波导吸振器的低频减振设计和应用1)

2023-12-16赵晓宇吴卫国林永水

力学学报 2023年11期

赵晓宇吴卫国林永水 ,2)

* (武汉理工大学理学院工程结构与力学系,武汉 430070)

† (武汉理工大学绿色智能江海直达船舶与邮轮游艇研究中心,武汉 430063)

引言

板壳结构是汽车、飞机和船舶等运输工具最常用结构形式之一,其振动与结构的安全性、疲劳寿命和环境舒适性等直接相关,板壳结构的减振研究具有重要价值.常见的被动减振技术有敷设阻尼层[1-3]、质量-阻尼振子[4-5]等,其中阻尼层存在低频减振不明显、附加质量大的问题,而阻尼振子则减振带隙较窄.声学黑洞(acoustic black hole,ABH)是近年受到广泛关注的减振结构之一,具有宽频减振的特性,其厚度表达式为

式中,x为ABH 尖端长度方向坐标,ε 为ABH 的厚度系数,m为大于2 的指数.因无法制造尖端厚度为零的ABH,尖端在x0处截断,hg(x0) 为截断厚度.

因尖端截断厚度不为0,ABH 尖端反射系数显著增大,Krylov[6]提出在其尖端附近黏贴阻尼材料吸收弯曲波,如图1(a)所示.之后的学者对此构型的一维ABH 的力学特性[7-11]和设计优化[12-16]进行了探索.该ABH 的弯曲波吸收效率受黏贴阻尼材料的吸收段长度影响,但幂函数导致尖端厚度随长度的增加急剧减小,延伸长度与尖端厚度之间的矛盾导致以往研究中的ABH 有效减振频率高达数千赫兹,低频弯曲波吸收效果欠佳.Morvan 等[17]和Guillaume 等[18]设计的ABH 具有更低的截止频率,在400 Hz 以上频率反射系数小于0.3,但其尖端厚度仅为89 μm,过薄的尖端对材料强度和加工工艺提出了更高的要求.为解决ABH 尖端过薄的问题,Tang 等[19]提出了一种经过修正的幂律ABH厚度函数,如图1(b)所示,在幂函数的基础上叠加了一个具有恒定截断厚度的延伸平台,结果表明该ABH 在低频范围内的弯曲波吸收效果有所提高.

图1 3 种ABH 示意图,浅色部分为钢,深色部分为阻尼材料Fig.1 Three types of ABH schematics,with light colored parts made of steel and dark colored parts made of damping material

在A B H 的应用方面,多数研究基于二维ABH 进行[20-22].二维ABH 通常直接基于板壳结构本身进行加工,一旦成型便难以调整,相对而言,一维ABH 具有易安装、可依据现实需求灵活调整的优点.Kim 等[23]和何璞[24]均将一维ABH 设计成为可安装的振子.Zhou 等[25]设计了一种ABH 谐振梁阻尼器(ABH-RBD),该设计结合了动态减振器和波导减振器的原理,是一个连接到主体结构上的附加装置,由于ABH 效应的鲁棒性,该装置具有不需要繁琐的参数调整的优点.

以上研究表明,将一维ABH 设计成为可简易安装的振子结构是合理的选择.但增强ABH 的延伸尖端导致其在安装上存在一定的困难.Lee 等[26]提出了一种沿阿基米德螺旋线缠绕的螺旋ABH,对于在有限空间中安装较长的ABH 尖端提供了可行的方案,阿基米德螺旋线半径为

式中,r0为初始半径,∆r为半径变化率,θ 为螺旋角度.Park 等[27]进一步研究了螺旋ABH 的螺旋线曲率对于反射系数的影响,结果表明螺旋线曲率对于ABH 的截止频率影响很小,但该研究中ABH 的截止频率较高.之后,Park 等[28]又提出一种基于螺旋ABH 的铝制波导吸振器(waveguide absorber,WGA),如图1(c)所示,并以平板均迁移率最小化为目标,优化其在简支均匀板上的安装位置和方向,结果表明WGA 可以在500 Hz 以内有效降低共振峰,但该研究未对WGA 的设计方法进行系统地探讨.

