方俊

［摘  要］ 概念教学是数学教学的核心组成部分，也是数学核心素养落实的重要载体.文章以“弧度制（第一课时）”的教学为例，呈现弧度制概念从直观感知到理性构建的生成过程；教学中“以生为本”，积极引导学生思考，带领学生体会数学学习乐趣；同时阐述概念教学中数学核心素养落实的教学策略以及注意事项，为实际教学提供参考.

［关键词］ 课程标准；新教材；核心素养；概念课；弧度制

笔者有幸在本市新教材课堂教学观摩暨研讨活动中执教人教A版必修第一册“弧度制（第一课时）”作为观摩示范课. 这是一节数学概念课. 概念课如何上可以生动有趣，吸引学生注意力的同时还能给学生留下深刻的印象？如何在新课程理念下上好这节概念课？如何把数学核心素养以及新教材的育人理念充分体现出来？这是一个挑战. 笔者认真研读新课标，反复琢磨教材内容，通过学习、交流、讨论，最终完成了本节课的教学设计，由此执教观摩示范课取得了较好的教学效果，并得到了同行的一致认可.

下面笔者结合本节课的前期思考、过程实录（片段）以及课后反思与大家分享交流，不当之处敬请批评指正.

课前思考与推敲

1. 对概念教学的深刻认识与思考

概念教学是数学教学的核心组成部分，一个新概念、新事物的引入，通常都有它的必要性，也是后续知识展开学习的重要铺垫. “如果先不教明概念，便是教得不好的.”夸美纽斯在《大教学论》中的话充分说明了概念教学的重要性.

由于应试教育的影响，概念教学长期未得到部分教师的足够重视，部分教师教学概念往往是蜻蜓点水，不注重概念的生成，而是追求例题和习题的讲解，通常是“过早引入概念，强调几个注意事项，讲解例题和习题，强化学生练习”这种套路或模式. 实践证明，这种课堂教学枯燥无味，学生的数学学习兴趣大打折扣，不利于学生长远发展.

事实上，注重概念教学过程，不仅可以提升学生的数学学习兴趣，而且概念推导和生成的过程所蕴含的理念和思想有利于培养学生的学习能力，对学生数学核心素养的形成和发展起着至关重要的作用.

2. 对“弧度制”教学现状的分析

“弧度制”属于概念教学范畴，受应试教育的影响，很多时候为了追求课堂教学中例题、习题讲解的最大化，部分教师在课堂上对弧度制产生的必要性、概念抽象形成的过程以及1弧度角大小的体验等往往不够重视，一般是直接切入主题，以模式“给出弧度制概念—例题讲解—学生练习”为主. 学生对知识的掌握一般停留在“概念的记忆”层面，虽然通过换算公式“π=180°”“2π=360°”能够顺利实现弧度制与角度制的互化，但是学生对弧度制的产生没有一个系统的合情推理的探究过程，印象不够深刻，随着时间的推移，假如提出“弧度制是如何产生的”“1弧度的角有多大”等问题，学生可能无法回答. 如果课堂上能让学生亲身经历动手实验操作、几何画板演示等过程，学生对弧度制的产生就会记忆犹新.

特别是随着新课标的实施以及人教A版高中数学新教材的启用，教学中教师越来越能体会到新课标对“以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养”的要求越来越高.

基于以上两点思考，本节课笔者决定以生为本，以提升学生核心素养为导向，利用层层递进的问题驱动课堂，让学生经历一个从直观感知到理性构建，逐步发现规律的过程，从而增强教学效果，充分体现高中数学课程的基本理念.

教学片段（弧度制概念的生成及强化）实录

1. 图形猜想，直观感知

弧度制——大家细细品味一下这个课题. 关键字“弧”让大家想到了什么？（弧长）什么地方有？（圆〈扇形〉中有）.弧长和角之间到底有没有关系呢？下面带着这个想法从“形”的角度展开今天的探究.

如图1所示，射线OA绕端点O逆时针旋转到OB形成角α（现在我们不考虑旋转方向对角产生的影响）. 以O为圆心作一个半径为r的圆与射线OA，OB分别相交于点P，P1形成圆弧PP1，记圆弧PP1的长为l；再以O为圆心作一个半径为r1的圆与射线OA，OB分别相交于点Q，Q1形成圆弧QQ1，记圆弧QQ1的长为l1.

事实上，这样的圆可以作出无数个，大家不难发现圆弧PP，QQ都与圆心角α存在对应关系，但是圆弧PP，QQ的长却是不等的.

“不等的圆弧却对着相等的圆心角”——如何来实现这变与不变、动与静的统一？

是谁引起了圆弧的长的改变？——半径——提示我们从弧长和半径的关系入手（学生讨论出圆弧的长与圆的半径的比值不变）.

设计意图 通过“弧”字引发学生思考和讨论，把学生的思路引导到“图形”上去，让学生直观形象地观察角与弧的关系（变与不变、动与静的辩证关系），并通过一连串问题，引导学生进一步想到引起弧长变化的量为半径，猜想弧长与半径的比值的不变性.整个分析过程层层递进，符合学生的认知发展规律，并且通过这一轮的思考和交流，学生的学习热情得到进一步提升.

2. 演绎推理，理性构建

下面我们从“数”的角度来分析这个问题.

3. 技术驱动，深度验证

下面我们通过几何画板再次体会这一结论.

事实上，在18世纪，伟大的瑞士数学家欧拉（图4）明确提出了弧度制思想——利用圆弧的长和圆的半径的比值定义了角的大小（此处教师一定要重点强调比值）.

