隧道拱顶渗漏稳态渗流场的解析研究

2024-03-29余俊李东凯

浙江大学学报（工学版） 2024年4期

余俊，李东凯

(中南大学土木工程学院，湖南长沙 410075)

隧道病害问题随着隧道数量的增加而逐渐增多.隧道拱顶开裂、漏水是隧道较常见病害[1-2]，长时间的渗漏水会造成隧道衬砌混凝土结构和隧道内设备的破坏，影响隧道的正常使用[3].

隧道渗流研究方法主要分为数值法和解析法两类.数值法的隧道渗流研究已经较为成熟，很多学者采用数值模拟方法开展隧道发生渗流情况下的涌水量研究[4-8].Zhang 等[9]用有限元孔隙压力减压法分析饱和土中盾构隧道的局部渗漏对隧道和地面沉降的影响，发现采用均匀隧道渗漏假设会高估隧道和地面的沉降，局部渗漏水情况应单独考虑.Yang 等[10]采用有限元软件建立水力学二维和三维模型，模拟了隧道局部渗漏引起的地面和隧道响应.郑刚等[11]采用有限差分方法针对盾构隧道线漏水问题，分析漏水部位对隧道周围土体和相邻隧道的影响.刘印等[12]通过有限元软件中管片接头弱化和接头渗流路径的设置，研究局部接头渗漏水对隧道周围土体孔压及沉降的影响.Wu 等[13]采用在三维有限元模型中引入一维渗漏单元的方法模拟盾构接缝长期渗漏的情况，为研究隧道和地面对隧道任意局部渗漏情况的响应提供了新的方向.相比于数值法，解析解可以作为重要补充且使用简单，它能够通过函数形式将各影响因素直观地表达出来，便于学者进一步研究渗流规律.Harr[14]通过镜像法得到隧道周围的孔隙压力分布.Park 等[15]提出沿隧道周长2 种不同的边界条件（零孔压边界条件和恒定总水头边界条件），通过保角变换的方法给出不同边界条件下的封闭解析解.很多学者在这2 种边界条件的基础上采用不同的方法推导无注浆圈[16-18]和有注浆圈[19-22]的隧道渗流解析解.这些解析解采用的是将局部渗漏能力均化到整个隧道上或者针对完全渗漏隧道，无法真实反映隧道发生局部渗漏水的情况.Guo 等[23]通过Mobius 变换和等效周长法给出地下水通过线缺陷渗入下水道的渗流量近似解.Tang 等[24]在隧道完全渗漏情况下渗流精确解[18]的基础上提出计算带有一条线缺陷的管道周围孔隙水压力和渗流量的解析方法.但这些解都不是精确的解析解，与数值模拟结果和实验结果均有较大差距.

针对隧道拱顶线漏水的病害问题，本研究根据对称性简化边界条件，结合保角变换法和分离变量法给出隧道发生拱顶渗漏时稳态渗流场的显式解析解.针对只采用保角变换方法无法给出局部渗漏情况下准确解析解的问题，本研究利用正交性求解解析解中的未知数.本研究将对比渗流量计算结果与现有解析解、数值解和试验解，并对比水头和水压力计算结果与有限元软件计算结果，进行所得解析解的正确性和优越性验证.此外，本研究将通过参数分析探究隧道埋深、渗漏宽度对衬砌水压力和渗流量的影响规律.

1 模型假定

富水区隧道的衬砌结构通常为马蹄形，在解析研究方面，对于如马蹄形的非圆形断面一般采用保角变换将断面映射为圆形[25]，但是复变函数求解过程较为复杂，因此在解析研究中往往直接假设隧道为圆形断面[17]或者使用等效周长法和等效面积法将真实隧道断面简化为圆形断面[26].本研究采用圆形断面隧道进行解析研究.

半无限饱和土体中隧道发生线漏水时可以近似为平面渗流，由于线漏水发生在拱顶，模型关于隧道中轴线对称，可以取隧道半截面进行分析，平面示意图如图1 所示，圆形隧道半径为r，隧道中心距地面距离为h，地表水位为hw，发生渗漏水部位的弧长为D.

图1 隧道平面模型Fig.1 Tunnel plane model

本研究的基本假定如下.1）距离隧道无穷远处近似视为不透水边界，隧道衬砌不发生渗漏水的部位由于渗透系数远小于土体渗透系数，视为不透水边界；取半截面分析后，根据对称性，隧道中轴线可视为法向不透水边界.2）发生渗漏水的部位为零孔压边界（渗漏水位置处的位置水头）；一般情况下，发生渗漏水的尺寸较小，因此渗漏水部位的位置水头选取渗漏水部位中心处的位置水头，即h2=-h+r.3）土体均质、各向同性，渗透系数保持恒定.4）隧道处于稳定渗流状态，水流服从达西定律.

