仲述玲

［摘  要］ 数感是生活实际与数量关系联系的桥梁，是发展学生运算素养的关键。文章从“数感”这一术语的理论基础与培养的必要性出发，以“数的认识与运算”的教学为例，从三个方面展开阐述：借助生活实际，抽象数与运算的关系；联系生活实际，理解数与运算的关系；回归生活实际，应用数与运算的关系。

［关键词］ 生活；数感；教学

数感是指学生对数学问题的直觉、灵感、语感，并据此产生解题思路与方法，一般是指解题过程中灵感乍现的直觉体验。教学中，笔者常听到学生在考试后说：这次考试状态不好，会做的题都做错了；这次考试感觉蛮好，每道题都很顺手。其实，这些都是学生对“数感”的描述。为此，笔者对数感进行了大量研究。

一、数感的理论基础

1954年，托拜厄斯·丹齐克首次提出数感，他认为数感是指在个体没有察觉的情况下，在一堆物体中增加或减少一个小物体，能发现这堆物体发生了变化的一种直觉能力。1992年，麦金托等人通过实践，对数感的概念进行了提炼：数感是指个体对数与运算的理解和应用的一种能力倾向，并能据此做出理性判断，开发运算法则与应用数学的策略。显然，提炼后的数感已经突破了原本对事物数量的直观感知的范畴，拓展到数与数的运算行列。

1999年，格斯腾和查理为数感设定了五个等级：①儿童未发展时，超出他们意识的数感；②儿童通过学习初步感知数感；③建立数感，理解“大于”“小于”的意思；④理解数字实质，能用“加”“减”替代原本需要全部数出来的情况；⑤拥有解决问题的决策能力。

二、数感研究的必要性

随着“数感”这一数学术语的推广，我国不少数学专家对此进行了一系列的研究，对数感的理解经历了“直觉—意识—规律”的过程，从感觉阶段上升到了思维阶层。《义务教育数学课程标准（2022年版）》在上一版本的基础上，再次强调了数感对儿童青少年思维发展的重要性，强调小学阶段是发展学生数感的关键时期。

皮亚杰的认知发展理论认为：小学低年级的学生需要结合直观可视的实际物体来理解数和运算，然而课堂教学常常是间接地建构知识的过程。实践证明，间接学习需要建立在一定的知识与生活经验基础上进行，基于小学生的知识与生活经验不足，不论从学生的实际认知水平还是生活经验出发，此阶段的学生需要依赖丰富的生活情境开展学习活动。

随着科技的发展，信息技术的普遍应用，学生自主运算与思考的机会大打折扣，无形中阻碍了数感的形成。为此，在数学课堂中有意识地培养学生的数感势在必行。

三、数感培养的具体措施

1. 教学分析

教材中“数的认识与运算”的知识分布遵循了由浅入深的原则，从知识体系的角度来观察，教学内容并非呈直线分布，而是将知识安排成螺旋形式。比如对数的认识，并非要求学生在一个阶段认识完10000以内的数，而是结合学生认知发展规律，引导学生从逼真的生活情境中循序渐进地抽象出简单的数。在此基础上穿插一些实际问题让学生思考，帮助学生从生活实际出发，充分理解“数”和“运算”的关系，并利用这种关系来解决实际问题。

纵横交错的教学安排，不仅能帮助学生更好地掌握“数与运算”的关系，还能让学生在真实情境中启发思维、挖掘潜能，逐步形成良好的数感，为后续研究更复杂的数学问题奠定基础。同时，学生的思维随着认知的发展拾级而上，为数学核心素养的培养奠定了坚实的基础。

2. 实施措施

史宁中教授提出：数学直观是数学教学的根本，真正的数学是“看”出来的，而非“证”出来的，这一切都依赖于数学直观的帮助。对低年级学生而言，“数的认识与运算”确实比较抽象，因此教师在设计教学活动时要结合学情创设丰富的生活情境，启发学生的思維，让学生在直观感知中形成良好的数感。

