何恩阳，程凌飞

1.重庆市杨家坪中学，重庆 400050

2.四川省大竹中学，四川达州 635000

动量守恒定律和机械能守恒定律是高中阶段守恒观念的重要内容，弹性碰撞是体现两种守恒观念的重要模型，是各种力学模型的元模型，在各类问题中用以考查学生的论证推理、分析解决问题的能力。然而，在实际碰撞问题的处理过程中，涉及到动碰动问题时需要联立二元二次方程求解，借助牛顿碰撞定律，可以简化计算过程，帮助学生从新的视角认识碰撞过程，培养模型建构思维，强化运动和守恒观念。

1 问题的提出

在近几年的高考试题中，如2022 年全国乙卷理综25 题、2022 年山东高考物理第18 题、2021 年福建高考物理第15 题等多次出现两物体发生弹性碰撞的问题，需要计算两物体碰后速度。下面就弹性碰撞过程以如下情境进行呈现。

如图1 所示，质量为m 的物体A 以速度v1追上质量为M、速度为v2的物体B 并发生弹性碰撞，求碰后物体A 和物体B 的末速度u1和u2。

图1 弹性碰撞示意图

解析碰撞过程中动量守恒

机械能守恒

两方程联立解得

其中，当B 的初速度为零时

由于（1）（2）式涉及二元二次方程组的联立求解，计算过程复杂，计算量较大。查阅相关文献且基于日常教学总结，一般有以下几种处理方法。

1.1 课堂计算演示

在A，B 都有速度的情况下计算难度较大，一般教师会在初次讲解时，在黑板上进行计算方法演示。但对于多数学生一般难以完全掌握计算方法，且考试时计算量过大。为节省时间，教师一般会让学生直接记住末速度的公式。

该方案，学生不仅在记忆公式过程中容易记错，还会将计算过程用简单的记结论形式应付了事，对于学生学习兴趣和物理思维的培养都有很大的负面影响。

1.2 预设考试题型

一些教师在教学过程中，总结高考考题，认为一般只考查“动碰静”的情况，因此在讲解时预设物体B 的速度为零，简化了计算流程和结论记忆的难度。

该方案将问题简化成一个简单的特例进行讲解，但对于更普遍的情况却采取回避的方式，学生在遇到“动碰动”情况时只能选择放弃，客观上扑灭了学生的学习兴趣。

1.3 质心参考系的计算和记忆

一些文献采用在质心参考系中列式求解，最终得到与（1）（2）式等价的实验室参考系形式［1］

该方案需要用到质心参考系和较为复杂的参考系变换知识，无论是过程的推导还是结论的得出，对于大多数学生都较为困难，只能用于优生培养，不适用于大多数学生的教学。

2 牛顿碰撞定律在弹性碰撞中的理论推导

将（1）（2）式进行变形可得

由（5）（6）式可得

对（7）式变形可得

可以发现（1）（2）（8）三个方程中任意两个是等价的，联立（1）（8）式即可得到末速度的表达式。

那么，（8）式的物理意义是什么？

查阅文献可知，对于碰撞问题有牛顿碰撞定律：v1-v2=e（u2-u1）

其中，e 为弹性恢复系数，仅与物体的质料有关；对于完全弹性体，e=1，如钢球的碰撞；对于完全非弹性体，e=0，如橡皮泥的碰撞；对于一般非弹性体，0

其中，v1-v2为碰前接近速度，u2-u1为碰后分离速度。说明在弹性碰撞过程中，碰前两球接近速度和碰后分离速度相等［2］。

同时需注意在联立（1）（2）两式求解过程中，由于是二元二次方程的求解，应该有两组解，为何推导出（8）式后，联立（1）（8）两式只有一组解呢？

这是因为（6）式除以（5）式的过程中，消掉了（5）式，忽略了

u1=v1，u2=v2

即等于初始值，也说明弹性碰撞为可逆过程。

在实际计算过程中直接采用（1）（8）两式联立求解，不影响结果。

3 牛顿碰撞定律在弹性碰撞中的应用

3.1 解决多次碰撞中的相对速度和时间问题

在分析两物体间存在相对运动，且需要计算相对速度时，运用牛顿碰撞定律结论可简化问题。

例1如图2 所示，质量为m 的钢球，放在质量为M 置于水平面上的箱内，箱底长度为L。现将钢球从箱底最左端以向右的水平速度v 释放，球将与箱前后壁发生多次弹性碰撞，经过多长时间，钢球将与箱进行第9 次碰撞？ （不计摩擦力）

