩非脉冲轨道机动。柯蒂斯版教材聚焦脉冲轨道机动，显著特色是包括调相机动的内容。

（二）  AIAA《轨道力学》

AIAA《轨道力学》是美国航空航天学会（AIAA）出版的航天领域系列教材[6]，由加州大学洛杉矶分校的Chobotov编写，截至2002年已发行三个版本。相比柯蒂斯《轨道力学》，AIAA《轨道力学》内容覆盖更广，比如多了小推力轨道机动、轨道覆盖、轨道系统等，但少了轨道确定部分，同时很多内容是结论性给出，缺乏必要的推导，所以可读性较差。

AIAA《轨道力学》（第三版）“轨道机动”安排在第5章，分为10小节内容：①轨道能量；②单脉冲转移；③单脉冲和双脉冲转移比较；④霍曼转移；⑤双椭圆转移；⑥圆形轨道的受限三冲量平面改变机动；⑦圆形轨道的一般三冲量平面改变机动；⑧带分离平面改变的Hohmann转移；⑨带分离平面改变的双椭圆转移；⑩共面椭圆轨道间的转移。AIAA版教材侧重脉冲作用下的轨道转移和轨道改变，尤其是对轨道面机动区分较细。

（三）  美国空军学院《航天动力学基础》

美国空军学院出版的轨道力学教材名称为《航天动力学基础》，即表1中由Bate编写的Fundamentals of Astrodynamics[7]，2020年发行了该教材的第2版。美国空军学院是专门为美国空军和太空军培养航天人才的院校，所以该教材军事特色显著，其扉页写到“This Textbook is dedicated to the members of the United Sates Air Force who have died in combat， are missing in action， or are prisoners of war”，带有明显的课程思政性质。

美空版《航天动力学基础学》（第二版）中“轨道机动”安排在第3章，章标题为“基础轨道机动”，从中即可看出该教材对轨道机动不做系统性深入研究，具体编排了5节内容：①历史背景；②低地球轨道，包括轨道高度对卫星寿命的影响、直接上升到轨道、近地轨道地球非球形摄动；③高地球轨道，包括地球静止轨道、发射高轨卫星用的上升椭圆；④平面内轨道改变，包括近地点和远地点的轨道高度调整、霍曼转移、一般共面圆轨道之间的转移；⑤平面外轨道改变。分析发现，美空版教材是从轨道发射和运行的角度研究轨道机动的问题，包含了摄动作用下的轨道调整、共面轨道轉移和轨道面改变。

三  国内教材轨道机动内容分析

（一）  郗晓宁《近地航天器轨道基础》

国防科技大学郗晓宁版《近地航天器轨道基础》[8]第十章为“轨道机动”，分为5节内容：①轨道调整，以摄动分析法研究轨道周期、长半轴、偏心率、升交点赤经与倾角等轨道根数的调整；②轨道改变，包括共面轨道改变、轨道面改变，以及非共面轨道改变的一般情况；③轨道转移，包括霍曼转移、双椭圆转移、共面椭圆轨道之间的转移，以及不同半径的非共面圆轨道之间的转移；④轨道拦截，包括最小能量拦截轨道和固定时间拦截轨道；⑤星座轨道控制。郗晓宁版教材的特点是概念简明扼要，学员容易记忆。

航天工程大学张雅声版《航天器轨道理论与应用》[9]第五章“脉冲轨道机动”主体沿袭了郗晓宁教材的架构，改动之处在于删掉了第5节，新增了第1节“轨道机动的含义”，轨道机动的核心内容变化不大，故不再赘述。

（二）  张洪波《航天器轨道力学理论与方法》

国防科技大学张洪波版《航天器轨道力学理论与方法》[3]中，轨道机动相关的内容编排了三章，分别为第九章“脉冲推力轨道机动”、第十章“有限推力轨道机动”、第十一章“小推力轨道机动”，有限推力和小推力可统称为连续推力。其中，第九章与其他教材内容对应，分为4节内容：①轨道机动的分类；②轨道改变，该节包含了前述两部教材轨道改变和轨道拦截的内容；③轨道转移；④轨道调整。

