尹相国 于海如 郝亚江 张云波

1)(山西大学理论物理研究所,量子光学与光量子器件国家重点实验室,极端光学协同创新中心,太原 030006)

2)(北京科技大学物理系,理论物理研究所,北京 100083)

3)(浙江理工大学物理系,浙江省光场调控重点实验室,杭州 310018)

1 引言

多体系统的非平衡动力学[1,2]是当今物理领域最重要的研究课题之一,其中淬火(quench)动力学[3]是一种受到广泛关注的动力学形式.淬火动力学一般指处于平衡态或者基态的系统突然改变某一个系统参数或哈密顿量中的一个参数,例如外势[4,5]、粒子间的相互作用强度[6,7]、温度[8]、杂质[9,10]、布拉格脉冲[11]等,从而引起系统动力学演化.涉及的系统包括孤立冷原子气体[12]、自旋系统[13]、拓扑系统等.研究的方法包括矩阵精确对角化[14]、变分法[15]、密度矩阵重整化群(DMRG)、含时变分蒙特卡罗方法(time-dependent variational Monte Carlo method)[16]、多层多组态含时Hartree 方法(MLMCTDH)[17]等.在多体系统中,量子可积系统的淬火动力学也得到了人们的关注,例如接触相互作用的一维原子气体[18,19]、XXZ 自旋链[20]、哈伯德模型[21]等.

作为一维量子可积系统的典型代表,接触相互作用的一维玻色气体(Lieb-Liniger 模型[22])得到了人们的持续关注.2009 年,实验上将强排斥相互作用突然变为强吸引相互作用,从而实现高激发态的制备,即超Tonks-Girardeau 态[6,23].随后,调节Lieb-Liniger 模型相互作用强度的淬火动力学得到持续的研究.2014 年Caux 等[16]不仅给出了该模型宇称平衡态在无相互作用的玻色-爱因斯坦凝聚态下交叠积分(overlap)的解析表达式,而且利用淬火作用量方法(quench action approach)得到了热力学极限下稳态的密度关联等性质.接着淬火动力学中排斥相互作用的交叠积分[24]和关联函数[19,25]、吸引相互作用情形[26,27]、任意子情形[28]、一维简谐势情形[29]、纠缠熵[30]等都得到了大量的研究.因为动力学演化涉及非常多的激发态,2021 年Robinson 等[31]提出了快速寻找大权重激发态的方法,并用扩展的数值重整化群方法计算更多粒子数系统的动力学.

作为冷原子气体的另外一个可积模型,一维接触相互作用费米气体的本征态和平衡态的性质研究得比较多[32],而其淬火动力学得到的关注很少.本文关注单个自旋向下而其他自旋全部向上的特例.该模型可理解为自旋极化费米气体中的杂质问题.早在1965 年McGuire[33,34]用Bethe ansatz 方法给出了该系统严格的波函数和能量本征值,并得到了不同自旋间的两体关联函数的解析表达式和物理性质.吸引相互作用下的极化子到分子态的转变得到大量研究[35–41].2017 年崔晓玲研究组[42]发现吸引情况下的散射态具有负有效质量.2020 年Gamayun 等[43,44]推导出动量依赖的杂质单体关联函数的弗雷德霍姆(Fredholm)行列式表示,并得到了杂质的奇异动量分布.2021 年Dolgirev 等[15]发现,当系统总动量等于费米动量时,集体激发模式的态密度在频率空间存在明显的尖峰,该峰对应的能量为自旋向上粒子激发态与自旋向下粒子(杂质)激发态的能量差,也对应着相互作用淬火后杂质附近费米气体的振荡频率.

