罗桢, 王首绪

长沙理工大学交通运输工程学院，长沙 410114

引言

随着我国经济建设实力不断增强，项目群建筑工程逐渐兴起。由于项目群的材料需求量大，材料成本在建设支出中所占比重大[1]，因此备受关注。然而，受限于当前技术与管理水平导致材料供应效率低下，供应成本普遍较高[2]。基于此，优化材料供应降低成本势在必行。

项目群这一概念由英国学者Ferms定义为：项目群是一组需要进行协调管理的项目[3]。而项目群管理则是采用计划、沟通、协调、控制、反馈、纠偏等方式管理和运营这样一组项目来满足组织的需要[4]。美国项目管理协会（PMI）在项目管理知识体系（project management body of knowledge,PMBOK）中将项目群的定义为:“项目群是经过协调管理以便获取单独管理这些项目时无法取得的收益和控制的一组相关联的项目[5]。”研究者们从不同角度用不同方法对项目群材料供应进行了研究和归纳。Engwall等[6]研究发现，对于同时开始建设且连续施工的项目，综合资源配置是最为关键的。陈良威[7]通过对由不同种类的单项目组成的项目群进行系统的研究，提出的方案为项目群不同层面管理者提供了一种有效的集成调度方法。贺争等[8]在工程现场研究高速公路大标段施工材料配送优化问题的基础上，建立了三级配送网络结构下的配送优化模型。Leung等[9]应用一个基于仿真的优化方法来构建了几个实际的单目标和多目标优化问题的求解框架，该框架可以解决单一问题，也可以解决制造业和分销行业的多目标优化问题。这些研究为材料供应管理提供了理论基础，但在数据选取和分析上存在主观性，且对项目群建筑的研究较少。本文从项目群建筑特点出发，建立了联合优化模型，以最小化总成本为目标，提供了降低材料供应成本和规划材料供应路线的参考。

1 模型构建

1.1 问题描述

对于项目群管理下的建筑项目施工材料的供应多由1个材料供应点，多个仓库和多个施工项目点构成。供应点的位置往往确定，材料供应能力也是一定的，施工项目点的个数、各施工项目点位置也是确定的，而各施工项目点的材料消耗量也可以根据实际施工进度估算得到。整个系统中的未知点就是确定仓库的数量和具体位置，以及材料供应线路。因此，目标是通过科学决策仓库的数量和位置，规划供应线路以使得整个供应系统总成本最小。

1.2 假设及参数定义

（1）出于施工实际需要，材料供应点所供材料必须满足各施工项目点的材料需求。假设该材料供应点供应能力足够满足整个项目群施工材料需要。仓库的数量取决于实际需要，由总成本控制，没有数量限制。

（2）由容载量为Q的大型材料运输工具进行材料供应。当材料运输工具在供应路线上行驶时，每次车辆点火都会产生固定成本和运输费用，其中运输费用与材料运输工具行驶距离、材料运量成正比。材料运输工具可以实现对数个施工项目点的材料补给，但任一施工项目点仅对应一辆材料运输工具，并由该材料运输工具负责材料供应；每辆材料运输工具不可以超载。由于实际施工中材料的消耗量大，只派一辆材料运输工具负责供应是不够的，多采取车队方式。为了方便论述，本研究把同一条供应路线上进行物资供应的车队看作是一辆材料运输工具。运输路线不考虑障碍物，为直线运输。每个施工点只能由材料运输工具进行1 次供货且满足施工点材料需求。

（3）由仓库出发起运物资的运输工具，在完成物资供应之后，须回到仓库；运往各施工项目点的材料应当在不影响施工实际进度的情况下到达;各仓库之间不存在材料调拨。不考虑车辆在施工项目点卸货所花时间；假定施工点对施工材料要求符合正态分布[10]，并且各施工点所需要施工材料是相互独立的。参数定义见表1。