图2 钢球与箱子相互作用图

解析碰撞前两物体的接近速度即为箱子与钢球的相对速度v，相互作用后两物体的分离速度即为箱子与钢球的相对速度v。根据碰撞前后两物体的接近速度与分离速度大小相等，以箱子为参考系，钢球相对于箱子的速率始终为v，故从计时开始每两次相邻碰撞所用时间均为则第九次碰撞用时为

点评如用常规方法结合动量守恒及机械能守恒，可以计算每一次碰撞后，钢球和箱子相对地面的速度，再计算两物体的相对速度，这样会产生较大的计算量。如果根据碰撞前后两物体的接近速度等于分离速度，可化繁为简，直接得出钢球与箱子的相对速度，进而算出相邻两次碰撞的时间。

3.2 利用牛顿碰撞定律为航天器加速提供理论依据

从牛顿碰撞定律的推导过程中不难发现，当两物体间存在相互作用，且满足相互作用前后总动量和总动能不变时，即可应用该结论。天体运动中，物体间虽没有直接接触，但在一定条件下，仍可以满足弹性碰撞的条件，故牛顿碰撞定律在此情境下仍然成立。

例2科幻片《流浪地球》中提到用引力弹弓来为地球加速，以使地球获得更大的速度，从而脱离太阳系。早在1977 年，著名的旅行者1 号和旅行者2号探测器在飞掠土星和木星时，均利用了引力弹弓来实现加速，其中旅行者1 号经过引力弹弓的加速后，速度达到了太阳的逃逸速度。在一定条件下，可将该过程简化为如下模型：如图3 所示，某飞行器以大小为v 的速度向右做直线运动，木星以大小为u 的速度向左运动，当探测器与木星距离减小到一定程度时，由于它们之间的相互作用，探测器会绕木星半圈，并被木星以与速度v 相反方向的速度v1“甩回去”。求v1的大小。（提示：航天器与木星的机械能之和保持不变，且忽略木星的自转。）

图3 木星与飞行器相互作用过程示意图

分析与解飞行器与木星虽未直接接触，但存在相互作用，且作用前后保持总动量和总动能不变，故应满足相互作用前接近速度和相互作用后分离速度相等。相互作用前接近速度为v+u，由于木星质量远大于飞行器质量，可认为发生相互作用后木星速度保持u 不变，则由v+u=v1-u，可得v1=v+2u。

点评引力弹弓是指利用行星或其他天体的相互作用来改变探测器轨道和速度的航天技术。本题以航天探测器的加速过程为物理情境，要求学生能迁移应用弹性碰撞模型解题，很好地考查了学生问题表征和模型建构能力，培养学生应用所学物理模型来解决新情境问题的科学思维能力。

3.3 创设真实情境，引导学生从“解题”向“解决问题”转变

碰撞广泛存在于我们身边发生的实际事例中，运用牛顿碰撞定律不仅可以解释生活中很多有趣的自然现象，还可以从理论上推测一定条件下会发生的物理现象。

例3小明在体育课上观察到一个有趣现象，将一弹性球放在篮球正上方，让篮球和弹性球同时静止下落，篮球触地瞬间将弹性球弹起，观察到弹性球能上升到比释放点高很多的位置。小明对此现象产生了浓厚的探究兴趣，经过资料查阅以及向老师求教，小明将其简化为以下情境：如图4 所示，弹性球B 质量为m，篮球A 质量为M（M>>m），它们一起自高h 处自由下落，不计空气阻力，篮球与地面及弹性球与篮球之间的碰撞均为弹性碰撞，下落高度h 远大于球的直径。

图4 弹性球与篮球相互作用情境示意图

（1）试计算篮球A 着地后，弹性球B 弹起后能够上升的最大高度H1。

（2）若在弹性球B 上再叠加一个质量为m1的弹性球C，且满足m>>m1，则叠在最上端的弹性球C 上升的最大高度H2为多少？

（3）若h=3 m，并在弹性球C 上面再叠加一个质量为m2的弹性球D，弹性球D 上再放置质量为m3的弹性球E，以此类推叠放下去，且满足m>>m1>>m2>>m3…问还需叠加几个小球，可以使最上面小球弹起后离地面最大高度超过珠穆朗玛峰的高度H3≈8848 m。