虽然单自旋翻转一维费米气体的基态动量分布和其他物理量性质已经用数值方法研究过[33–44],但是本文的严格解方法可以给出基态关联函数和动量分布的简洁表达式.尽管淬火动力学方法得到广泛的应用,但是一维费米气体的淬火动力学性质却研究得很少.本文主要研究单自旋翻转的费米气体的基态和相互作用淬火动力学性质.系统的初态是相互作用强度为零时系统的基态,随后将相互作用强度突然调到正值,研究自旋向上费米气体的动量分布、单体关联函数、两体关联函数随时间的变化,观察相互作用强度对这些物理量演化行为的影响,因而判断系统是否一直处于振荡状态,还是发生热化或者预热化? 本文的内容安排如下: 第2 节介绍单自旋翻转的一维费米气体模型,并回顾严格解方法得到的本征态和能量本征值表达式; 第3 节给出基态的单体关联函数和两体关联函数以及动量分布用简单函数求和的表达式,并分析其性质;第4 节给出淬火动力学的计算方法,包括不同本征态间的关联函数的简洁表达式; 第5 节是淬火动力学的数值计算结果和讨论; 最后一节是总结.

2 一维单自旋翻转费米气体模型及其严格解

考虑由N−1 个自旋向上和一个自旋向下的费米子组成的一维费米气体系统.因为泡利不相容原理,这里不考虑自旋向上费米子之间的相互作用,而不同自旋费米子之间存在δ 函数形式的接触相互作用.假设xi是第i个粒子的空间坐标,则该系统哈密顿量为

其中,第一项为所有粒子的动能和,第二项为不同自旋费米子的相互作用项,ℏ 是约化普朗克常数,m是粒子的质量,g是自旋向上粒子和自旋向下粒子间的相互作用强度.g＞0 表示排斥相互作用,而g＜0 表示吸引相互作用.本文只研究排斥相互作用情况.为了书写方便和遵循惯例,令ℏ=2m=1,则系统的哈密顿量变为

其中c=g/2.该模型的本征方程可用坐标Bethe ansatz 方法严格可解.

在周期性边界条件下,坐标为x1的粒子自旋向下而坐标为x2,x3,···,xN的粒子自旋向上对应的全空间波函数可以写为

其中αj=1−exp(ikjL),βj(x)=exp[ikjLθ(x)],L是系统的长度.θ(x) 是阶跃函数,定义为: 当x＜0时,θ(x)=0;当x＞0时,θ(x)=1.(−1)P表示排列的符号,当P=1,2,···,N时,(−1)P=1.每两个位置交换一次,(−1)P就是原来排列的相反数.波矢kj和快度λ 需要满足Bethe ansatz 方程组:

其中j=1,2,···,N和c′=c/2.同时,由本征方程可得系统的能量本征值为

3 本征态关联函数和动量分布

自旋向上粒子的单体关联函数和两体关联函数,以及不同自旋粒子间的两体关联函数定义如下:

其中,G是归一化系数,表示坐标为xi的粒子自旋向下同时其他粒子自旋向上的量子态,ψ↓i(x1,x2,···,xN)是相应的一次量子化波函数,如ψ↓1(x1,x2,···,xN) 为(3)式表示的波函数.求和号是对所有自旋向下的粒子求和,其中每个粒子向下的波函数都占有相同的权重.一次量子化的波函数具有交换反对称性,例如: 当自旋向上粒子和自旋向下粒子发生交换,以及自旋向上粒子之间发生交换时,波函数分别满足下面的关系式:

利用表达式(10),粒子波函数的交换反对称性(11)式和(12)式以及算符的反对易性(13)式和(14)式,可得用一次量子化波函数表示的关联函数:

其中G0=G/[N!N(N−1)].由归一化条件〈ψ|ψ〉=1,可得归一化系数

文献[33]将波函数(3)代入表达式(17),经过计算可消除积分,得到不同自旋粒子间两体关联函数的求和形式:

其中

遵循同样的方法,可以得到自旋向上粒子的单体关联函数和两体关联函数由简单函数有限项求和的简洁表达式:

其中P1P2P3的求和是 {1,2,···,N} 取三个数的所有组合并且全排列的求和,Q1Q2Q3的求和是对 {P1P2P3}全排列的求和,总求和的数目为6N(N−1)(N−2).是排列顺序的符号.当0≤x≤x′≤L时,

其中z=x′−x＞0.当0≤x′≤x≤L(z＜0) 时,F1(ki,kj,z)=F1(ki,kj,z+L).(20)式的详细推导过程见附录A.