WGA 作为一种具有易加工安装、宽频减振性能优良等优点的声学黑洞新构型,其设计方法、耗能机理和减振应用效果有待进一步研究.研究基于几何声学和欧拉-伯努利复合梁理论,构建了WGA材料参数和几何参数选取的理论模型,给出了材料参数和几何参数的选取方法和原则.数值仿真分析了截止频率的影响因素,探究了WGA 的能量耗散机理.最后开展实验验证了WGA 在加筋板减振应用中的效果,以期为WGA 的设计及其在工程结构减振中的应用提供指导.

1 WGA 设计方法

1.1 增强ABH 构型理论基础

增强ABH[19]的厚度表达式为

式中,ht为附加厚度,如图2 所示.

图2 增强ABH 几何参数Fig.2 Enhanced ABH geometric parameter

弯曲波的无反射条件[29]为

梁中弯曲波的波数为

式中,ρs为ABH 尖端基材的密度,ω 为角频率,Es为ABH 尖端基材的弹性模量,hs=hs(x) 为ABH 尖端基材厚度.将式(5)代入式(4)可得

当 0 ≤x≤Lm且ht>0 时

将式(7)和式(8)代入式(6)可得

式(9)表明,具有附加均匀厚度的增强ABH 比经典ABH 更易满足弯曲波无反射条件.

1.2 材料参数设计

Krylov 从几何声学角度给出了ABH 的反射系数计算理论[6]

式中 Imk为弯曲波的波数虚部.该式表明,要获得更低的反射系数,需增大积分长度 [x0,x1] 和被积量Imk的大小.其中积分长度为黏贴有阻尼材料的ABH 尖端延伸长度,可通过几何参数进行调控;波数虚部则可通过阻尼材料的损耗因子、弹性模量和厚度进行调控.

对于黏贴有阻尼层的复合梁,其弯曲波波数为

式中,ρc为复合梁的线密度,Bc为复合梁的抗弯刚度,b为复合梁宽度,ρs为基材密度,ρd为阻尼材料密度,hd为阻尼材料厚度.为在较大范围内考虑阻尼材料弹性模量与损耗因子对 Imkc的影响,基于欧拉-伯努利梁理论,推导出带有阻尼损耗因子的复合梁的抗弯刚度

式中,α=Ed/Es是阻尼材料和基材的弹性模量比,ηs和ηd分别是基材和阻尼材料的阻尼损耗因子,H=hd/hs为阻尼材料与基材的厚度比.

式中

其中,atan2为四象限的反正切函数,β=ρd/ρs为阻尼材料和基材的密度比.以上研究构建了材料参数选取的理论模型,依据其可探讨阻尼损耗因子和弹性模量比等材料参数对波数虚部的影响规律,从而确定其选取的原则.依据以上理论对 γ 的影响因素进行研究,涉及到的WGA 的材料参数如表1 所示.

表1 WGA 的材料参数Table 1 WGA material parameters

研究分析了多个不同厚度比H时,损耗因子ηd对于 γ 的影响规律,其趋势基本一致.H=5 的计算结果如图3 所示,γ 随 α 的增大先增大后减小,同厚度比下,γ 极大值对应的 α 不随 ηd变化.相同 α 下γ随 ηd的增加而近似线性地增加.弹性模量比 α 存在一个临界值,当 α 小于临界值,WGA 的抗弯刚度不随Ed变化而显著变化,振动由基材主导,但Ed增大显著提高弯曲导致的应变能耗,导致波数虚部增大.当 α 超过临界值,Ed的增大提高了梁的抗弯刚度,导致波数虚部降低.

图3 不同 ηd 下 γ 与 α 的关系(H=5)Fig.3 The relationship between γ and α under different ηd (H=5)

研究分析了多个不同 ηd时,厚度比H对于 γ 的影响规律,其趋势基本一致.ηd=0.2 的计算结果如图4 所示,随着H的增加,γ 的极大值逐渐增大,且γ极大值对应的 α 逐渐减小.多数阻尼材料通常满足α ≤1.0×10-3,当H>2 后,增加阻尼材料厚度对于γ的提升尤为显著,此时增大H以提高弯曲波吸收效率具有更高的性价比,故 21.0×10-3)所需的最佳厚度较小,过厚的阻尼材料反而可能导致波数虚部降低.