通过图形猜想、演绎推理、几何画板验证后顺其自然地给出弧度制的概念，一气呵成，学生不仅对弧度制的印象深刻，而且知道弧度制的来龙去脉. 教学效果十分明显.

4. 动手实验，强化理解

现在我们有了弧度的计算公式，也有了1弧度的角的概念，那么1弧度的角到底有多大呢？现在我们动手亲身体会一下.

动手实验：教师提供画好的圆（黑板上和A4纸上画好的圆，如图5所示）以及细绳，邀请两名学生上黑板作图并让他们分享自己的做法，講台下的学生以三人为一组作图，亲身体会“1弧度的角到底有多大”（见图6、图7）.

学生分享：先将绳子的一端与圆心O重合，通过比对的方式量出与圆的半径等长的一段绳子，并在另一端做好记号. 再将这段绳子的一端固定在点A处，把绳子紧贴着圆周量出一段与半径等长的圆弧AB，连接OB，则由弧度制的定义可知，圆心角AOB就是1弧度的角.

“1弧度的角比60度的角要小一些”，你觉得有道理吗？——引导学生从“形”的角度进行解释.

学生分析：在圆周上移动点B，将扇形AOB的圆弧AB拉直，能形成一个边长等于r的等边三角形，此时圆心角AOB等于60度，变大了，显然1弧度的角比60度的角要小一些.

设计意图 学习弧度制后，学生都想知道1弧度的角的大小，于是引导学生通过实际操作，直观感受1弧度的角的大小，知行合一、学思结合，不仅强化了弧度制的核心理念——用弧长和半径的比值来定义角，同时让学生对1弧度的角的大小有了深刻印象.在以后的学习过程中，如果再遇到弧度制的概念以及1弧度的角的大小问题，学生一旦想起曾在课堂上做过相应的实验，一定能激活记忆.

（说明：文中省去了新课导入、当堂检测、例题讲解、课堂小结等环节）

教学反思与感悟

1. 落实生成是提升数学核心素养的重要环节——引导“学”

新课标指出，高中数学教学要“把握数学本质，启发思考”. 本节课通过创设情境，引导学生直观感知和思考“弧”与“角”的关系，借助几何画板验证学生的猜想，让学生从本质上去理解弧度制产生的意义，去掌握弧度制的概念，有效提升了学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养.

数学抽象是数学学科核心素养的首要素养，是学生形成理性思维的重要基础. 而数学概念是最能够有效体现抽象环节的教学内容，所以教师要足够重视概念课，在概念课上要“舍得”花时间，把思考与探究、交流与合作等活动融入概念生成过程，让学生在引导下真正领悟概念，培养学生科学严谨的治学态度以及严密的逻辑推理能力，真正体现数学课堂以生为本、立德树人的理念，有利于学生长久发展.

本节课注重学生的实验操作和合作探究，实验是学生获取知识最直接且行之有效的方式. “1弧度的角到底多大？”如果仅仅停留在概念“长度等于半径长的圆弧所对的圆心角是1弧度”上，学生对“1弧度的角”不会有深刻的印象. 课堂上的实验先从“形”的角度入手，让学生在圆形中找到1弧度的角，然后从“数”的角度进行深化，计算得到1 rad≈57.30°=57°18′，让1弧度的角的大小显示得更加精确. 一系列实验操作后，对学生来说，1弧度的角有一种跃然纸上的感觉，十分形象直观. 而且整个实验过程进一步强化了弧度制的概念，渗透了数形结合思想，彰显了数学本色.

2. 学生参与课堂是数学核心素养落实的根本——主动“学”

概念教学可以说是提升学生数学核心素养非常重要的载体. 教师要意识到概念教学的意义，注重概念的生成，揭示概念的本质，充分发挥概念课培养学生综合能力、提升学生核心素养的作用.

新课标指出，高中数学教学要以学生发展为本，落实数学核心素养.学生是课堂活动的主体，只有学生真正参与了知识生成的过程，才能真正落实数学核心素养. 所以在数学课堂中，教师要充分发挥学生的主体作用，设计合理的教学活动，鼓励并引导学生参与其中. 学生主动学习知识的同时，各方面能力、数学核心素养等都将得到大提升. “一言堂”“满堂灌”，这些没有学生真正参与的课堂，核心素养的落实将大打折扣.

本节课通过设问回答、活动操作等积极引导学生参与知识生成的过程，学生参与度高，真正成了课堂学习的主体.

3. 学习兴趣是数学核心素养形成的有力保障——快乐“学”

兴趣是最好的老师，是学生形成学习“内驱力”的关键. 学生对数学有兴趣，离落实数学核心素养就更近，因此在教学中，特别是在略显枯燥的概念教学中，教师就要充分发挥自身的能动性，充分利用信息技术，如几何画板、GeoGebra等软件辅助教学，通过动态展示，探索、揭示规律，同时根据教学内容，适时融入数学文化，引导学生感悟数学文化的价值和魅力，激发学生学习数学的兴趣，提高教学的有效性. 感兴趣，才有利于进一步落实学生的“四基”和“四能”，提升学生的数学核心素养.

本节课注重数形结合思想，融入数学文化的同时充分利用几何画板辅助教学，并积极设计操作活动，有效提升了学生学习数学的兴趣，使原本枯燥无味的概念课变得生动有趣，让数学核心素养的落实自然自觉成为一件有意义的事情.

心理学研究表明：知识不是老师教会的，而是学生通过老师传递的信息自己领悟的. 在数学教学中，教师应积极创设活动条件，注重探索过程，加大学生参与力度，让学生“动起来”，讓课堂“活起来”，让数学课堂的育人魅力充分展现出来！数学概念课更是如此！