由于系统具有平移不变性,所以自旋向上粒子的动量分布可以定义为

其中动量p是2π/L的整数倍.将单体关联函数(20)式代入(22)式,可得动量分布的求和形式:

其中

对于具体的数值计算,首先需要计算出波矢 {k}.当c＞0 时,由方程(4)和方程(5)可知,波矢 {k} 的解是实数,对该方程组取对数后可以得到实数空间的超越方程:

式中,对于N为偶数的情况,量子数nj的取值是互不相等的奇数的一半,量子数nλ的取值是整数.系统基态的量子数取值为nj={−(N−1)/2,−(N−1)/2+1,···,(N−1)/2} 和nλ=0.将 基态量子数、相互作用强度c和系统长度L代入超越方程(25)和(26),可得波矢 {k} 的数值解,进一步可计算关联函数和动量分布.在数值计算中,系统长度取值为L=1,粒子数除了特别说明外一般取N=6.图1(a)给出了基态的自旋向上粒子的单体关联函数.单体关联函数的绝对值可以理解为在两个位置发现同一个粒子的概率.先把一个自旋向上粒子坐标固定在x=0 处,单体关联函数在整个坐标空间出现振荡行为,存在N−2 个零点,源自其他N−2 个自旋向上粒子的泡利不相容作用.粒子间的相互作用不改变振荡行为和零点个数.随着相互作用强度变大,远离x=0 区域的振荡幅度变小,但不会变为零,说明相互作用会在一定程度上抑制发现同一个粒子的概率.图1(b)给出了基态的自旋向上粒子的两体关联函数.两体关联函数可以理解为两个粒子在两个位置同时出现的概率.先把一个自旋向上粒子坐标固定在x=0 处,因为泡利不相容原理,两体关联函数在x=0 处为零,在其他区域出现了振荡行为.关联函数关于x=L/2 对称,在整个坐标空间,无相互作用情况下的峰值个数为N−2,等于其余自旋向上粒子数.随着相互作用强度变得非常大,峰值个数会增加一个,变为N−1个,说明自旋向下的粒子一定程度上相当于一个自旋向上的粒子.图1(c)给出了基态的动量分布.因为系统满足平移不变性,动量只能取离散值2π/L的整数倍.当相互作用强度为零时,动量分布为费米海分布,即粒子仅占满绝对值小于等于费米动量 (pF=2π(N/2−1)/L)的动量轨道;当相互作用强度变大时,动量绝对值小于等于费米动量的轨道占据概率变低,而高于费米动量的轨道占据概率变大,即粒子以一定的概率从费米海内被激发到费米海外,但总体上还是保持动量绝对值越大,占据概率越小的性质,这和文献[41]采用变分方法得到的结果一致.

图1 系统基态的自旋向上粒子的(a)单体关联函数、(b)两体关联函数和(c)动量分布.粒子数和相互作用强度分别取值为N=6,c=0,10,100,1000.图(c)动量取离散的值,短虚线只是为了视觉效果Fig.1.(a) Single-body correlation function,(b) two-body correlation function,and (c) momentum distribution of spin-up particle for the ground state with interaction strength c=0,10,100,1000 and particle number N=6.The momenta in panel (c) are discrete and the dashed-line is for visual effect.