图4 不同 H 下 γ 与 α 的关系(ηd=0.2)Fig.4 The relationship between γ and α under differentH(ηd=0.2)

以上研究表明,为保证以较短的尖端延伸长度实现弯曲波的吸收,首先应选用阻尼损耗因子尽可能大的阻尼材料,建议损耗因子不小于0.4.阻尼材料厚度的选取应依据弹性模量比来确定,低弹性模量的阻尼材料其厚度比宜取较大值,而高弹性模量的阻尼材料其厚度比取较小值.

1.3 几何参数设计

在以往的研究中,ABH 的反射系数受到变厚度段厚度梯度相关的截止频率[30](以下称之为梯度截止频率)的影响.而最近的研究表明,螺旋ABH 还受到螺旋线曲率相关的截止频率[31](以下称之为曲率截止频率)的影响.当螺旋ABH 振动时,高于梯度截止频率的弯曲波可在ABH 尖端内低反射地传导,而高于曲率截止频率的弯曲波可在曲梁内传导.因此,当振动频率低于任一截止频率时,螺旋ABH 反射系数将接近于1,要获得良好的弯曲波吸收效率,需确保两截止频率同时低于激励频率.

(1) 曲率截止频率

对于螺旋的增强ABH,由于无法以解析解的形式给出曲率频率,因此采用数值模拟的方式进行研究,数值仿真模型参数如表2 所示,阻尼材料弹性模量和损耗因子分别为200 MPa 和0.8.

表2 WGA 几何参数Table 2 WGA geometric parameters

按照Denis 等[32]的方法计算反射系数,结果如图5 所示,横坐标为与ABH 相连的直均匀梁的弯曲波波长 λb,纵坐标为螺旋线的最大半径r0.云图可大致划分为左上与右下两部分,其中右下部分满足r0≤λb/12,在该区域内反射系数接近于1,以上现象与Lee 等的结论[31]一致:曲率截止频率对应的波长(或波数)与螺旋线半径(或曲率)近似为线性关系.设计WGA 时,应使r0≥λb/12 确保其曲率截止频率低于目标减振频率,进一步增大r0对于降低WGA的反射系数的作用较为有限.

图5 不同螺旋半径下的反射系数Fig.5 Reflection coefficient under different spiral radii

图6 不同长度下的反射系数Fig.6 Reflection coefficient under different

(2) 梯度截止频率

经典ABH 的梯度截止频率为[30]

将本研究中ABH 的几何参数(表2)代入上式可得梯度截止频率为23.3 Hz,由式(9)所描述的增强ABH 更易满足低反射条件,实际梯度截止频率低于上式的计算值.虽然上式无法给出准确的梯度截止频率,但仍具有一定的指导意义,即降低基材弹性模量与密度的比值可降低WGA 的梯度截止频率,然而调控基材的材料参数可能会导致WGA 与被减振结构间的阻抗不匹配,进而导致减振效果降低,相比之下调整几何参数 ε,Lm和ht是更合理的方式.

为更准确地研究增强ABH 的梯度截止频率,依据式(4)综合考虑各几何参数对于反射系数的影响,在Lm内差分计算式(4)的倒数

式中,λb是厚度为hb的均匀梁的弯曲波波长,λt是厚度为ht的延伸尖端的弯曲波波长.使用直ABH 模型计算反射系数从而排除曲率的影响,其余几何参数如表2 所示.

2 仿真和实验模型

2.1 WGA 模型

基于研究提出的设计方法,基材选用钢,阻尼材料选用沥青阻尼设计WGA,材料参数见表1,并测得阻尼材料的弹性模量和损耗因子分别为225 MPa和0.857,依据阻尼材料参数确定WGA 几何参数如表2 所示,设计加工WGA 样品并开展反射系数测量实验与加筋板减振实验.图7 所示的用于加筋板减振实验的WGA 与长度60 mm 的直梁相连,用于反射系数测量实验的WGA 则与长度为240 mm 的直梁相连.

