北京师范大学贵阳附属中学(550081) 李鸿昌

1.试题与解析

题目(2019 年高考全国I 卷第21 题)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下: 每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分,乙药得−1 分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分,甲药得−1 分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列;

(2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分,pi(i=0,1,···,8) 表示“甲药的累计得分为i时, 最终认为甲药比乙药更有效”的概率, 则p0= 0,p8= 1,pi=api−1+bpi+cpi+1(i=1,2,···,7),其中a=P(X=−1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.

(i)证明:{pi+1−pi}(i=0,1,2,···,7)为等比数列;

(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.

解答 (1) 随机变量X的所有可能取值为−1, 0, 1.P(X=−1)=(1−α)β,P(X=0)=αβ+(1−α)(1−β),P(X=1)=α(1−β),所以随机变量X的分布列为

?

(2)(i)由(1)得:a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此

故0.1(pi+1−pi) = 0.4(pi −pi−1), 即pi+1−pi=4(pi −pi−1).又 因 为p1−p0=p1= 0, 所 以{pi+1−pi}(i= 0,1,2,···,7) 为公比为4, 首项为p1的等比数列.

(ii)由(i)可得,

由于p8=1,故所以,

p4表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8 时,认为甲药更有效的概率为此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.

2.试题背景

本题的高等数学背景是“两端带有吸收壁的随机游动”.

3.1 背景内容

考虑x轴上的一个质点,假定它只能位于整数点,在时刻t= 0 时,它处于初始位置a(a是整数),以后每隔单位时间,它总受到一个外力的随机作用,使位置发生变化,分别以概率p及概率q= 1−p向正的或负的方向移动一个单位,我们所关心的是质点在时刻t=n时的位置.用这种方式描述的质点运动称为随机游动.

若在质点游动的两端各设有一个吸收壁,质点一到达这两个端点即被吸收而不再游动, 因而整个游动也就结束了,这种随机游动称为两端带有吸收壁的随机游动.

3.2 背景分析

在本题中,将甲药视为研究对象,记为质点M.在试验开始时甲药被赋予4 分,即质点M的初始位置为x= 4,每轮试验甲药得−1、0 或1 分,分别对应质点M向负的方向移动一个单位、静止不动或向正的方向移动一个单位.

当乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多4 只时,试验结束,此时甲药的得分为0,代表在数轴x= 0 处有一个吸收壁,当质点移动到该位置时随机游动结束;当甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4 只时,试验结束,此时甲药的得分为8,代表在数轴x=8 处有一个吸收壁,当质点移动到该位置时随机游动结束.

通过以上分析可知,本题所给的药物试验方案实质上就是带有吸收壁的随机游动,只是对于每次游动不只有负或正两个方向,还有可能静止不动.

3.3 递推公式的由来

设事件Ai(i= 0,1,2,···,8) 表示“甲药的累计得分为i”, 即质点M位于x=i处, 简记为|M| =i.事件B表示“最终认为甲药比乙药更有效”, 即|M| = 8.由题pi(i=0,1,···,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则

当i= 0 时,事件A0表示|M| = 0,此时随机游动结束,事件B一定不发生,故B ∩A0=Ø,即P(B ∩A0) = 0,所以p0= 0;当i= 8 时,事件A8表示|M| = 8,即A8=B,故B ∩A8=A8,所以P(B ∩A8)=P(A8),所以p8=1;当1 ≤i≤7(i ∈N+)时,在事件Ai发生的条件下,事件B发生有三种方式来实现:

①下一次向负方向移动并最终事件B发生; ②下一次静止不动并最终事件B发生; ③下一次向正方向移动并最终事件B发生.此时计算pi就需要用到全概率公式.

由全概率公式知,当1 ≤i≤7(i ∈N+)时,

(其中a=P(X=−1),b=P(X=0),c=P(X=1))

这样我们就得到了题中所给的式子.

3.试题推广

假设在数轴x= 0 和x=n(n ∈N+)处各有一个吸收壁.质点M每隔单位时间发生一次随机游动.一次游动距离设为随机变量X,并设其分布列如下:

?

4.变式探究

变式1 (2023 年新高考I 卷)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下: 若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

(1)求第2 次投篮的人是乙的概率;

(2)求第i次投篮的人是甲的概率;

(3)已知: 若随机变量Xi服从两点分布,且

解 (1) 由题意知,P(_ 乙) =P( 甲乙) +P( 乙乙)=0.5×(1−0.6)+0.5×0.8=0.6.

变式2 (2021 年辽宁省数学竞赛)为了释放学生压力,某校高三年级一班进行了一个投篮游戏.期间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮).在相同的条件下,每轮甲乙两人站在同一位置上,甲先投,每人投一次篮,两人有1 人命中,命中者得1 分,未命中者得−1 分;两人都命中或都未命中,两人均得0 分.设甲每次投篮命中的概率为,乙每次投篮命中的概率为,且各次投篮互不影响.

(1)经过1 轮投篮,记甲的得分为X,求X的分布列及期望;

(2)若经过n轮投篮,用pi表示第i轮投篮后,甲的累计得分低于乙的累计得分的概率.

①求p1,p2,p3;

②规定p0= 0, 经过计算机模拟可得pi=api+1+bpi−1(i≥1,i ∈N),请根据①中p1,p2,p3的值求出a,b的值,并由此求出数列{pn}的通项公式.

X −1 0 1 P 1 1 1 6 2 3

变式3 (2023 年甘肃省数学竞赛)马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名, 其过程具备“无记忆”的性质,即第n+1 次状态的概率分布只跟第n次的状态有关,与第n −1,n −2,n −3,··· 次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子,盒子中都有大小、形状、质地相同的2 个红球和1 个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换,重复进行n(n ∈N∗)次操作后,记甲盒子中黑球个数为Xn,甲盒中恰有1 个黑球的概率为an,恰有2 个黑球的概率为bn.

(1)求X1的分布列;

(2)求数列{an}的通项公式;

(3)求Xn的数学期望.

X1 0 2 1 P 2 5 2 9 9 9

(2)由全概率公式可知

(3)由全概率公式可得