2 公式推导

2.1 保角变换

根据达西定律和质量守恒定律，隧道周围的二维渗流可以用拉普拉斯方程描述，但在z平面中直接求解是非常困难的[18]，为此基于复变函数的保角变换将原z平面中较复杂的渗流区域映射到ζ 平面的矩形渗流区域再进行求解，最后通过保角变换的反变换将解变回原始的z平面，得到隧道发生拱顶渗漏水时渗流场的显式解析解.区别于文献[23]和文献[24]，本研究仅采用保角变换的方法得到解析解.结合保角变换和分离变量法，可以单独考虑拱顶渗漏位置的渗漏能力，得到精确的渗流场解析解，而不是得到近似解或者在他人研究基础上的改进解析解.

如图2 所示，基于映射函数将z平面下的渗流区域映射到ζ 平面的矩形渗流区域，映射函数为

图2 保角变换示意图Fig.2 Diagram of conformal mapping

式中：u、v为w平面的横纵坐标，ξ、η 为ζ 平面的横纵坐标.除了点4，其余各点根据式（1）和式（2）映射到ζ 平面后的数值见图2.点4 的β 根据式（1）和式（2）得到，为

2.2 渗流场的解析解

假定渗流区域为均质含水层，忽略含水介质在压缩过程引起的介质渗透性变化，则ζ 平面中矩形区域的二维稳态渗流满足拉普拉斯方程：

式中：H1、H2分别为图2(c)中区域①和区域②的总水头.根据模型假定阐述图2(c)的解析模型边界条件如下.1）z平面中1-3、5-6 边界位于取对称结构的中轴线上，在ζ 平面中视为法向不透水边界；4-5 边界为衬砌结构，在ζ 平面中也视为法向不透水边界.2）z平面中6-7、2-7 边界均为无穷远边界，均在ζ 平面中视为不透水边界.

ζ 平面中矩形区域的边界条件如下.1）区域①：左边界（ξ=ln α）为渗漏部位中心的位置水头h2；右边界（ξ=0）为地表水头hw；上边界（η=π）为法向不透水边界，即 ∂H1/∂η=0.2）区域②：左边界（ξ=ln α）为不透水边界，即 ∂H2/∂ξ=0 ；右边界（ξ=0）为地表水头hw；下边界（η=0）为法向不透水边界，即 ∂H2/∂η=0.3）区域①和区域②之间的连续条件为

基于分离变量法[27]，当矩形区域左右边界为水头边界时，拉普拉斯方程的通解为

当矩形区域左边界为不透水边界，右边界为导数边界时，拉普拉斯方程的通解为

式中：a0、b0、c0、A0n、B0n、C0m、D0m均为待定常数，可根据边界条件和连续条件求解.将区域①和区域②的边界条件分别带入式（6）和式（7），将区域①和区域②的总水头写成级数和的形式：

式中：An、Bm为水头解中待求参数；kn=-nπ/ln α,km=-(2m-1)π/2ln α；n、m=1,2,3,···,∞.根据2 个区域的总水头解和连续条件式（5）得到

为了求解级数方程中的未知数，根据三角函数的正交性特意构造非齐次方程组，使方程中未知数可解，在式（10）和式（11）两边分别乘以sinknξ、sinkmξ，并分别在[ln α,0]上积分，得到

利用Matlab 编程计算式（12）和式（13）求出An、Bm.在求解上述参数时，公式中的级数都是无穷级数，为了求解未知系数，必须将级数在第N项处截断.但此时求出的渗流场解均为ζ 平面中渗流场的解，为了得到z平面中隧道发生拱顶渗漏水时稳态渗流场的显式解析解，须再次通过保角变换将ζ 平面中渗流场的解析解变换为z平面中隧道发生拱顶渗漏水时稳态渗流场的显式解析解.第二次保角变换的公式根据式（1）和式（2）得到，为

z平面中隧道发生拱顶渗漏水时稳态渗流场总水头解为

2.3 孔隙水压力解析解

在流体力学中，根据伯努利方程，总水头由位置水头、压强水头、动能水头组成.二维稳态渗流情况下，动能水头为0，总水头表达式为

式中：ρ 为水的密度，g为重力加速度.孔隙水压力p用水头H表示，为

根据式（16）和式（17），孔隙水压力解析解为

2.4 渗漏水位置渗流量解析解

z平面渗漏水位置的渗流量和ζ 平面矩形区域中3-4 段的渗流量相等，可以按照ζ 平面矩形区域来求解z平面渗漏水位置的渗流量.根据式（8）可以得到ζ 平面中渗漏水位置处3-4 段的水力梯度：