图7 WGA 实验模型Fig.7 WGA experiment model

2.2 加筋板模型

加筋板实验模型如图8 所示,材料为钢,四边固支.钢板对称轴处焊接有横向和纵向两条“L”形加强筋,加筋板总质量为57 kg.施加10～1000 Hz 的扫频激励,扫频速率为2 Hz/s 测量加筋板振动响应,实验仪器及其型号如表3 所示,激振器与加速度传感器安装在未焊接加强筋的一面,测点、激励点以及WGA 的安装坐标如图9(a)所示.

表3 实验设备型号Table 3 Model of experimental equipment

图8 加筋板尺寸标注Fig.8 Dimensions of stiffened plates

图9 加速度测点布置和WGA 布置图Fig.9 Schematic diagram of acceleration measurement point arrangement and WGA arrangement

共设计了10 组实验.其中1 组未安装任何元件作为参考;另外9 组分别为安装1,2,4 个元件(阻尼层、质量块或WGA)的实验组.安装数量为1 时,安装位置为图9(b)的右下角板格;当安装数量为2 时,安装位置为右侧两个板格.所有元件的单件质量均为0.76 kg.使用α-氰基丙烯酸乙酯胶水将WGA 或质量块黏接于加筋板焊接有加强筋的一面,质量块和WGA 与加筋板的黏接面面积相同,安装位置也相同.阻尼层型号为TD09,厚度为2.2 mm,长和宽均为0.46 m,弹性模量和损耗因子分别是271 MPa和0.188.加工的加筋板实验模型如图10 所示,WGA和阻尼层布置分别如图10 (c)和图10 (d)所示.

图10 加筋板和固支框架照片Fig.10 Photos of stiffened plates and fixed frames

3 结果与讨论

3.1 WGA 反射系数分析

反射系数测量实验如图11 所示,激振器连接于直梁右侧距端面10 mm 处,两加速度传感器分别固定于直梁上距端面110 mm 和130 mm 处.扫频激励并测得两点加速度后计算反射系数.

图11 WGA 反射系数测量实验照片Fig.11 Photo of WGA reflection coefficient measurement experiment

反射系数测量结果如图12 所示,蓝色实线为尖端厚度为1.0 mm 的WGA,其曲率截止频率约为130 Hz.在低于曲率截止频率时反射系数接近1.0,而在高于曲率截止频率时反射系数迅速降低至0.4 以下,在255 Hz 第1 次到达最低点0.12,之后轻微上升并在778 Hz 出现极大值0.31.图中实验与仿真结果基本吻合,说明数值仿真方法准确.

图12 ABH 反射系数对比Fig.12 ABH reflection coefficient comparison

将结果与Morvan 等[17]和Guillaume 等[18]的研究对比,其研究中的ABH 尖端厚度为89 μm,本研究设计的WGA 在尖端厚度增大一个数量级的条件下,表现出更低的截止频率,并在截止频率以上的频段内保持较低的反射系数.相对于Park 等[28]研究中构建的尖端厚度为0.5 mm 的WGA,本研究通过合理的阻尼参数和几何参数调控设计,在尖端厚度为其两倍的条件下,在141 Hz 以上频段获得了显著更低的反射系数,验证了设计方法的可靠性.

3.2 WGA 能量耗散机理分析

(1) 时域分析

在图13 所示WGA 右端面施加幅值为0.1 mm的Ricker 子波脉冲激励.脉冲从Ls=0.0 m 处发出,并在Ls=0.24 m 处进入WGA 的变厚度段,在Ls=1.36 m 处到达WGA 尖端.

