肖进胜 杨力衡 丁玲 张海剑

摘  要：假设检验是现代概率论与数理统计教学中的重要内容和知识点，而假设检验包含建立原假设、构造统计量、计算概率分布、确定临界值和得出结论等过程。在教学过程中，很多教师都忽视建立原假设这个方面。由于没有强调原假设设计方法，学生碰到此类问题很容易产生疑惑出错。实际上，原假设的三个选择是不可以随意互换的，需要通过阅读问题，依据“小概率事件原理”来选择合适的假设。通过对假设检验中单边检验真题案例的教学探讨和分析，完成对原假设存在的三个选择的不同分析，然后对得到的结果进行比较。分析探讨在假设检验教学中做原假设和备择假设设计时，需要结合题目要求，按照“小概率事件原理”来设计假设的方案，促进学生对此问题的理解，并且在实际教学应用中取得良好的效果。

关键词：假设检验;原假设;备择假设;数理统计;假设方案

中图分类号：G642      文献标志码：A          文章編号：2096-000X（2024）08-0117-04

Abstract： Hypothesis testing is an important content and knowledge point in the teaching of probability theory and mathematical statistics， while hypothesis testing includes the null hypothesis， the design and selection of alternative hypotheses. In the teaching process， many teachers have neglected this aspect in teaching. Since there is no emphasis on these choice， students often have doubts when they encounter such problems. In fact， the three choices of the null hypothesis are not freely interchangeable. It is necessary to read the topic and select the appropriate hypothesis based on the principle of small probability events. Through the discussion and analysis of the unilateral test case in the hypothesis test， the different analysis of the three choices of the null hypothesis is completed， and then the obtained results are compared to verify the hypothesis and alternative hypothesis in the hypothesis test. When designing， it is necessary to combine the requirements of the topic and design the hypothetical solution according to the principle of "small probability event"， and achieve good results in practical teaching applications.

Keywords： hypothesis test; null hypothesis; alternative hypothesis; mathematical statistics; hypothesis method

随着社会的发展进步，教育理念、教育方法和培养模式的不断改进[1-2]，新的教学模式与实践方案，需要与培养“具有国际视野的拔尖创新人才”的指导思想相结合[3]，同时探索其他教学评价模式[4]，并及时应用于高校的日常教学工作中，以提高高等院校的教学效率和教学质量[5]。概率论与数理统计课程是面向电子信息类学科专业开设的基础课程，同时也是电子与计算机专业等信息领域学科的专业基础课程，与语音处理、图像处理、机器学习及计算机视觉等专业核心课程有着密切的联系，是其先导课程。在现代概率论与数理统计的课程教学中，参数的假设检验是概率论与数理统计中的重要内容。对于同一个假设检验问题，选择两个不同的原假设进行检验时，可能会得出自相矛盾的两个结论。选择单边和双边检验有时也会得出自相矛盾的结论[6]。在岑成德[7]的《假设检验中的难点问题的教学方法》一文中，讨论了对单边假设检验的原假设选择问题。同样，在卫海英[8]的《对假设检验方法应用的思考》一文中也表达了在假设检验实际应用中应该注意正确建立零假设和对立假设。在对实际问题做假设检验时，什么作为原假设，什么作为备择假设应由问题本身确定，而不是检测者的态度或希望[9]。作者认为假设检验主要依据的理论是“小概率事件原理”，教学中以相应的“小概率事件”发生的区域作为拒绝域来判断是否拒绝或接受该假设，就能很好地促进学生对此问题的理解，提高学习的效率和效果。

一  假设检验问题的分析方法研究

在常规的概率论与数理统计教学过程中，对于假设检验问题的教学重点在于根据已有数据和参数，如何进行检验统计量的选取和统计参数计算方面，套用相关的假设检验公式。忽略了原假设设计，即备择假设的选取问题。而实际教学中发现，假设检验中存在一些具体的应用问题，对待检验的问题有着不同的文字描述，如“大于”“小于”“不大于”“变多”“变少”“合格”等。而这些不同的文字描述和复杂多样的应用问题在一起，很容易让学生产生混淆，并出错。