经对比分析，上述三部教材在轨道机动分类方法和教学内容上有诸多相似之处，主要原因是三位作者求学或工作经历均出自国防科技大学，源自同一脉络。

（三）  哈尔滨工业大学《航天器轨道动力学》

哈尔滨工业大学赵钧版《航天器轨道动力学》[10]中，第四章“航天器的轨道机动”分为5节内容：①单脉冲机动，包括同平面脉冲机动、异面轨道间的单脉冲机动、脉冲机动的能量消耗；②同平面的轨道机动，包括霍曼过渡、同轴椭圆轨道之间的过渡（同向）；③航天器的轨道拦截，包括圆轨道上的拦截、椭圆轨道上的拦截、异面轨道的拦截；④气动力辅助轨道机动；⑤连续作用力下的轨道机动。从中可以看出，赵均版教材轨道机动内容涵盖面较广，但具体内容论述不够系统深入，显著特点是将气动力等外部环境力作为机动动力。

四  轨道机动教学内容改革

（一）  轨道机动的定义

要科学界定轨道机动的教学内容，首先要理清轨道机动的内涵。不同的教材对轨道机动定义略有区别。柯蒂斯《轨道力学》表述为轨道机动是使航天器从一个轨道转移到另一个轨道上。AIAA版教材表述为通过改变速度将卫星从一个轨道转移到另一轨道。郗晓宁《近地航天器轨道基础》表述为轨道机动是指卫星在控制系统作用下改变其轨道根数。赵钧《航天器轨道动力学》表述为航天器主动改变原来轨道的运动状态的过程，或者改变原来两体意义下轨道的根数的过程。综合上述定义，轨道机动有两个层面的含义：一是航天器轨道根数发生了改变；二是这种改变是航天器主动为之，即是在航天器自身控制系统作用下发生的有意改变。明确了轨道机动的定义，再分析当前轨道力学教材中存在的问题。

（二）  典型教材中轨道机动存在的几点问题

1  轨道机动动力来源不统一

航天器轨道机动依赖于控制系统自身产生的驱动力，据此分析，上述教材在对轨道机动动力源划分上存在两个值得商榷的问题。一是赵均版教材将气动力、引力、光辐射等外部环境作用力作为动力源。事实上，这些外部环境作用力在轨道力学中通常归为摄动力，如大气阻力摄动、地球非球形引力摄动、三体引力摄动，以及太阳辐射光压摄动等。二是张洪波版教材将化学推进系统产生的推力称为有限推力，将电推进等新型推进系统产生的推力称为小推力，二者本质上均为连续推力，只是推力产生的介质和大小不同。

综上所述，将航天器控制系统提供的动力分为脉冲推力和连续推力更为合理，其中脉冲推力轨道机动难度较低，适合面向本科教学；连续推力轨道机动则难度较大，更适合研究生教学。目前面向本科生的教材，亦较少涉及连续推力。同时也有必要给学生概述性介绍轨道机动的定义和类型，让学生知道脉冲机动和连续推力机动的区别和应用场景。

2  轨道改变的内涵不明确

以郗晓宁版为代表的国防科技大学派教材，将轨道改变列为轨道机动的四种类型之一。而这一分法存在明显的问题，首先轨道机动的定义即航天器轨道根数在控制系统作用下发生改变，一定意义上讲，轨道机动就是轨道改变。可能是认识到了这一问题，同为国防科技大学派的张洪波版教材已将轨道拦截纳入轨道改变的范畴，其依据是将轨道改变定义为：初、终轨道相切，只需一次脉冲作用即可由初轨道进入终轨道的轨道机动。这一定义显然淡化了轨道拦截的作用和约束。同时，轨道根数改变中轨道倾角和轨道升交点的改变引起轨道面的调整，脉冲速度从轨道面内的二维分量拓扑到三维空间，难度加大，适合作为单独的内容模块。这大概也是国外轨道力学教材中均未专门将轨道改变作为一种轨道机动类型、却突出轨道面改变的原因。

