杨春林

(中国工程物理研究院激光聚变研究中心,绵阳 621900)

1 引言

随着激光输出功率的不断增加,光在传输过程中的各种非线性现象也越来越突出.常见的受激布里渊散射(SBS)、受激拉曼散射(SRS)、克尔效应等非线性效应对光束的传输特性会有影响,因此,在高能量激光的实际应用中,需要对非线性过程进行抑制.

相干性与非线性相关[1],散斑场具有消相干的作用,虽然在NIF 为代表的激光系统中都采用随机位相板产生的散斑场来抑制非线性[2],但从理论上如何描述这一过程还需要更详细的分析.Goodman[3]从统计光学的角度完整地研究了散斑场的线性传输和统计特性,但只局限于线性光传输范围.

在非线性参量过程研究方面,很少包括散斑泵浦的情况.Froula 等[4],Neumayer 等[5]和项江等[6]分别使用线性理论模型讨论了等离子体中的平面波入射条件的参量过程,这种分析方法仅适用于弱非线性阶段的工作条件,分析的侧重点主要是散射光的增长特性.王莹等[7]讨论了高斯光束在等离子体中的非线性传输特性.如果非线性介质存在一定的不均匀性,这就会导致在某些区域满足共振条件产生明显的散射光,在其他区域又会发生共振失谐,从而抑制散射光的增长.Roseenbluth[8],Liu 等[9]和汪卫星等[10]分别在三波耦合模型的基础上,对弱不均匀介质的影响进行了研究.

与非线性过程SRS,SBS 类似,在交叉束能量传递过程(CBET)[11,12]、等离子体振子衰变(TPD)[13]等参量过程中也都涉及了散斑泵浦的问题.Follett等[14]针对叠加位相板和束匀滑条件下的CBET进行了分析,发现利用位相板生成的散斑场分析模型能够更好的对能量交换过程进行预测.但该文中只有某些条件下的数值模拟的结果,实际上仍然缺乏详细的散斑非线性理论分析及相关讨论.

本文针对散斑这种非均匀泵浦激光的情况,开展了理论研究,对其抑制非线性增长的能力(主要是针对SBS)进行了研究模拟.

2 散斑场的分布和特性

本文讨论的散斑的非线性效应主要针对小信号增益条件,此时非线性效应对散斑泵浦光影响小,因此,可以单独计算其线性传输的部分并被直接引用.

如图1 所示,连续位相板(CPP)光学元件在焦平面上产生散斑场,对一个确定的CPP 元件而言,散斑光场是稳态的,它在横向和纵向都存在随机结构.经线性传输的菲涅耳衍射公式计算,可以得到纵向散斑的结构,即光轴附近某处散斑场的纵向振幅u0,位相分布ϕ和波数k.这里引入的散斑波数为,即是对散斑位相做微分运算,结果如图2 所示.由于菲涅耳衍射公式中的周期性因子并没有在图2 中体现,因此这里的位相和波数都是与基础位相和波数k0之差值.也就是说散斑将引入额外的位相和波数变化.

图1 CPP 产生散斑的光路示意图和CPP 面型Fig.1.The speckles generated light path by CPP and the Surface shape of a CPP.

图2 散斑场的纵向振幅和波数(差)变化.蓝色虚线是散斑场的振幅,红色实线是波数(差)Fig.2.Amplitude and wavenumber of speckles in longitudinal.The blue dot line is amplitude and the red solid line is wavenumber.

散斑光场引入了振幅和位相的随机起伏,也可反映为波数的起伏,这为抑制非线性效应提供了契机.接下来将从散斑波数失配的方面来模拟这个效应.

散斑场的振幅和位相分布虽然有明显的起伏,似乎波数并非固定值.但实际上因为相位的连续分布,也将导致光场在某些局部小范围能够满足位相匹配条件,从而引发非线性增益.要系统地理解散斑非线性效应,需要对这种局部的相位匹配问题进行研究,从而对散斑所包含的各种位相和振幅条件都进行研究和分析.