解析求解过程中选取半截面进行求解，实际渗漏水位置处的渗流量为

式中：k为土体渗透系数.由式（21）可以得到

3 解析解的验证

3.1 渗流量计算结果对比验证

如图3 所示，通过分析级数项数N不同取值对隧道上方中轴线上（图2(a)中线1-3）水头计算结果的影响.当取N=1～10 时，解析解水头计算结果变化较大；当N≥20 时，解析解水头计算结果变化很小.可以认为当N≥20 时，计算结果收敛，继续增大级数项数N的意义不大，因此解析解的对比分析均取级数项数N=20.在级数项数取N=20 的情况下，解析解应用普通办公电脑计算的计算耗时仅在1 s 左右.相较于数值软件，在改变工程参数时，只要改变程序中的输入值，省去了数值软件重新建模和划分网格的步骤，有较好的实用性.

图3 级数项数对隧道上方中轴线水头计算结果的影响Fig.3 Influence of level terms number on water head calculations results of central axis above tunnel

为了验证本研究解析解的正确性，将由式（23）得到的解析解渗流量计算结果与文献[24]的解析解计算结果、数值模拟计算结果和试验结果以及文献[23]的近似解计算结果进行对比.不同地表水头情况下渗漏部位渗流量的对比情况如图4 所示，不同渗漏宽度情况下渗漏部位渗流量的对比情况如图5 所示.对比中选取的现有解析解计算结果、数值解计算结果和实验数据为文献[24]中的原始数据，本研究解析解计算过程中采用的参数也与文献[24]中的参数相同.由图4 中可以看出，本研究解析解和数值计算结果几乎一致，最大误差不超过2.5%，文献[24]的解析解与数值模拟计算结果最小误差大于12%.且相较于文献[23]的近似解和文献[24]的解析解，解析解与实验结果更为接近.由图5 中可以看出，本研究解析解与数值解吻合很好，远比文献[24] 的解析解精确，且渗漏部位的渗流量随着渗漏宽度的增大而增大.可见，本研究解析解具有很高的精度，可以准确地预测隧道拱顶发生渗漏水时的渗流量.

图4 不同地表水头情况下的渗流量Fig.4 Seepage volumes for different surface water head conditions

图5 不同渗漏宽度情况下的渗流量Fig.5 Seepage volumes for different leakage widths

3.2 水头和衬砌水压力计算结果对比验证

为了进一步验证本研究解析解的正确性，利用有限元软件PLAXIS 建立与解析模型相同几何形状、边界条件以及渗透率的数值模型.建模步骤如下.1）按照解析模型建立相同的几何模型，对于解析模型中横向边界为无穷远的情况，根据文献[21]，将横向边界宽度和地表到底部边界的距离均取为隧道直径的9 倍.2）采用15 节点的三角形单元对模型进行网格划分，并对隧道周围进行网格局部加密.3）设置边界条件：隧道衬砌为不透水边界，拱顶渗漏部位为零孔压边界；地表施加15 m 水头边界，模型侧边界和底部边界均为不透水边界.4）激活隧道衬砌、钝化隧道内部土体，并进行地下水稳态渗流计算，得到数值计算结果.模型图如图6 所示，若无特殊说明，验证和讨论取用的模型参数如下：hw=15 m，h=9 m，r=3 m，D=0.3 m，k=1.16×10-5m/s.如图7 所示为本研究解析解与有限元软件水头计算结果，如图8 所示为隧道衬砌水压力计算结果对比图.可以看出，本研究解析解水头计算结果和水压力计算结果与有限元软件计算结果基本吻合，进一步说明了本研究解析解的正确性.可见，本研究解析解能够准确地预测当隧道发生拱顶渗漏水时周围渗流场的情况.

图6 PLAXIS 模型图Fig.6 PLAXIS model diagram

图7 水头计算结果对比Fig.7 Comparison of water head calculation results

图8 衬砌水压力计算结果对比Fig.8 Comparison of lining water pressure calculation results

4 参数分析

4.1 隧道埋深

如图9 所示为不同埋深情况下隧道衬砌水压力分布情况.可以看出，以渗漏水位置为中心±60°范围内衬砌上水压力比不发生渗漏时的静水压力有明显下降.原因是地下水大量流入，导致隧道周围衬砌水压力明显降低.当h/r=3 时，在局部渗漏水位置±60°范围内的衬砌水压力小于静水压力的86%；当h/r=6 时，在局部渗漏水位置±60°范围内的衬砌水压力小于静水压力的78%；当h/r=9时，在局部渗漏水位置±60°范围内的衬砌水压力小于静水压力的75%.可见隧道埋深越大，渗漏水对渗漏部位周围衬砌上水压力减小作用越大.值得注意的是，隧道渗漏会使以渗漏水位置为中心周围±60°范围内的衬砌水压力明显降低，这也可以为设有排水孔隧道的设计提供参考.