3  轨道调整未受普遍关注

轨道调整的内容出现在美空版和国防科技大学派教材中，其用途是消除轨道根数的微小偏差，所用的脉冲速度较小，相应的脉冲推力可视为摄动力，因而可以用轨道摄动分析方法进行研究，这与其他轨道机动类型研究时用的矢量分析法存在着明显区别。轨道调整在轨道捕获、轨道保持等方面有着重要的用途，但是柯蒂斯版、AIAA版以及赵钧版等教材中则未体现这方面的内容。

4  柯蒂斯“独唱”的调相机动

调相机动可视为一种双脉冲霍曼转移，但通常霍曼转移的前提是航天器初、终轨道不相交，而调相机动前后，航天器则运行在同一条轨道。调相机动在星座/星群的构型维持、同一轨道两航天器的交会、地球同步轨道卫星的位置调整等方面有着广泛的应用。另外，我们知道地球上一个物体想要追上前方的另一物体，需要通过加速来实现，而在地球轨道上，则需要减速来实现，调相机动的这一特征能够让学生很好地认识天体运行的奥妙。作为一类非常能体现轨道运行特色并且有着广泛用途的机动方式仅在柯蒂斯版教材中出现，实属遗憾，因此有必要将调相机动作为轨道机动教学内容的一部分。

（三）   轨道机动的教学内容改革思路

综合上述分析，为落实教育部关于本科课程教学“高阶性、创新性、挑战度”要求，以全面夯实学员轨道机动教学内容理论基础，提升学员航天工程实践能力，培塑学员科学思维和创新素养为导向，面向本科学员轨道力学课程专业教学需求，充分吸纳国内外轨道力学领域经典教材的优长，为解决当前轨道机动教学内容存在的问题，制定教学内容改革技术路线，基本思路是以脉冲作用次数和特征速度求解为主线，以轨道面内和轨道面外机动为任务剖面构建内容模块，见表2。在实际教学中，可根据学时优化重组教学内容的编排。

为提升轨道机动教学效果，在具体教学方法手段上，应注重基于STK/Astrogator等专业软件的仿真实验教学，具体可参阅相关文献[11]，此处不再赘述。

五  结束语

为更好地促进航天器轨道力学课程教学，开展轨道机动教学内容改革研究。系统梳理了国内外航天器轨道力学教材，并就其轨道机动相关章节的内容进行分析，研究总结出了当前轨道机动教学内容存在轨道机动动力来源不统一、轨道改变内涵不明确、轨道调整和调相机动未受普遍关注等问题，以本科生为教学对象，落实课程建设“两性一度”的总要求，构建了轨道机动教学内容的改革思路。

参考文献：

[1] 党朝辉.航天器轨道动力学之“动”在何处[J].力学与实践，2019（5）：107-109.

[2] [美]理查德·H·巴廷.航天动力学的数学方法（修订版）[M].倪彦硕，蒋方华，李俊峰，译.北京：中国宇航出版社，2018.

[3] 张洪波.航天器轨道力学理论与方法[M].北京：国防工业出版社，2015.

[4] 杨嘉墀.航天器轨道动力学与控制[M].北京：中国宇航出版社，2005.

[5] CURTIS H D. Orbital Mechanics for Engineering Students （4ed）[M]. United Kingdom： Butterworth-Heinemann， 2020.

[6] CHOBOTOV V A. Orbital Mechanics（3ed）[M]. Virginia： AIAA，2002.

[7] BATE R R， MUELLER D D， WHITE J E， et al. Fundamentals of Astrodynamics （2ed）[M]. New York： Dover Publications，2020.

[8] 郗晓宁，王威.近地航天器轨道基础[M].长沙：国防科技大学出版社，2003.

[9] 张雅声，徐艳丽，杨庆.航天器轨道理论与应用[M].北京：清华大学出版社，2020.

[10] 赵钧.航天器轨道动力学[M].哈尔滨：哈爾滨工业大学出版社，2010.

[11] 王卫杰，张雅声，任元，等.基于STK的航天器轨道动力学仿真教学方法研究[J].实验技术与管理，2020，37（5）：181-185.