解析（1）篮球A 与地面弹性碰撞后以原速率返回，此时弹性球B 以速度v 向下与篮球A 发生弹性碰撞，此时两球接近速度为2v，由于M＞＞m，故碰撞后篮球A 向上运动保持原来速度大小v 不变，由于碰前两球接近速度和碰后分离速度相等，则碰后弹性球B 速度大小应为3v。即弹性球B 以3v 的速度做竖直上抛运动，能够上升的最大高度为

（2）弹性球B 以3v 向上弹起后，会与正以速度大小为v、方向竖直向下的弹性球C 发生弹性碰撞，如图5 所示，此时球B 与球C 碰前接近速度为4v。由于m＞＞m1，则碰后球B 速度仍为3v，设球C 碰后速度为v1，则v1-3v=4v，得v1=7v。则有

图5 弹性球B 与弹性球C 相互作用示意图

（3）由图6 可知，弹性球C 向上弹起速度为7v，此时弹性球D 以速度v 向下运动，即两球的接近速度为8v，由于m1>>m2，碰后弹性球C 速度大小及方向均保持7v 不变，由于碰前两球接近速度和碰后分离速度相等，设碰后弹性球D 向上运动速度为v2。则v2-7v=8v，得v2=15v。由此不难得出碰后最上端弹性球末速度满足vn＝（2n-1）v，n为包括篮球在内的弹性球个数。依题意可知，要使得弹起的最终高度H3=8848 m，若最终弹起高度为第一次下落高度h=3 m 的n1倍，则，由可知需要满足最终弹起小球速度为篮球第一次弹起后的n2倍，n2=≈54.3，即vn=（2n-1）v>54.3v，则n 最小可取6，包括篮球在内，有6 个满足质量要求的弹性球即可，因此在弹性球C 后还需叠加满足质量要求的3 个小球。

图6 弹性球C与弹性球D 相互作用示意图

点评将学生生活中观察到的真实事例设置为该试题的物理情境，并将其转化为自由落体和弹性碰撞模型，引导学生关注物理与生活实际的联系，培养学生运用物理模型论证生活情境中的科学本质的能力。

3.4 利用推论巧解高考压轴试题

在2022 年全国高考乙卷和2021 年福建高考物理试卷中均出现“动碰动”的物理情境，若用牛顿碰撞定律可简化计算过程，提升效率。现以2022 年全国高考乙卷理综物理第25 题为例，进行计算演示说明。

例4（2022 年全国高考乙卷理综第25 题）如图7，一质量为m 的物块A 与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上；物块B 向A 运动，t=0 时与弹簧接触，到t=2t0时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A，B 的v-t 图像如图8 所示。已知从t=0 到t=t0时间内，物块A 运动的距离为0.36v0t0。A，B分离后，A 滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B 再次碰撞，之后A 再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为θ（sinθ=0.6），与水平面光滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求：

图8 物块A 与物块B 碰撞前后图像

（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值。

（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值。

（3）物块A 与斜面间的动摩擦因数。

解析由于（1）（2）问中不涉及牛顿碰撞定律结论，故（1）（2）问本文不做分析。第（3）问中必须求解出A，B 第二次相互作用前A 向左运动速度的大小，答案给出的解法如下。

设物块A 第一次滑下斜面时速度大小为vA，设向左为正方向，根据动量守恒定律可得

根据能量守恒定律可得

联立（9）（10）式解得vA=v0。

若用牛顿碰撞定律结论，相互作用前接近速度和相互作用后分离速度相等，则

很明显（11）式比（10）式更为简略，在联合（9）式计算上更为方便。

点评弹性碰撞在高考试题中出现频率较高，若考生能够熟练掌握牛顿碰撞定律结论，则能够在更短的时间内计算出准确结果。

4 评价和总结

模型建构是学生根据研究的问题和情境，构建易于研究的、能反映事物本质特征和共同属性的理想模型的过程［3］。通过将牛顿碰撞定律应用到弹性碰撞模型中，帮助学生从接近速度和分离速度的视角理解碰撞过程，完善了学生的运动和相互作用观念，通过“引力弹弓”现象和“子母球”实验，了解了弹性碰撞在科技、生活领域的广泛应用，能够对新的物理情境进行问题表征和模型建构，培养学生的科学思维和科学探究能力，同时为学生提供了新的视角认识弹性碰撞模型，提升学生的探究兴趣，帮助学生逐步增强探索自然的内在动力。