毛巾钧 陈秋晓

【摘要】函数作为初中和高中的重点教学内容之一，具备一定的延续性、阶段性和差异性.学业质量评价关注小初高衔接和教学内容的整体把握，而目前初中函数解题教学的内容和难度的把握存在一定的争议.以2023年无锡市中考试题第28题的解析（宏观、中观、微观点评分析）为例，提出指向初高衔接的初中函数解题教学应从以下4个方面展开：1.加强作图能力的培养，发展空间观念；2.注重几何图形的构造，发展几何直观；3.关注核心知识的关联，发展推理能力；4.巧用解析几何的方法，发展运算能力，从而促进思维品质的提升，落实核心素养的培育，形成初高有效且高效的衔接.

【关键词】初高衔接；初中函数；解题教学

1问题的提出

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确提出，数学课程内容由数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个学习领域组成，其中初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题[1].“函数”作为初中阶段数与代数领域最高层次的学习内容，主要研究变量之间的关系，探索事物变化的规律，借助“数与式”这一基本的代数语言，可以进一步认识方程和不等式，函数可谓是数与式、方程与不等式的进阶.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出，高中数学课程内容要突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与探究活动四条主线[2]，函数也是高中数学课程的核心内容之一.因此，从初中与高中的数学课程标准来看，函数作为课程标准中的主要且重要的主题内容，有效并高效地衔接显得尤为重要.

初中函数作为解析几何的初步，是重点也是难点，既有其初中特征又要衔接高中能力的要求，因而在核心素养的培育目标下，解题教学中如何选择恰当的适宜初中学生理解和掌握的方法十分重要.目前在一线教学中存在超前教学、要求拔高、结论强记等现象，如何把握函数解题教学的尺度，如何做好有效的初高衔接是诸多一线教师的困惑所在.笔者认为，初中函数相比高中函数而言，形更重于数，初中函数教学应着力发展数形结合、以数辅形的能力，研究函数中的图形变化问题更重于研究函数本身.笔者以2023年无锡中考试题压轴题（第28题）的解析为例，展开指向初高衔接的函数解题教学的实践与思考.

2原题再现一题多法

原题再现（2023江苏无锡中考题第28题）已知二次函数y=22（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，2）和点C（-1，2）.

（1）请直接写出b，c的值；

（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y=22（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F.

①求EF的最大值；

②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标.

试题分析此题为2023年无锡市中考数学试题第28题，为压轴题，根据无锡市中考数学历年真题分析，二次函数题的位置一向位于解答题的最后两题之一，考查综合运用代数函数知识、几何图形知识等解决问题的能力.与以往略有不同之处在于本题条件中未给出示意图形，即要求学生根据条件自行画图，一定程度上加大了此题的分析和解题难度，也拉长了本题的解题时间，且同时考查学生的审题能力、几何分析、几何作图能力.此题第（1）题较为基础，易得b=-3，c=-2，以下就第（2）题的第①问展开一题多法和点评分析.至于第（2）题的第②问，根据本文需要，不作具体分析，留待后续再展开研究.

一题多法

解法1如图1，作EM∥y轴交AB于点M，易证△ABD∽△MEF，

由相似的性质可得EF=63ME，

由待定系数法求出直线AB对应的函数表达式为y=22x-2，

根据点E在抛物线上，可设点E（t，22t2-322t-2），

则点M（t，22t-2），得EM=-22t2+22t，

运用求二次函数最值的方法（配方法或顶点公式），

当t=2时，EM最大值=22，则EF最大值=433.

解法2如图2，作EM∥y轴交AB于点M，连接AE，BE，

由S△ABE=12AB·EF=12ME·xB-xA，得EF=63ME，

根据解法1，先求ME最大值，再得EF最大值=433.[TS（1][JZ][HTK]图2图3[TS）]

解法3如图3，作ET∥AB，根据解法1可得，

直线AB对应的函数表达式为y=22x-2.

根据ET∥AB，可设直线ET对应的函数表达式为y=22x+n.

由EF最大时，可得此时直线ET与抛物线有唯一公共点，

因而y=22（x2-3x-2），y=22x+n，有唯一解，即消去y后得关于x的一元二次方程：22（x2-3x-2）=22x+n有两个相等的实数根，所以根的判别式为0，得n=-32，

则ET对应的函数表达式为y=22x-32，根据高中解析几何知识——平行线间的距离公式，可得-32+2222+12，求出此时EF=433.

解法4如图4，由解法1可得，

直线AB对应的函数表达式为y=22x-2，

设E（t，22t2-322t-2），根据高中解析几何知识——点到直线的距离公式，可得

EF=22t-（22t2-322t-2）-2222+12，运用配方法或頂点公式，求得EF最大值=433.