（1）借助生活实际，抽象数与运算的关系

在各个版本的小学数学教材中，数学教学内容都是由生活抽象概括而来，具有形象性特征，与该阶段学生的思维水平和认知特点相匹配。从认知发展理论出发，小学阶段学生的思维模式以直观形象思维为主，通过一段时间的学习后学生的思维模式会向抽象逻辑思维发展。尤其是小学低年级的学生，直观形象思维的表现尤为突出。

低年级的数学教材中的学习内容以直观形象的内容为主，学生在具体的生活情境中学习，可直观感知知识的来龙去脉，对知识形成理性认识。

案例1  “简单的数”的教学

对于1、2、3之类比较小的数的教学，基本都是借助现实情境中的事物的量来增强学生对这些数的认识。虽说学生的思维依赖于具体的生活事物，但他们对数的认识不仅经历了“具体—抽象”的过程，还经历了从感性的直观形象思维向理性的抽象逻辑思维过渡。看似简单的过渡，虽然处于抽象素养的初始培养阶段，但是为学生思维与核心素养的发展夯实了基础。

案例2  “1～5加减法”的教学

由于学生对抽象的数没有直观的概念，因此在教学时，教师需要借助实际情境或真实存在的事物对其数量特征进行抽象与概括。比如，1根筷子加上2根筷子，共有3根筷子；1个橙子加上2个橙子，共有3个橙子；1斤水果加上2斤水果，共有3斤水果等。这些源自生活的真实情境，让学生明确了“1+2=3”的实际意义，从而抽象出加法运算规律。

以上两个事例说明学生的思维正在由直观形象向抽象逻辑转化，但此时其仍以直观形象思维为主。只有学生能自主对生活实际事物的外部数量特征进行抽象与概括，并揭示其本质属性或内涵，才能从真正意义上说明学生建立了抽象逻辑思维。经过大量生活实际的抽象，学生逐步认识到数与运算的关系，数感在学生的一次次的抽象思维中生成。

（2）联系生活实际，理解数与运算的关系

小学低年级的学生习惯于通过直观形象思维的辅助来认识生活事物。因此，教师应在教学中创设学生感兴趣的生活情境，让学生通过理论与实际的联系，发现生活中实际存在的数学。教师要引导学生将生活经验搬到课堂中来，深化学生对课堂教学内容的认识，帮助学生在生活实际中初步建立数感，为更好地解决生活实际问题奠定基础。

学生在入学前对生活中的一些简单的数量已经有了初步的认识，比如1只鸡、1条狗、3个人、4块蛋糕等。这些生活经验所带来的数量关系是学生认知的基础，在实际教学时，教师可将这些数量关系迁移到课堂中来，让学生从中感知相应的数。

案例3  “数字5的认识”的教学

联系学生的生活实际，教师可创设5支笔、5个皮球、5幢楼、5棵树等情境，让学生感知数字“5”存在的现实意义；或者以“一一对应”的教学法，引导学生对“5”这个数字产生直观的理解，为学生形成数感奠定基础。

这里提到的“一一对应”是以学生熟悉或感兴趣的内容为素材，比如对于数字“2”与“3”的大小问题，可以创设学生感兴趣的童话小故事来吸引学生的注意力，让学生感知“同样大、同样多、谁更大、谁更多”的关系。

笔者在教学中结合学情，创设了学生喜闻乐见的小猪和小熊搬运木材建房子的情境。比如，每1只小猪搬运1根木材，剩下1根木材没有相应的搬运者与它对应，由此不难判断出木材的数量大于小猪的数量。

课堂中，教师除了针对低年级学生的认知特征创设丰富的故事情境，还可以就地取材引导学生通过比一比、数一数来交流。比如，让学生通过数一数铅笔、本子等的数量，感知铅笔和本子的数量。无须教师过多引导，学生在自主探索与比较中很快就能发现铅笔和本子的数量，铅笔比本子多还是少、多多少、少多少等。长此以往，学生便能自主判断3和2谁更大一些，大多少；谁更小一些，小多少。