3 散斑的非线性参量方程组及其求解

在一维传输条件下,散斑的参量非线性过程可以使用下面的三波耦合方程来研究[1].这个方程组简化了非线性介质中的驱动机制,但其中所包含的参数Δk可用于描述散斑条件.或者可以直接把图2的波数函数代入方程组(1)中的Δk.一般而言方程组中的Δk是常数,而图2 中的波数是函数.为了解决这个问题,本文还引入了分段处理.也就是说,把坐标轴z分成很多段,每一个分段内的Δk(z)是常数,则仍可以应用方程组(1).

其中u0,us,uv分别是泵浦光、散射光(decay light),等离子波(电子波或离子声波)的振幅.Δk=k1−k2−k3是对应三波波矢之差.γ1,γ2,γ3是耦合系数,z是坐标变量.在本文中,泵浦光同时也是散斑光场.

其中C1,C2是待定系数.小信号增益系数

若b为实数,要求

此时方程的解(2)式和(3)式随z增大而增大,也就是存在非线性增益,反之b为虚数,则(2)式和(3)式表示的复振幅将不会随z 增大而增大.(4)式就是含有波数失配的参量过程的阈值条件.当Δk=0,也就是k1=k2+k3的情况,称为参量过程的位相匹配条件,这时的非线性增益最大.

接下来将详细讨论待定系数C1,C2及其物理意义.利用边界条件确定(2)式和(3)式中的待定系数,可得到:

其中us(0),uv(0) 就是散射波和等离子体波在z=0边界上的复振幅.如果在边界上的这两个场振幅都不为0,即 |us(0)|0 或者 |uv(0)|0,则C1和C2是复振幅的加权平均,(5)式实际上表述了边界位相匹配会影响实际的非线性增益.如果进一步简化,令Δk=0,则(5)式简化为

此时C1,C2是两个复振幅的直接平均,它们的最大值出现在两个复振幅位相相同或者相反的时候,这时可以称为满足边界位相匹配.

引入图2 所示的散斑光场,散斑光场的波数(复振幅也是)在z轴传播方向上存在随机起伏,其随机变化规律可以用相关长度[3]来表示,在相关长度内散斑复振幅的变化较小.在具体计算时,将散斑光场沿z轴分成若干单元,每段长度小于散斑相关长度即可保证分段内散斑光场分布是近似均匀.根据Goodman 文献[3]的相关长度计算公式Δz=6.7λ(f/D)2,可得知图2 所示散斑场的相关长度为235.17 μm,在具体分段计算时,每一段长度小于该值即可满足要求.

在计算中,后一个分段的输入场是前一个分段的输出场,且每一个分段的边界条件和待定系数C1,C2都不相同.

由于每个分段的波数差Δk不同,根据(2)式和(4)式可知,对应的增益也不同.若在某些分段Δk2＞g2,则b是虚数,令=−ib是实数,则散射光满足的公式是

通过分析可知,即使某一个分段满足增益条件,存在非线性增益,如果入射的两个波不满足边界位相匹配,则通过该分段之后的光场可小于入射时的光振幅.由于散斑光场是随机起伏的,因此大多数情况都不满足边界位相匹配条件.因此,从理论上证明了散斑场可以通过破坏非线性积累的方式,实现抑制非线性效应增长这一结论.

4 计算结果与讨论

如第3 节所讨论的那样,可以把波数失配函数分段计算.当然也可以直接对耦合波方程组(1)做差分模拟计算,两者是完全等效的.计算使用的参数包括:

入射激光参数λ0=0.351×10−6m,k0=2π/λ0,I0=1×1015W/cm2;

非线性参数g=5×103/m 或者g=2×104/m,γ2u0=g/2;

边界条件us(0)=1×10−11u0,=0.

使用图2 的散斑波数ksp和光振幅u0来模拟计算非线性增益.也就是把k1=k0+ksp代入(1)式中的 Δk,得到

其中k0是基础波数;ksp就是图2 中的散斑波数,是函数;k0−k2−k3是常数.当k0−k2−k30的时候,相当于上下平移ksp函数曲线.这种情况不影响分析方法.且一般而言,k0−k2−k30 会导致 Δk2增大,根据(2)式和(4)式,可以预计SBS增益减少.为简单计,这里采用k0−k2−k3=0 的条件,也就是 Δk=ksp.

