■谢 吉

一、三角函数的求值

例1 已知α,β∈[0,π),,求cosβ的值。

分析:利用万能公式求出cosα与sinα的值,再求cosβ的值。

二、三角恒等式的证明

分析:根据等式两边的特征,利用万能公式加以代换,通过整理变形即可获证。

证明:直接代入万能公式化简即可。

故原式成立。

三、最值问题的应用

利用万能公式,引入参数,结合方程思想,通过合理转化,可巧妙求得最值问题。

分析:利用万能公式,引入参数,再对参数进行分析,从而求得最值。

解:若x=kπ(k∈Z),则y=0。

解答本题的关键是利用万能公式,把已知函数转化为一个含参数的“有理式”,再根据方程有解求得函数的最值。

四、方程根的应用

利用万能公式,结合方程根的应用,通过建立关系式,达到证明和求解的目的。

例4 若α,β是方程acosx+bsinx=c(a2+b2≠0)在区间(0,π)内的两个相异的根,求证:

分析:根据题设条件求出的值,再求出sin(α+β)的值,即可达到证明的目的。

解答本题的关键是挖掘条件中的信息,沟通条件与结论的联系,通过方程根的转化,结合万能公式,得到要证明的结果。

变形练习4:设α,β是方程2tan2x+的 根,求tan2α+tan2β的值。

提示:由题设结合万能公式得tan2x+4tanx-1=0。结合韦达定理得tan2α+tan2β=(tanα+tanβ)2-2tanαtanβ=18。