4 淬火动力学的计算方法

系统的初态设为无相互作用情况下的基态,其波函数为

其中每个粒子自旋向下的权重相同.本文仅讨论粒子数为偶数的情况.无相互作用系统的一次量子化波函数由N−1 个极化费米子系统的斯莱特行列式和单个自旋向下粒子的平面波函数相乘得到.当系统处于基态时,自旋向下粒子的波矢为零,因此其波函数为1,同时自旋向上粒子的波矢为qj=(j−N/2)2π/L,其中j=1,2,···,N−1.例如,第1 个粒子自旋向下的一次量子化波函数是

其中求和号是对N−1个波矢qj全排列的求和.其他粒子自旋向下的系统波函数可通过粒子交换反对称性得到.

当系统的初态设为无相互作用情况下的基态后,在t=0 时刻将相互作用强度瞬间调到正值c,然后研究动量分布和关联函数的含时演化.根据含时薛定谔方程,含时波函数可以用含时演化算符作用在初态上得到:

其中本征态 |ψv〉满足本征方程,Ev是能量本征值,v是本征态指标,代表量子数n1,n2,···,nN和nλ.交叠积分Cv=〈ψv|ψtot(0)〉的模方表示波函数在该本征态上的占据概率,满足条件=1.本征态可以写为

同时

将一次量子化波函数(3)式和(28)式代入到上式中,并利用动量守恒,积分并化简可得连乘形式的交叠积分:

其中,{kj} 是波函数ψ↓1(x1,x2,···,xN;v) 中的波矢,det() 表示矩阵的行列式.MC是一个N×N的矩 阵,当i=1,2,···,N,j=1,···,N−1 时,矩阵元为,剩余的第N列矩阵元全是1.

在长时间演化后的期望值平均值与振荡交叉项无关,可表示为本征态期望值乘以对应的概率然后求和的形式:

具体地,自旋向上粒子的单体关联函数和两体关联函数,以及不同自旋粒子间的两体关联函数可表示为

利用场算符的反对易关系式和波函数的粒子交换反对称性,可得不同本征态之间关联函数的积分形式:

将一次量子化波函数(3)式代入上面的积分中,进行积分计算并化简可得不同本征态之间关联函数的求和形式:

其中km和分别是态 |ψv〉和的波矢,F2(k,k′,z)=F1(k,k′,z)exp[i(k−k′)L/2],

θ(x)是阶跃函数.这里定义 (N+1)×N的M矩阵,其前N行矩阵元为,最后一行的矩阵元为MN+1,j=是一个(N−1)×(N−1) 的方矩阵,是M矩阵去掉第m和l行以及第s列后剩余的矩阵元按照原来的位置组成的矩阵.是一个(N−2)×(N−2) 的方矩阵,是M矩阵去掉第m1,m2和m3行以及第s1和s2列后剩余的矩阵元按照原来的位置组成的矩阵.

接下来讨论数值计算.系统的激发态取值范围遵循以下两个原则: 第一,因为动量守恒,这里只选取动量为零的本征态,即,进而量子数满足; 第二,取 |Cv|2比较大的本征值,忽略 |Cv|2比较小的本征态,一般情况下,选取的激发态量子数与基态的量子数重复的比较多,且能量本征值比较小.在本文的数值计算中,粒子数取N=6,忽略 |Cv|2＜10−5的占据态,相互作用强度c=10,100,1000 对应的占据概率和分别取到99.9%,99.87%和98.69%.

5 淬火动力学结果和讨论

首先讨论初态在本征态上的占据概率 |Cv|2.对于任何相互作用强度,基态(GS)的占据概率都是最大的,在激发态中占据概率最大的态是双重简并态(DDS),对应的量子数分别为nj={−(N+1)/2,−(N−3)/2,−(N−5)/2,···,(N−1)/2},nλ=1和nj={−(N−1)/2,−(N−3)/2,···,(N−3)/2,(N+1)/2},nλ=−1,即nj最大的基态量子数加1,同时nλ减1,或者nj最小的基态量子数减1,同时nλ加1.由图2(a)可知,随着相互作用强度从零变到非常大,基态的占据概率从1 下降到一个固定的值,双重简并态的占据概率从零上升到一个固定的值,基态和双重简并态的占据概率和从1 下降到一个固定的值,说明相互作用导致粒子从基态以一定的概率转移到激发态.在相互作用非常大的情况下,以粒子数N=6 为例,基态的占据概率超过50%,基态和双重简并态的占据概率和超过60%,其余激发态的占据概率不会超过40%,说明系统主要由这两种态主导,其余激发态只是起次要作用,因此系统振荡的主周期由基态和双重简并态的能级差决定.另外,在相同的无量纲化相互作用强度下,粒子数越多,基态的占据概率越小,双重简并态的占据概率越大,它们的和越小.