图9 不同埋深情况下的隧道衬砌水压力分布图Fig.9 Diagram of water pressure distribution on tunnel lining for different burial depths

如图10 所示为隧道埋深对衬砌上最大水压力pmax的影响.可以看出，无论地表水头多大，隧道衬砌上最大水压力都会随着隧道埋深的增大而线性增大；随着隧道埋深的增加，发生渗漏时衬砌上的最大水压力与不发生渗漏时最大静水压力的差值越来越大.当hw/r=3、4、5，h/r从0 增大到9 时，发生渗漏的衬砌最大水压力与不发生渗漏衬砌最大静水压力的比值从1.00 减小到0.87，说明渗漏水对隧道衬砌最大水压力的降低作用随着隧道埋深的增加而增加，但发生渗漏的衬砌最大水压力与不发生渗漏衬砌最大静水压力的比值与地表水头的大小无关.

图10 隧道埋深对衬砌最大水压力的影响Fig.10 Influence of tunnel burial depth on maximum lining water pressure

如图11 所示为隧道埋深对渗漏部位渗流量的影响.可以看出，无论地表水头多大，发生渗漏处渗流量的变化趋势相同，都会随着隧道埋深的增大先减小后增大.原因是隧道埋深较小时，地表的水很容易通过隧道上方土层流入隧道，随着隧道埋深的增大，地表水流入隧道变得困难，导致渗流量先减小而后随着隧道埋深的继续增大，渗漏水位置处的水头逐渐减小，水力梯度逐渐增大，渗漏水处的渗流量也随之增大.因此，渗流量在随着隧道埋深变化时存在唯一最小值.当hw/r=3 时，最小值对应的h/r=1.87；当hw/r=4 时，最小值对应的h/r=2.07；当hw/r=5 时，最小值对应的h/r=2.27.可见，随着地表水头的增大，渗流量最小值对应的隧道埋深会逐渐增大.

图11 隧道埋深对渗漏部位渗流量的影响Fig.11 Influence of tunnel burial depth on seepage volume at leakage site

4.2 渗漏宽度

如图12 所示为不同渗漏宽度情况下隧道衬砌上水压力分布情况.可以看出，随着渗漏宽度的增大，隧道衬砌上水压力逐渐减小，但减小程度较弱，且主要减小渗漏水部位周围±60°范围内的衬砌水压力.如图13 所示为渗漏宽度对衬砌上最大水压力pmax的影响.可以看出，随着渗漏宽度的增大，隧道衬砌上最大水压力逐渐减小，且与不发生渗漏时的静水压力差距逐渐增大，说明渗漏宽度对隧道衬砌最大水压力的降低作用随着渗漏宽度的增大而增大.当渗漏宽度小于0.05 m时，渗漏宽度变化对衬砌最大水压力的影响大于渗漏宽度大于0.05 m 时渗漏宽度变化的影响.当hw=5，渗漏宽度从0 增至0.05 m 时，衬砌最大水压力降低了2.9%；渗漏宽度从0.05 m 增至0.3 m 时，衬砌最大水压力降低了1.6%.可见隧道拱顶渗漏水对衬砌最大水压力降低很少，远不如对渗漏水位置周围水压力的降低程度，隧道拱顶渗漏水不仅有地下水流入隧道危害，施加在隧道衬砌上的最大水压力也未明显减小.

图12 不同渗漏宽度情况下的隧道衬砌水压力分布图Fig.12 Diagram of water pressure distribution on tunnel lining for different leakage widths

图13 渗漏宽度对衬砌最大水压力的影响Fig.13 Influence of leakage width on maximum lining water pressure

如图14 所示为渗漏宽度对渗漏部位渗流量的影响.可以看出，无论地表水头为多大，随着渗漏宽度的增大，渗漏位置处渗流量随着渗漏宽度的增大而增大.但当hw=5，渗漏宽度从0.005 m 增至0.050 m 时，渗漏部位渗流量从3.53×10-5m3/(s·m)增至10.04×10-5m3/(s·m)，增加了184.2%；当渗漏宽度从0.05 m 增至0.30 m 时，渗漏部位渗流量从10.04×10-5m3/(s·m)增至15.51×10-5m3/(s·m)，增加了54.5%.渗漏宽度小于0.05 m 时渗流量的变化明显大于渗漏宽度大于0.05 m 时渗流量的变化，且随着渗漏宽度的增大渗流量的变化程度越来越小.结果表明，当渗漏宽度小于0.05 m 时，渗漏宽度对渗漏水位置处的渗流量有较大影响，当渗漏宽度大于0.05 m 时，渗漏宽度对渗流量的影响较小.可见，在渗漏宽度较小的时候若及时对渗漏水进行控制，对渗漏水部位进行修补，可以有效地阻止地下水大量流入隧道.