假设检验问题是不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题。假设检验就是根据总体X的信息，检验关于总体的某个假设是否正确，决定接受原假设拒绝备择假设或者拒绝原假设接受备择假设。原假设就是本身根据问题假设出来的验证的主体，备择假设与原假设相反并且和原假设共同构成一个完备事件。

在显著性水平α条件下，检验假设H0：μ=μ0?H1：μ≠μ0中的备择假设H1表示μ可能大于μ0，也可能小于μ0，称为双边备择假设，这样的假设检验称为双边假设检验。相对的单边检验分为两种，一种是右边检验形如H0：μ≤μ0?H1：μ>μ0;一种是左边检验形如H0：μ≥μ0?H1：μ<μ0。假设检验问题的本质是运用小概率反证法思想。小概率思想是指概率很小P<α（α=0.01或α=0.05等）的事件，在一次试验中基本上不会发生，也称为小概率事件原理。这里备择假设是属于显著性水平α下的一个小概率事件。

假设检验中，针对需要判断的问题，进行准确的原假设提出是一个很关键的问题。在实际教学应用中，很多学生都很难理解或者只能死记相关的规则，很容易出错和弄混淆。实际上，我们分析理解了假设检验问题的本质，就能很准确地定位假设检验问题，进行准确合适的原假设。根据小概率事件原理，概率很小的事件在一次实验中是几乎不会发生的，因此我们重点关注“小概率”的地方[10]。可以从如下两点进行分析。

第一，小概率事件原理中的“小概率”究竟有多小呢？这要根据假设检验结论的重要程度和其在实际问题中可能造成结果的严重程度来决定。

第二，把其称作“小概率事件原理”，是因为“概率很小的事件在一次实验中是几乎不会发生的”，并没有说其“绝对不会发生”。

假设检验的思想是先提出原假设H0，假设合理的依据就是备择假设必须是属于不常发生的“小概率事件”，再用适当的检验统计量，通过对统计量的计算和判斷来确定假设成立的可能性大小，通过概率是否落入备择假设区间来判断假设是否成立。

通过采用以上方法来分析假设检验中的问题，可以排除具体假设检验应用问题中各种文字描述的干扰，坚持“小概率事件”的判断原则，实现准确的原假设和备择假设的设计，顺利地解决假设检验问题。

二  假设检验中假设问题的教学设计

在教学设计过程中，为了增强学生对于假设检验问题本质是“小概率原理”的认识，除了在讲授时重点强调假设检验原理和公式，以及常规的解题思路之外。可以设计一些反例或看似矛盾的实例，利用实例来增强学生对该问题的关注度，提升对该问题的理解[11]。下面通过一个具体问题来说明假设检验中原假设设计的教学过程。可以先提出如下一个常见的例子。

一位大学校长在网上看到这样的报道：“这一城市的大学生平均每周玩8小时手机游戏”。他认为他所在的学校，大学生玩手机游戏的时间明显小于该数字。为此他随机向他所在学校的30个大学生作了调查，得知平均每周玩手机游戏的时间为7小时，样本标准差为3小时。问是否可以认为这位校长的看法是对的？设显著性水平0.01，大学生玩手机游戏的时间服从正态分布。

首先，引导学生进行分析，这个问题其实不难。根据上面问题的描述先得到一些必须的数值：μ0=8，n=30，X=7，S=3，α=0.01.已知大学生每周玩手机游戏的时间服从正态分布，X～N（μ，σ2），对于这类单边假设检验问题，能获得的原假设只有两种情况μ≤μ0或μ≥μ0（需要明确的一点，等号必须包含在原假设中）。通过两种假设设计来分析这个问题的本质。

