温瑞萍 李文韦

(太原师范学院数学与统计学院,晋中,030619)

1 引言

由于张量在多模态结构信息表中具有优势,所以对张量的研究成为近些年来的热点问题.一个已经引起学界高度关注的现象是: 在张量数据的采集、存储、传输与处理等环节,常常会发生数据的丢失或腐蚀,因此张量数据的填充与恢复问题的研究就尤为重要.低秩张量填充问题作为低秩矩阵填充问题的推广,主要是根据已知的部分张量数据信息来填充其未知或缺失的数据.张量填充方法已经广泛应用于图像处理[1]、数据挖掘[2]、信号处理[3]及机器学习[4]等领域.低秩张量填充的数学模型一般为:

类似于矩阵填充的秩极小化模型,问题(1.1)属于非凸优化模型,是NP 难问题.如果待填充张量C的秩已知或容易估计,一些学者提出了类似于求解矩阵填充秩极小化模型的解法,但填充效果不甚理想.因而,在实际处理中,通常用逼近张量T的一个最紧凸包‖T‖*来代替rank(T),将问题(1.1)转化为下列凸优化模型,即张量填充的核范数极小化数学模型:

其中‖·‖*表示相应张量的核范数.

求解(1.2)通常的作法是将张量按照不同的模展开成矩阵,对矩阵进行填充操作后再折叠复原回张量形式.针对矩阵填充的核范数极小化问题求解,常见的经典算法有: Toh 等学者提出的加速近端梯度(APG)算法[5];Cai 等提出的奇异值阈值(SVT)算法[6];Lin 等提出的增广拉格朗日乘子(ALM)算法等[7].因为张量的分解方式有CP 分解、Tucker 分解、张量链分解、张量环分解……