图2 (a)系统基态和最主要的两重简并激发态在初态上的各自占据概率和它们的和.GS (实线)代表基态,ES (点虚线)代表激发态中占据概率最大的两重简并态,GS+ES (短虚线)代表基态和上述两重简并态的占据概率之和.(b)物理量振荡的主周期随无量纲相互作用强度的变化.T0 是无相互作用时的主周期.(c)不同相互作用强度下随时间演化的保真度.粒子数为N=6Fig.2.(a) The respective occupation probabilities of the ground state and the most dominant degenerate excited state of the sys tem on the initial state and their sum.GS (solid lines) represents the ground state,ES (dotted lines) represents the double degenerate state that occupies the highest probability of the excited state,GS+ES (short dashed lines) represents the sum of the occupation probabilities of the ground state and the above double degenerate states.(b) The primary period of the oscillation of the physical quantity v.s.the strength of the dimensionless interaction.T0 is the primary period in the absence of interaction.(c) Fidelity v.s.time for different interaction strength.The particle number is taken as N=6.

系统振荡的主周期T定义为T=2π/(EDDS−EGS),其中EGS和EDDS分别是基态和两重简并态的能量本征值.由图2(b)可知,随着相互作用强度从零变到非常大,当粒子数N≤6 时,主周期单调变大,最后达到稳定值,当粒子数N≥8 时,主周期先变大到达一个峰值,然后变小趋向于稳定值.主周期的变化范围随着粒子数变大而变小,例如:粒子数N=4,6,8,10 的相对变化范围分别不超过7%,3%,2%,1.5%,因此,当粒子数比较大时,主周期的变化范围非常小.

系统的保真度定义为

它表示含时波函数在初态的投影概率.如图2(c)所示,在t=0 时,保真度为1; 在t＞0 时,保真度偏离1,呈现了一定的振荡行为.具体地说,当相互作用强度比较小时,例如c=1,保真度接近于1;随着相互作用强度变大,例如c=10,保真度明显小于1,显现了明显的周期性振荡,且振荡幅度比较小; 当相互作用强度变为100 时,保真度更加远离1,周期性变差,且振荡幅度明显变大; 当相互作用强度为1000 时,保真度更加远离1,平均值只有0.3 左右,但是在某些时刻还能达到比较高的值,例如在主周期的三倍时,保真度达到了0.8,超过了c=100 对应的值.另外,保真度的平均值随着相互作用强度的变大而变小.

图3 给出了相互作用强度c=100 时含时演化的动量分布.在开始阶段(0＜t＜0.03T),对于小动量情形,即动量绝对值小于或等于费米动量(2π(N/2−1)/L),动量分布值从L/(2π) 开始下降,而对于大动量情形,即动量绝对值大于费米动量,动量分布值从零以相同的速率开始上升.在接下来的阶段,对于小动量情形,动量越大,动量分布值下降的速率越快,但是越慢达到局域最小值,例如:动量为4π/L的动量分布值(图3(a)蓝色线条)最慢到达局域最小值; 对于大动量情形,动量越小,动量分布值上升的速率越快,但是越慢达到局域最大值,例如:动量为6π/L的动量分布值(图3(a)黑色线条)最慢到达局域最大值.在最后阶段,动量分布开始了多频率调制的振荡过程.越靠近费米动量,动量分布振荡范围越大,动量分布的平均值越靠近中间值L/(4π).对于小动量部分,动量分布平均值小于基态相应的值(图3(b)纵轴上的圆圈);对于大动量部分,动量分布平均值大于基态相应的值.零时刻的波函数由本征态叠加组成,其中基态占据的概率(|Cv|2≈0.68)最大,其余的概率由众多激发态贡献.因为众多激发态的占据,导致动量分布平均值与基态值的差别.