表1 参数定义Table 1 Parameter definitions

1.3 数学模型

对于项目群管理下的建筑项目施工材料的供应目标一般是求材料供应系统的总成本的最小值。本文从仓库的建设和管理成本、材料供应点与仓库间的供应成本、仓库与施工项目点间的供应成本、仓库的材料储存成本四个角度进行考虑。

（1）仓库的建设和管理成本。主要指仓库的一次建造成本和仓库的管理运营成本。现通过转化为施工材料供应周期中平均成本来求解。如式（1）所示，表示材料供应周期中的仓库的平均固定成本。

（2）材料供应点与仓库间的供应成本。该成本由材料运输工具的固定启动成本和供应运输成本两部分组成。见式（2） 。

（3）仓库与施工项目点间的供应成本。这部分成本分为材料运输工具的固定启动成本和运输工具的供应成本。见式（3）。

（4）仓库的材料储存成本。仓库的材料储存成本往往由材料的平均库存量来进行确定，在数量上取决于材料平均库存量和材料单位库存持有成本的积，见式（4）。

由此可得项目群管理下的材料供应优化模型的目标函数如式（5）所示，意为整个材料供应系统的总成本最小。其中约束条件及对应含义如表2所示：

表2 约束条件及对应含义Table 2 Constraints and their corresponding meanings

2 算法求解

2.1 染色体设计编码

由于遗传算法不能直接处理问题本身，因此需要通过人为手段将问题参数转化为遗传算法可识别的基因[11]。而基因通过一定顺序排列则构成了染色体[12]。这种转化的过程称之为编码[13]。本文采用双层实数编码的形式对材料供应中心负责的施工点集合以及具体的供应节点顺序进行编码，不同的编码代表供应系统不同的供应方案。第一层表示n个施工点所选择的仓库，这部分编码的长度为n，变量的选择范围为[1m]之间的整数，第i个位置表示第i个施工点，第i个位置上的实数表示第i个施工点所选择的仓库；第二层表示m个仓库所负责的施工点集合的供应优先级，编码长度同样是n，变量的选择范围为[1n]之间的整数。由于编码代表施工点的供应优先级，各个位置的变量之间不能存在重复的值。假设存在6个施工点，3个仓库，编码如表3所示。

表3 染色体编码示例Table 3 Example of the chromosome code

首先根据第一层编码确定各个仓库所负责的施工点，第i个位置上的实数表示第i个施工点所选择的仓库。由此可知：仓库1对应B、C施工点。仓库2对应A、D施工点，仓库3对应E、F施工点。然后根据第二层编码确定各个仓库的材料供应顺序，将对应位置按照优先级从小到大排列得到材料供应路线分别为：仓库1-C-B-仓库1；仓库2-D-A-仓库2；仓库3-F-E-仓库3。

2.2 生成原始种群

种群规模是遗传算法重要控制参数之一，会对遗传算法的性能和精度产生至关重要的影响。当群体过小时，算法在搜索解的空间时就会容易受到局限，容易导致还没有达到成熟就出现过早收敛现象。当群体过大时，虽然有利于维持群体的多样性不致过早收敛，但会在一定程度上提高计算的复杂度和难度。一般群体的规模选择在50~200较为合适[14-18]。为了保证种群的多样性，种群里的个体生成方式采取随机的方式进行，对于第一层编码在取值范围内随机取整数即可，对于第二层编码则生成不重复的随机整数排序。在本案例中，假定种群规模为120。

2.3 计算适应度函数

在遗传算法中普遍使用适应度函数来评价解集的好坏[19]。因为本文求解目标函数值的最小值，并且目标函数的取值范围均为正数，因此不再另外构建适应度函数，直接取目标函数作为适应度函数。