第一种情况：直接把校长的看法作为假设（这是很多人很容易想到的方法），假设大学生平均每周玩手机游戏的时间明显小于8小时，可以作如下假设

H0：μ≤μ0=8?H1：μ>μ0。（1）

这里方差σ2未知，需做T检验，所以取检验统计量

T=～t（n-1）。（2）

在显著性水平α=0.01的情况下，拒绝域（图1右边阴影部分）为

C={T≥tα（n-1）=t0.01（29）≈2.46} 。 （3）

而实际计算统计量T的观测值可得

T=≈-1.82 。 （4）

显然T

第二种情况：我们可以反过来，假设大学生平均每周玩手机的时间不明显小于8小时，所以有

H0：μ≥μ0=8?H1：μ<μ0 。 （5）

可以计算得拒绝域（图1左边阴影部分）为

C={T≤-tα（n-1）=-t0.01（29）≈-2.46} 。 （6）

同样，可以计算出统计量T的观测值为T≈-1.826，所以T>-tα（n-1），没有落入拒绝域，不拒绝原假设，即玩手机的时间不小于8小时。

其次，针对两种不同的假设设计做法，引导学生发现和分析问题。两种假设的过程都是正确的，但是相反的假设却都得到了不拒绝原假设的结论。显然这两个结果是相互矛盾的，事出反常必有因。提醒并引导学生思考，到底哪个假设是正确的呢？到底校长的看法是对是错？通过这个例子，通过一系列反问，能激起学生的兴趣和求知欲。

然后，引导学生回到假设检验问题的本质“小概率事件”。告诉学生假设检验的关键是寻找问题中的“小概率事件”，明确拒绝域为“小概率事件”。因此，拒绝域应该处在正态分布的两端区域（如图1的阴影部分），不包括正态分布的中心区域。根据假设检验的定义，强调原假设中的等号成立对应于正态分布图中的中间峰值（如图1的中间非阴影部分），是“较大概率”，必须包含在原假设中。仔细观察图1的正态分布图，考虑拒绝域的分布区域，通过“小概率”的区域，来仔细分析原假设的设计问题。其拒绝区域如图1所示。

上面第一种情况计算的拒绝域是T≥t0.01（29）≈2.46，即图1中右边的阴影区域。第二种情况计算的拒绝域是T≤-2.46，即图1中左边的阴影区域。两个阴影部分都是处于正态分布的两端，都是正态分布概率取值比较小的地方，对应小概率事件，因此都没有问题。但是实际计算出来的观测值T≈-1.826落在了中间区域，所以两个不同的假设才都会得到不拒绝原假设的结论。这又是什么原因呢？

再后，进一步引导学生对假设检验问题的本质进行思考和分析。将假设检验待检验的问题假设和小概率事件合理关联起来，仔细分析假设检验的问题。这里校长的看法是“大学生玩手机游戏的时间明显小于该数字”。注意到“明显小于（或小于）”是不同于“不大于”的。“明显小于（或小于）”对应于图1中正态分布左边的阴影部分，即μ<μ0，不包含“等于”，可以看成是小概率事件，只能作备择假设（拒绝域）。其对立面为“不小于”，即μ≥μ0，包含等于部分，可以作为原假设。相反，“不大于”是“小于或等于”，即μ≤μ0，这里包含“等于”的，就包含图1中正态分布中间的部分，属于概率比较大的部分，只能作为原假设，其对应的小概率事件及备择假设是“大于”，和这个问题中校长考虑的方向并不一致。

最后，根据分析得到结论：第二种方法的假设（μ≥μ0）是对的，结论是“玩手机的时间不小于8小时”。也就是说，虽然统计得到的时间7小时小于8小时，但是还不足以小到在0.01的显著性水平下，落于图1左边的阴影区域（拒绝域）。没有明显小于8小时，就是小的程度还不够，没有小到“小概率事件”发生。小概率事件没有发生，即得到校长的看法（假设）是错的。同时第一种方法的假设（μ≤μ0）是错误的，和校长本意（小于，或明显小于）不符。第一种方法的假设（μ≤μ0）是“小于或等于”。其备择假设或拒绝域对应的是大于（μ>μ0）。第一种方法的假设，只能判断“大于”（落于拒绝域）或“不大于”（没有落于拒绝域）。第一种方法的假设并不能判断“小于”成立。