图13 WGA 数值仿真几何模型图Fig.13 Geometric model diagram of WGA numerical simulation

计算对比了200,500 和1000 Hz 主频的脉冲响应结果,三者波长不同,但传导和耗散规律基本一致.以500 Hz 主频脉冲为例,黏贴有阻尼材料和未黏贴阻尼材料的两种WGA 脉冲位移响应如图14 所示.0.0～3.91 ms,弯曲波在0.00 m≤Ls<0.58 m 的未黏贴阻尼材料段内传导,幅值逐渐增大,波长和波速减小.3.91 ms 后,脉冲在未黏贴阻尼材料的WGA(图14(a))中反复反射,能量无法被吸收,而在黏贴有阻尼材料的WGA (图14(b))中弯曲波幅值快速下降至接近于0,无明显反射.

图14 Ricker 子波脉冲的传播和衰减Fig.14 Propagation and attenuation of Ricker wavelet pulses

(2) 频域分析

计算模型如图13 所示,施加1 N 的简谐力,在10～1000 Hz 内对WGA 的能量耗散进行数值仿真,总功耗计算结果如图15 所示,在曲率截止频率以下的频率,功耗曲线出现4 个明显的吸收峰,对应频率分别为17,20,41 和50 Hz.当频率大于曲率截止频率时,阻尼材料的热耗散总功率始终保持在较大值,表明阻尼材料在宽频范围内实现了弯曲波的吸收.

图15 WGA 总功耗曲线Fig.15 WGA total power consumption curve

频率为17 Hz 和41 Hz 的振型如图16(a)图16(c)所示,螺旋部分位移矢量与其所在螺旋线相切,WGA的转动惯量与其作为螺旋状弹簧的抗扭刚度耦合,形成了近似旋转的单自由度的弹簧-质量共振系统.频率为20 Hz 和50 Hz 的振型如图16(b) 和图16(d)所示,螺旋部分的位移矢量基本平行且方向一致,表明WGA 的内部作为一个整体,与外部形成近似平动的单自由度的弹簧-质量共振系统.以上现象表明,在低于曲率截止频率时,WGA 依靠共振实现能量耗散.当频率大于曲率截止频率,以图16(e)和图16(f)的振型为例,螺旋部分的位移矢量与螺旋线垂直,且周期性地指向螺旋线内部或外部,表明WGA 的螺旋结构发生弯曲变形,弯曲波在WGA 内传导和汇聚.

图16 能量耗散峰值对应频率的振动变形模式图Fig.16 Vibration deformation mode diagram of corresponding frequency of energy dissipation peak

3.3 加筋板减振实验结果分析

所有测点的加速度导纳结果规律一致,选取测点P3 的加速度导纳谱细节如图17 所示,将其中各元件对加筋板的主要影响结果统计于表4 和表5 中.

表4 共振峰加速度导纳(dB)Table 4 Acceleration admittance of formant (dB)

表5 共振峰频率偏移量(Hz)Table 5 Formant frequency offset (Hz)

图17 测点P3 的加速度导纳细节Fig.17 Acceleration admittance details of measurement point P3

表4 为测点P3 在未安装任何减振元件的加筋板(stiffened plate,SP),以及安装有质量块(mass block,MB)、阻尼层(damping layer,DL)和WGA 的加筋板在部分共振峰下的振动加速度导纳结果,其中安装WGA 后加筋板的加速度导纳显著低于其余三者,减振效果明显,其中616 Hz 的共振峰加速度导纳降低可达26.2 dB.

表5 为安装各减振元件后的共振峰偏移量,其中安装质量块后加筋板共振频率变化最为明显,而WGA 在显著降低共振峰加速度导纳的同时,被减振结构共振频率变化不超过2.5 Hz,对于结构自身振动特性的影响更小,原因是WGA 基本不改变加筋板的结构刚度,且其大部分质量不直接参与加筋板振动.

WGA 在所有测点均表现出了显著优于阻尼层的减振效果,图18 为测点P1 和测点P3 的加速度导纳谱.安装WGA 后,加筋板受到了明显的阻尼作用,其加速度导纳曲线更加平滑.常规阻尼层的减振效果随频率的升高逐渐提高,而WGA 对于加筋板的几乎所有共振峰均产生了明显的抑制.在较高频段,质量块同样能显著降低共振峰值,原因是其惯性力抑制了加筋板的振动.