2.4 执行遗传操作

2.4.1 选择选择的方式有轮盘赌选择和锦标赛选择等方式，其中轮盘赌选择比较适合适应度函数变化范围较小的情况，而锦标赛选择并不会使选择后的个体过于集中在最优部分，避免迭代过程过早地收敛[20-22]。因此，本文选择锦标赛选择的策略进行选择，具体过程为：从n个个体中随机选择两个个体，比较两个个体的适应度函数，取适应度函数较优的个体放入选择后的种群中，重复上述过程直至新种群个体数与原种群个体数相同。

2.4.2 交叉由于个体的编码方式是双层实数编码，在交叉的过程中也同样需要对两层编码分别考虑部分匹配交叉的策略。对于第一层编码的交叉，由于第一层编码在取值范围内随机取整数，因此将父代和母代执行部分交叉。具体操作为随机选两个位置将中间的基因执行交叉，这里选择父代和母代的后三处对应的基因进行调换。此外，对于第二层编码的交叉，由于第二层编码表示优先级，优先级不能相同，即不能存在重复的基因，因此需要在进行部分匹配交叉后对子代个体进行修复。具体修复过程：即对未交叉的部分与交叉过来的基因片段重复的部分替换为缺失的部分。修复结果如图1所示。

图1 交叉操作修复图Figure 1 Cross-operated repair diagram

2.4.3 变异与交叉相同，在变异的过程中也同样需要对两层编码分别考虑变异的策略。本文对于第一层编码的变异，采用三种变异策略：首先是单点变异，即随机选择一个位置将该位置上的基因变成取值范围内的随机整数，单点变异结果如图2所示；其次是两点变异，即随机选择两个位置，将这两个位置上的基因交换可得到变异后的个体，两点变异后结果如图3所示；最后是多点翻转变异，即随机选择两个位置，将这两个位置之间的基因翻转后重新放回原来的位置。对于第二层编码，由于有不能有重复基因的限制，本文采取不需要修复的两点变异和多点翻转变异策略。

图2 单点变异Figure 2 Single point variants

图3 两点变异Figure 3 Two-point variants

2.5 变邻域搜索优化

为了加快算法的收敛速度采用变邻域搜索（variable neighborhood search，VNS）的策略[23]。变邻域搜索算法是一种改进型的局部搜索算法，其通过使用不同的邻域结构执行搜索，能够在集中性和疏散性间保持良好平衡[24]。本文在每次迭代的过程中随机选择一定比例的个体进行多邻域变换搜索。具体搜索过程为：从第一种邻域搜索策略开始对个体进行变换，若变换后的个体比原个体更优则替换原个体后继续进行搜索，若连续搜索一定次数后仍没有比原个体更优的结果，则换下一种邻域搜索方式，直至达到搜索次数的限制。具体邻域变换策略如下：

首先是同仓库的施工点顺序部分翻转变换。选择仓库1所负责的施工点A、B、C、D、E和F，然后随机选择对应位置的第二层编码的部分基因翻转。选择施工点C和E的基因翻转变换后结果如图4所示；其次是同仓库的施工点顺序两点互换变换。选择仓库1所负责的施工点B和E，然后随机选择对应位置的第二层编码的两个基因进行互换，选择施工点B和E的基因变换后结果如图5所示；最后是不同仓库的施工点顺序两点互换变换。出于篇幅，此处不再进行举例说明。

图4 同仓库施工点顺序部分翻转变换Figure 4 The sequence of the warehouse construction point

图5 同仓库施工点顺序两点互换Figure 5 Exchange of two points with the warehouse construction points

2.6 算法终止

考虑到本文问题要求，选择设定迭代次数法，终止迭代次数一般为100~500。本文设定迭代次数为150次。本文遗传算法具体流程见图6。

图6 变邻域搜索优化的遗传算法流程Figure 6 The flow of the genetic algorithm optimized by the variable neighborhood search