创设丰富的生活情境不仅让低年级学生对数与数量关系有了初步认识，还帮助学生衔接学前阶段到小学阶段的知识，让学生更好地理解数字与生活事物的关系，充分感知到数学学习的乐趣，在促进思维成长的同时有效地发展数感。

案例4  “2﹢3”的教学

为了让学生充分体会“2+3”这个式子具有怎样的现实意义，笔者创设了如下生活情境：

情境一：让5名学生模拟在公园售票处排队购买游船票的情境，让学生从直观中感知“第几”的现实意义。比如排在第一个的学生序号为1，排在中间的学生序号为3，排在最后一个的学生序号为5。

情境二：将4根玉米分给2个小朋友，有哪些分法？要求学生拿4支笔作为玉米，自主分成2堆。

关于分玉米的情境，学生通过自主探索，很快发现可以将手中的笔分成1和3、2和2、3和1。教师在学生实践与探索中，顺势将“数的加法”概念抛出，引发学生的思考，让学生从根本上掌握其本质。当学生从多种情境中提炼出“数的加法”后，教师可以提出新的情境。

情境三：小红和小明是同桌，桌上放着小红的1支自动铅笔、小明的2支自动铅笔，桌上一共有3支自动铅笔。如果小明拿走其中的1支，那么桌上就剩下2支自动铅笔。

情境四：小军一共有4颗棒棒糖，分给小朋友2颗后，剩下2颗棒棒糖。

通过4个与学生生活实际相关联的情境教学，让学生对“数的减法”产生了深刻、形象的认识，学生从情境中充分感知量的减少过程。

实践证明，小学生在最初接触数学时，都是从具体情境中抽象数与运算。通过大量实践，学生能深刻体会到“数可以表示量的多少，也能表示顺序”。由此可以看出数学知识源于生活实际，数感的形成能帮助学生更好地理解生活。

（3）回歸生活实际，应用数与运算的关系

数学知识由生活实际抽象而来，最终会应用于生活实际中去。因此，当学生掌握了某个知识点后，教师应带领学生将所学知识应用到生活实际中，引导学生利用所学知识来解决生活实际问题。

对小学低年级学生而言，不论是其认知水平，还是其思维水平都处于比较低的阶段。想要培养学生的数感，教师就应带领学生从生动形象的具体事物中感知知识的形成与发展，自主抽象出相应的知识。鉴于数学学科本就具备显著的概括性、抽象性特征，结合学生的思维特点，因此教材在内容编排上着重突出了运用数来解决实际应用问题，以此发展学生的数学逻辑推理能力。

借助生活情境引出数学知识，再将抽象而来的数学知识回归到生活实际应用中去，这从真正意义上强化了学生对知识本质的理解，让学生在应用中增强数感。

案例5  解决实际问题的教学

情境创设：已知育才小学有1000名小学生，如果六年级的200个学生毕业了，一年级的新生还没有报到，那么学校还有多少名学生呢？

这个情境涉及的几个数字比较大，待求学生的数量比较多，如果一个一个地去数，会非常烦琐。这就需要学生将之前抽象而来的数的加减运算反过来思考，将这些知识应用到解决实际问题中来，从而感知生活实际与数学之间的关联。

案例6  “十进制”的教学

本章节需要学生深入理解数位上的数具有的代表意义，这个内容对学生而言相当抽象。比如“36”这个数中的3表示有“3个十”，6表示有“6个一”。学生想要完全掌握这部分知识，需要借助抽象逻辑思维，这要求学生在原有认知基础上进行分析，才能从真正意义上理解十进制的内涵。学生自主分析的过程，便是数感形成与发展的过程。

综上所述，数学学习与数感形成是互相依赖、互相促进的关系。数感不仅是学生学习数学的基础，还是学生增强生活实际与数量关系联系的根本。教师应在教学中充分利用各种教学手段培养学生的数感，为提升学生的数学核心素养夯实基础。