因此，假设检验拒绝域的设计和判断的根本是“小概率”事件。假设检验中原假设的设计，需要把拒绝域与小概率有机地对应起来，同时考虑具体应用问题的描述，进行合理设置。

为了加深同学对这类问题的印象，我们还可以把问题稍微改一下。其他的条件和参数都不变，只是调查30个学生平均每周玩手机游戏的时间为6.5小时。问是否可以认为这位校长的看法是对的？具体结果和分析可以让学生自己思考以加深对该问题的理解和判断。

从这个假设检验问题的两种原假设的分析来看，对于单变量的假设检验的原假设形式有三种。但是对于相应的假设检验问题分析来说，三种假设是不能随意设计的。需要引导同学了解在单边检验建立原假设和备择假设的时候要注意假设检验问题的要求。在假设检验问题分析过程中需要注意一个原则，就是“小概率事件”原理，在设计假设检验的时候将小概率事件的发生设置在拒绝域。

大于，多于或高于等代表“>”，不大于，不多于或不高于等代表“≤”。

小于，少于或低于等代表“<”，不大于，不多于或不高于等代表“≥”。

在分析假设检验应用问题时，需要根据具体问题分析，设计正确的假设。备择假设及拒绝域是“小概率事件”，因此，拒绝域是正态分布的两端区域，而不是包括正态分布的中心区域。这里有等号的一边是大概率事件，放在原假设中，其他的是小概率事件，而假设检验就是利用“小概率事件”来拒绝原假设。

通过把以上实际生活中类似的假设检验例子，巧妙地设计和融合到教学过程中，可以引导学生对这类问题的思考和问题本质的理解。利用看似矛盾的两种分析方法，引起学生的注意和兴趣，引导学生积极思考，积极讨论，最终理解问题，得到问题的深入分析和彻底理解。这类方法通过多年的教学实践，取得了明显的效果。学生对这类问题的理解和分析效果有了明显提升。

三  结束语

概率论与数理统计课程是面向电子信息类学科专业开设的基础课程，也是语音处理、图像处理、机器学习及计算机视觉等专业核心课程的先导课程。本文以现代概率论与数理统计课程为研究对象，通过探索“假设检验”原理新的教学方法，改变以往的传统教学思路，引导学生采用新的思维方式来分析问题、解决问题。总的来说，对于假设检验中单边检验的原假设和备择假设的设计，应该根据问题的要求，引导学生思考如何依据“小概率事件原理”来设置假设，促进学生对问题本质的理解。在假设检验问题的求解过程中也要指导学生，不要盲目带入公式，而是要注重理论和题目应用的结合，加强个人对问题的思考。同时本文也通过对问题的分析，让学生学习和理解了关于假设的设计方法，其是可以应用于双边检验和两个正态总体假设检验问题的。通过以上分析问题和解决问题的思路引导，为学生进一步学习和应用专业知识打下良好的思维基础;此外，也通过新方法新思维的引入，进一步提高了教师的教学和科研能力，在课程教学改革方向激发更多的新思潮。在后续的教学和教研工作中，将会利用计算机网络、信息技术和多媒体技术，创建该课程的教学网站，发布更多的教学资源，增加教学和学习的互动功能，打造成符合现代教学方式和多模态学习方式的精品教学网站。

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基金项目：教育部第二批产学合作协同育人项目“面向人工智能的电子信息类嵌入式系统课程改革”（202102001026）;湖北省教育厅科学研究计划项目“恶劣天气条件下智能驾驶视觉感知增强技术研究”（B2021261）;武汉大学本科教育质量建设综合改革项目“学风传承特色的嵌入式系统设计课程思政案例建设”（202205601）

第一作者简介：肖进胜（1975-），男，汉族，湖北武汉人，博士，副教授，CCF高級会员。研究方向为计算机视觉，图像处理与分析。

*通信作者：丁玲（1979-），男，汉族，湖北咸宁人，博士，副教授。研究方向为人工智能，计算机视觉，图像处理与分析。