解法5如图4，根据解法1设点E（t，22t2-322t-2），根据高中解析几何知识——若两条直线互相垂直，则两条直线斜率乘积为-1，表示出直线EF对应的函数表达式（含字母参数t），由直线EF和直线AB的的函数表达式，求出交点F的坐标（含字母参数t），再运用高中解析几何知识——两点间距离公式，表示EF，再用配方法或顶点公式，求出EF的最大值.（简要说明：此法运算量太大，对含字母参数的运算要求非常高，因篇幅有限，故在此简要表示解题思路，确有同学采取此法，但能顺利做完且做对者少之甚少.）

点评分析

1.宏观分析——站高位，厘思路

初中阶段线段的最值问题求解通常分为两种：

第一种：一定一动（即线段的两个端点为一定点和一动点）.常规解法：寻找动点的运动轨迹（初中阶段通常为直线或圆弧），利用基本事实（两点之间线段最短）或基本结论（垂线段最短）寻找特殊位置后进行求解，以形定数，俗称“几何法”.

第二种：两动（即线段的两个端点都为动点）.常规解法：寻找两个动点的运动轨迹，如果可以转化为第一种（一定一动），则用第一种方法求解；如果无法转化，则利用平面直角坐标系，设点坐标（含字母参数），根据点坐标表示线段长度（含字母参数），通过代数计算的方法求最值，以算定形，俗称“代数法”.

2.中观评析——辨方法，明得失

解法1和解法2是初中二次函数中求解线段最值的两种常规解法.解法1采用平面直角坐标系中常规的线段问题的求解方法——化斜为直，将线段的长度转化为坐标之差，利用三角形相似得到EF和EM的数量关系，进而运用常规的配方法或顶点公式求出最值.解法2与解法1的相通之处在于化斜为直，即将线段长转化为坐标之间的关系，不同之处在于利用三角形的等面积法得到EF和EM的数量关系.解法1和解法2，均借助几何图形的特殊性（三角形相似、三角形的等面积法等），采用化斜为直这一常规的解题方法，将线段长度表示为坐标之差，然后运用二次函数的最值求解方法进行求解，从形入手将非常规转化为常规，结合函数中点的坐标的表示，容易求解.

解法3、解法4和解法5均涉及高中解析几何中的一些知识点（平行线间的距离公式、点到直线的距离公式、两点间距离公式、互相垂直的直线斜率互为负倒数等），此法均需设字母参数，利用相关公式直接表示线段，虽思维含量不高，看似不难，但运算量很大，尤其解法5对含字母参数的运算要求非常高.其中解法3，涉及直线与抛物线相切（有唯一公共点），借助一元二次方程的根的情况进行求解，对数形结合的理解要求很高.此外，这3种解法均涉及高中解析几何的一些公式，部分同学对公式一知半解或者生搬硬套公式，因对公式不够理解或者未达高阶思维层次，所以公式运用不熟练或有错误，加上含参字母的运算要求又很高，因而采用这3种解法的完成率和正确率都较低.

3.微观解析——晰本质，掌核心

回顾本题条件和问题，明晰本质为首要.求线段的最值为初中函数教学中常见的一种类型，此题的线段两个端点均为动点，主动点为在部分抛物线（二次函数图象上位于直线AB下方）上运动的点E，从动点为由点E向直线AB作垂线而得的垂足F，其运动轨迹为直线AB上的部分线段.对于两个动点的线段的最值的求解，常用的方法为“代数法”，即设字母参数表示线段长度，构建线段长度的函数模型，通过求解函数的最值解决线段长度的最值.

然而，本题的难点在于易设点E的坐标，却难以表示点F的坐标，进而难以用字母参数表示线段EF的长度.“直接”困难，则想“间接”，因而初中数学中强调的“转化”思想体现在此尤为恰当.解法1和解法2均将线段EF转化为线段EM，通过相似三角形或等面积法建立EF和EM的数量关系，而线段EM的长度較易用字母参数表示，因EM∥y轴，EM的长度可直接表示为两点纵坐标之差，容易构建关于字母参数的函数模型得以解决.初中函数的教学，图形的研究为重点也为核心，研究图形的性质胜于单纯研究图形上的点，因而代数解析法仅为辅助，以形助数，以直观想象辅助图形整体性质的研究当为初中函数解题策略的大方向.从本质和核心来看，解法3、解法4和解法5均为纯粹解析几何的方法，较难体现初中函数教学的重点，更偏重高中函数教学的意味，从适宜初中学生的理解来说，值得斟酌与商榷.

3函数解题教学实践与思考

函数作为初中“数与代数”领域中三大主题之一，更是“数与式”“方程与不等式”这两个主题的综合运用，既是重要内容，也是重要方法，还是重要思想，作为工具、模型均可在数学内部和数学外部展开应用.初中阶段主要研究三类函数：一次函数、反比例函数和二次函数，研究路径为“概念——图象——性质——应用”，其教学的类比性和可迁移性体现明显，尤其关注以函数图象研究函数的性质，与初中函数的“变量”定义法不谋而合，主要体现变量之间的变化关系，以图象直观呈现，研究图象得到性质是初中函数研究的主要方法.高中阶段主要研究四类函数：幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，高中平面解析几何还重点研究圆锥曲线（直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线）的方程与轨迹问题等，均以解析法为重点，与高中函数的“映射”定义法彼此呼应，主要从函数表达式的角度，辅以图形直观呈现，研究函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性和最值等），强调以算定形，即代数法为甚.明晰初高中函数教学的重点区分和不同要求，在初中函数解题教学中，基于核心素养的培养目标，指向初高衔接的初中函数解题教学中应关注以下几个方面.