相互作用强度比较小和非常大的情况下动量分布含时演化有所不同,如图4(a)和图4(b)所示.当相互作用强度比较小的时候,动量分布振荡范围小,且显现了非常好的周期性,可用二能级模型近似处理.例如,图4(a)中代表p=6π/L的黑线和对应的虚线符合得比较好,代表p=4π/L的蓝线和对应的虚线除了差一个固定的常数外,振荡的周期和幅度也非常接近.二能级模型的两个能级分别为系统的基态和双重简并态.对于粒子数N=6 和相互作用强度c=10 的情况,基态和双重简并态的占据概率分别为97.8%和1.2%,两个能级的总概率为99%,其余的态仅占1%的概率,所以二能级模型在该情况下是比较好的近似模型.动量分布的振荡周期为T=2π/(EDDS−EGS).当相互作用强度非常大的时候,如图4(b)所示,动量分布的振荡幅度很大,振荡的周期性变差,但是还能明显看到以周期T为主.这是因为基态和双重简并态还是占据主要的概率,分别为53.1%和12.7%.值得一提的是,在第三个周期的末端,动量分布非常靠近初态的情况,这与c=100 的情形(图3(b))有所不同.

图 3 相互作用强度 c=100 的动量分布含时演化 (a)横轴和纵轴取对数坐标;(b)取正常坐标.虚线是动量分布对时间的平均值.图(b)纵轴上的圆圈是 c=100 时基态的动量分布值Fig.3.The evolution of momentum distribution with interaction strength c=100.Both axis of (a) is taken logarithm.The axis of(b) is normal.The dotted lines is the average of momentum distribution with respective to time.The circles on Y-axis of panel (b)is momentum distribution of the ground state with c=100.

图4 (a)c=10 和(b)c=1000 动量分布的含时演化.图(a)中的虚线是二能级模型近似的结果Fig.4.Evolution of momentum distribution with (a) c=10 and (b)c=1000 .The dotted lines in panel (a) is the result from two-level model.

接下来讨论强相互作用下的关联函数.由图5可知,自旋向上粒子的单体和多体关联函数与初态对应关联函数的差都随着时间周期变化.主周期还是由基态和双重简并态的能级差引起.它们在坐标空间上也表现出一定的规律性.单体关联函数的差在坐标空间上出现了正负交替的规律,而两体关联函数的差在坐标空间上表现出在接近两端区域以正值为主,在中间区域以负值为主.另外,单体关联函数表现出一个比较明显的固定传播速度,如图5(a)中黑色点线所示,其大小等于一个动量单位所对应的速度,即2π/(mL)=4π/L.在粒子数为6 的情况下,费米速度是该速度的2.5 倍.在该速度下,粒子从最左边x=0运动到最右边x=L所用的时间正好是时间主周期的3 倍,是关联函数除了t=0 附近外最接近初态的时间(如图5(a)红色虚线位置),也是保真度除了t=0 附近外取最大值的时间.

图5 自旋向上粒子的(a)单体关联函数和(b)两体关联函数分别与初态对应关联函数的差随时空的变化.(a)中黑色点线表示粒子以一个比较明显的固定速度的运动轨迹,红色虚线表示时间主周期3 倍的位置.相互作用强度为c=1000Fig.5.Temporal and spatial evolution of (a) single-body correlation function and (b) two-body correlation function minus the corresponding function of initial state between spin-up particles.The black dotted-line in panel (a) is trajectory of the particle moving at relative obvious velocity and red dashed-line is triple position of primary temporal period.The interaction strength is taken as c=1000.