3 算例分析

3.1 工程概况

湖南建设投资集团X项目部，该项目共计14个施工点，工程总承包负责材料供应服务，有且仅有一个钢材供应点为该项目供应钢材，现需要从7个仓库潜在位置中进行仓库选址以及确定钢材供应时运输工具的行进线路。将钢材供应点的位置作为坐标系的坐标原点，预选仓库的坐标资料情况见表4。

表4 仓库潜在位置坐标数据Table 4 Warehouse potential location coordinate data

表5 施工项目点信息Table 5 Construction project site information

运输工具载钢500 t， 每次开机固定费用为300元，每吨每公里的运输成本为1元。由于钢材运输费用占成本比例大，故选择钢材作为研究对象。钢材入库时的单位存放持有费用1.5元/（t·d）。其中材料供应提前期为一天，钢材库存水平由运输时间和存储水平决定，仓库材料供应周期是7 d。

3.2 计算分析

将遗传算法基础参数设定如下：种群大小120，终止条件迭代150次，交叉概率定为0.8，将变异概率定为0.1。利用matlab软件编程求解，统计30次程序运行结果并按照供应系统总成本最小的原则进行选择，程序运行结果如表6所示。根据程序运行结果可知仓库数量和位置选择，总成本最小的结果为选择2号潜在位置作为仓库地址。其中选择2 号仓库的供应总成本迭代过程如图7 所示。根据供应总成本迭代图7可知，结合变邻域搜索算法优化后的遗传算法求解的供应配送系统总成本最小值在第26次迭代附近收敛。比传统的遗传算法找到最优解的速度更快，效率更高。接下来将表6中最优结果（总成本3307.65元）进行绘图展现，也就是将基于2号仓库的选址进行材料供应的路径规划，可得材料供应路线如图8所示。

图7 供应总成本迭代图Figure 7 An iterative diagram of the total supply cost

图8 材料供应线路图Figure 8 Material supply line diagram

表6 仓库位置选择Table 6 Warehouse location selection

根据图8可知，最优运输路线为：供应点-仓库2-K-B-D-E-C-F-L-I-J-M-A-H-G-N-仓库2。在最优供应方案下，仓库的平均固定成本为2301.37元，供应点到仓库运输成本为306.68元，仓库到施工项目点运输成本为329.85元，库存成本为369.75元，供应系统总成本为3307.65元。现对比分析利用遗传算法获得的材料供应方案和实际施工时使用材料供应方案的费用偏差，以展示本论文在优化供应方案方面所取得的研究成果。该项目实际施工中采用经验分析法和数据统计法对仓库进行选址以及材料供应区域的分配，对材料供应运输路线的选择依赖管理人员的施工经验，在理论性和系统性上存在不足，难以保证材料供应路线是否合理。该项目实际施工中，仓库的选择和配送路径为：仓库1-L-A-C-J-L-F-G-仓库1；仓库6-I-E-BM-H-D-N-仓库6。

将上述施工实际数据带入上文所建立的模型，可以得出在施工实际中的仓库平均固定成本为5945.20元，从仓库到施工点的材料供应费用为619.10元，由材料供应点到仓库的材料供应成本为1207.26元，物资库存成本375.23元，供应系统的总费用是8146.79元。实际施工方案供应系统总成本比本文所给优化方案总成本高出146.3%。由于本研究中比较模型是分析计算的7 d内的建筑项目群材料供应总成本，若该项目的工期为1 a，且施工项目点所需材料消耗量保持不变，则本文所提出优化方案可节约供应成本25.2万元。

4 结语

本文从施工实际中的项目群材料供应问题出发，以项目群中建筑项目物资供给数学模型为基础，采用遗传算法进行求解，在求解时，采用变邻域搜索算法对其优化，达到了遗传算法收敛快的目的，由此求得最优解。通过将仓库数量选择、仓库选址、材料供应路线进行联合优化，在保证材料供应满足项目需求的前提下，进行合理仓库数量和位置选择，优化了材料供应路线，对解决类似的物资供应问题有一定的理论指导意义。