3.1应加强作图能力的培养——发展空间观念

初中函数的研究以形为重，以变化关系研究函数的本质，以函数图象研究函数的性质，因而在函数解题教学中应加强几何作图（画图）的能力培养，从函数图象的示意图到函数图象背景下几何图形的绘制和勾勒，充分体现初中阶段“三会”核心素养中“会用数学的眼光观察现实世界”，体现核心素养的表现之一的“空间观念”.正如上述问题的条件中未给出示意图，这就要求学生要根据题目条件自行画图分析，正确的作图是分析的前提.在学生作答中出现审题有误、作图有误的情况（将线段EF⊥直线AB误认为线段EF⊥x轴）占比较大，也充分说明学生的空间观念意识较弱，未能正确认识图形，未能清晰明确图形之间的位置关系，这也将会直接影响高中函数性质的学习.未有正确形，难有精准数，从空间意识到空间观念，从图形的直观呈现到代数的精准研究，作图、读图、识图是关键的第一步，有助于提高初高衔接的有效性.

3.2应注重几何图形的构造——发展几何直观

初中函数虽为“数与代数”领域中的三大内容之一，但其研究重在图象和性质，尤其对图象的研究为重中之重.在函数图象背景下，涉及函数图象上的若干点，形成一些基本的几何图形（线段、三角形、四边形等），函数问题的考查多以综合运用代数知识和几何知识解决问题的能力，因而恰当地构造几何重点图形是解决初中函数问题的关键.比如上述问题中构造相似三角形、构造平行线、利用三角形的铅垂高及水平宽计算面积等，以三角形这一基本图形的研究为重（三角形的研究是初中阶段几何图形的基础也是核心），通过几何直观，将线段合理转化，化斜为直，以间接代直接，以直观代抽象，逐步发展学生的几何直观素养，即“会用数学的眼光观察现实世界”，从而指向高中函数学习中以形辅数这一基本研究方法的习得，形成初高衔接的自然过渡和高效转化.

3.3应关注核心知识的关联——发展推理能力

初中阶段的几何教学，重在逻辑推理.2022年版课程标准提出要加强代数推理，因而代数和几何均讲究严密的思考和有条理的表达，从而培养学生初步形成逻辑表达和交流的习惯.初中的解题教学，应引导关注核心知识的彼此关联，形成推理过程中的有效联想和问题聚焦.上述问题的解决中主要运用相似三角形的性质或等面积法实现线段“化斜为直”的转化，此为初中阶段研究线段问题的核心知识内容之一，即研究线段长度有4种常用方法：构造相似三角形、等面积法计算、运用锐角三角函数或勾股定理计算.关注核心知识的关联，助推推理能力的提升，即“会用数学的思维思考现实世界”，从而指向数学高阶思维的形成，指向数学深度学习的发生，指向初高衔接思维水平的进阶.

3.4应巧用解析几何的方法——发展运算能力

初中函数作为解析几何的初步，具备一定的运算要求.2022年版课程标准对运算能力的内涵解释中有“能够通过运算促进数学推理能力的发展”.高中解析幾何多以算定形，运算确实为数学学习的基本功之一.初中阶段函数教学中应巧用解析几何的方法，从关注结论到关注方法，从漫用到巧用，加以解析几何中以数示形、以数定形等方法，加强运算优化和运算策略的选择，从一定程度上简化运算（尤其含字母参数的运算）.正如上述问题中对线段EM的最值计算，通过设字母参数表示点的坐标，运用坐标之差表示线段长度，借助配方法计算最大值，体现运算能力的重要性，“会用数学的思维思考现实世界”.借助高中阶段解析几何的解题方法，提升运算能力，助推严密推理，形成无缝初高衔接，培育核心素养.

4结束语

函数解题教学作为初高中函数教学的重要内容之一，有延续、有偏重，分阶段、分差异，指向初高衔接的初中函数解题教学可从作图能力的培养、几何图形的构造、核心知识的关联和解析几何方法的巧用这四个方面开展，旨在形成和发展核心素养，促进学生理解解题从而理解数学，以期后续进一步探究初高衔接函数教学的有效性和高效性策略.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版[M].北京：北京师范大学出版社，2022：16.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订[M].北京：人民教育出版社，2020：9.

作者简介

毛巾钧（1987—），女，江苏无锡人，中学一级教师；主要研究初中数学教学.

陈秋晓（1980—），女，江苏无锡人，中学一级教师；主要研究初中数学教学.