关联函数和动量分布到达最大恢复值所用的时间 3T可用本征值能级差解释.当相互作用强度取向正无穷且总动量为零时,大部分能量本征值之间的差是 2×(2π/L)2的整数倍,例如占据概率最大的7 个激发态与基态的能量差分别是 2×(2π/L)2的3,3,6,14,10,10,24 倍,因此能量单位 2×(2π/L)2对应的周期 3T是大部分能级差对应周期的整数倍,(34)式中的e 指数项在该时间变为1,和零时刻相同,所以关联函数和动量分布等在 3T时最接近初态.在非强相互作用情况下,不存在该性质.无论粒子数多少,能量单位 2×(2π/L)2对应的周期为L2/(4π),补齐约化普朗克常数和粒子质量后,周期为mL2/(2πℏ).当粒子数为N=4时,最接近初态的时间为主周期的4 倍; 当偶数粒子数N≥6 时,最接近初态的时间为主周期的N/2倍.

图6 给出了c=1000 时不同自旋粒子间的两体关联函数.在t=0时刻,相互作用强度c=0 对应的任意位置两体关联函数为常数N−1.当时间变为大于零时,不同自旋粒子的强排斥作用导致x=0的关联函数快速接近于零,同时离x=0 不远处形成一个峰,随着时间变大,峰向远离x=0方向传播,并产生一系列小峰,例如t=0.0064T.当时间t=0.2T时,两体关联函数不存在明显的大峰,而是由一系列小峰组成,整体分布比较靠近基态,但是峰的数量明显比基态多.当时间t=0.5T时,两体关联函数在x=0.5L附近的值最大,这是由于波的传播累积以及与对向的波叠加的结果.在时间t=T时,两体关联函数围绕常数N−1 上下波动,与初态存在很大的不同,而在时间3T附近,两体关联函数在中间区域非常接近N−1,最接近初态.

图6 三个主周期内不同自旋粒子间的两体关联函数.相互作用强度为c=1000Fig.6.Two-body correlation function between spin-up and spin-down particles in three times primary periods.The interaction strength is taken as c=1000.

6 结论

采用Bethe ansatz 方法研究了排斥相互作用下单自旋翻转费米气体的基态性质和相互作用淬火动力学.对于任意排斥相互作用下基态,自旋向上粒子的单体关联函数、两体关联函数和动量分布可以写成由简单函数有限项求和的简洁表达式,可用数值计算快速准确求出.在淬火动力学的计算方法中,不同本征态之间关联函数的积分形式被化简成求和形式,便于数值计算.费米气体的淬火动力学性质总体上和玻色子的淬火动力学类似.当相互作用强度从零迅速调到正值后,保真度、动量分布、关联函数表现出了周期振荡.由于基态和双重简并态占据概率最大,因此振荡主周期由基态和双重简并态的能级差决定,在粒子数较大的情况下随相互作用的变化而变化的范围很小.在相互作用强度比较小的淬火动力学中,系统可以用二能级模型近似,各物理量的振荡周期性好,振幅小; 在相互作用强度非常大的情况下,振荡幅度大,虽然周期性变差,但是还是存在主周期,总体偏离初态较大,但是在时间为mL2/(2πℏ) 时非常接近初态,这是因为大部分能量本征值之间的差值几乎是单位能量2×(2π/L)2的整数倍.

感谢中国科学院精密测量科学与技术创新研究院管习文研究员的讨论.

附录A 自旋向上粒子单体关联函数的简洁表示式推导

自旋向上粒子的单体关联函数的积分形式为

将波函数的表达式

代入单体关联函数(A1)可得

上式连乘中对xj的积分项可以积分得到

将(A4)式代入关联函数(A3),可得

其中函数F1和矩阵M分别定义为

行列式 det(M) 按照第二行展开得

根据存在两行完全相同的矩阵对应的行列式为零,可得上式中第一项为零,所以

其中