图3 给出了SBS 反向散射光在z 轴上的增益情况.同时给出了散斑波数变化的情况,两者具有对应关系.

图3 散斑的波数差(a)和增益曲线(b)对比Fig.3.The wavenumber difference of speckles (a) vs.the gain curve (b) of parametric process.

根据SBS 的位相匹配条件和等离子体色散关系,SBS 散射光通常是与入射光反向的,即使在稍微偏离位相匹配条件的时候也是如此.所以图3 中散射光振幅us是向z轴的负方向增大的.

增益曲线与Δk曲线有对应关系.当Δk局部平直且接近0 的时候,获得增益.比如图3 中z=–0.6 mm,z=–3 mm,z=–4.8 mm 附近.当|Δk|剧烈变化的时候,会引入的随机边界位相,对应增益为负,这样非线性过程就没法积累.从而实现了散斑对SBS 的抑制.

图3 条件的增益系数g=5×103/m.进一步对未使用散斑和使用散斑泵浦的情况进行对比,得到的结果如图4(a)所示.散斑泵浦条件下,散射光振幅远远小于泵浦光振幅,从而完美地实现了对非线性效应的抑制.而未使用散斑泵浦的情况,总增益接近 1×1011,散射光振幅与泵浦光振幅相当接近.图4(a)中的棕色虚线使用的计算条件是不考虑波数失配,只考虑振幅变化起伏,则未能抑制非线性增长.这个结果证实并强调了波数或位相失配的关键作用.

图4 SBS 后向散射光沿z 轴的增长 (a) 增益系数g=5×103/m 的情况; (b) 增益系数g=2×104/m 的情况Fig.4.Gain curves of SBS backscatter light along axis z:(a) Gain coefficient g=5×103/m; (b) gain coefficient g=2×104/m.

下面对较大增益系数的情况,即g=2×104/m,对未使用散斑泵浦和使用散斑泵浦的情况分别进行计算,得到的结果如图4(b).

结合图3,这时增益系数g已经大于几乎所有位置的 |Δk(z) |,完全不满足阈值(4)式,这时散斑就不能很好地抑制非线性增长了.计算的结果参见图4(b).红色实线表示的散斑泵浦的情况,仍然存在非线性增益,与未使用散斑的情况相比,总增益较小一些.

如果要抑制这种情况下的SBS,需要使用 |Δk| 更大的散斑,也就是使用强聚焦的CPP 来实现.

另外,散射种子光可能带来任意的 Δkseed,从抑制SBS 的角度来看,最坏的情况是 Δkseed=,即合成波数 Δk的平均值为0.假设随机量 Δk具有对称概率密度,则此时 max(|Δk|) 最小,因而较为不利.本文已经模拟的情况就是这种最坏的情况.其他情况 |Δk| 更大,对抑制SBS 更为有利.

5 结论

本文从理论和数值模拟两个方面研究了散斑的参量非线性特征.对于散斑泵浦条件下SBS 的增益和增益受抑制的情况进行了研究.由于散斑波数在空间上随机变化,因此分析散斑条件下的非线性耦合波传输需要分段处理.各段的增益特性由阈值条件决定.分段界面还需要引入边界位相匹配,对应微分方程的解的待定系数.如果不满足边界位相匹配,即使有增益的分段也可能降低散射光的振幅.散斑场的波数差随机变化,多数情况下都不满足边界位相匹配,因此具有抑制非线性增益的作用.

如果增益系数g增大,则散斑的作用也会下降,除非采用 |Δk| 更大的散斑光场.散射种子光也会带来任意的初始波数失配,最差的情况是它导致 |Δk| 变小了,对应总的波数差 Δk的平均值为0,即=0 的情况.散射种子光还可以出现在z轴上的任意位置,由于散斑光场的随机平稳性,即随机光场在不同的位置z的统计特性相同,这个对本文结论没有影响.