刘进

(国防科技大学系统工程学院,长沙,410073)

1 引言

假设φ:Mn→Nn+p是一般外围流形中的一个n维紧致无边的子流形.有时我们选定外围流形Nn+p为n+p维的空间形式Rn+p(c).当c=1,0,-1 时,Rn+p(c) 分别代表单位球面Sn+p(1),欧几里得空间En+p和双曲空间Hn+p(-1).沿着M选定正交活动标架

使得{e1,···,en} 是M的切丛标架,而{en+1,···,en+p} 是M的法丛标架.它们的对偶标架场分别为{θ1,···,θn} 和{θn+1,···,θn+p}.子流形的一个基本事实是: 当限制在M上时有θn+1≡···≡θn+p≡0.

本文约定:

利用活动标架和对偶标架可将子流形φ:Mn→Nn+p的第二基本型表示为

称H2为平均曲率模长的平方,S为第二基本型模长的平方,ρ为迹零第二基本型模长平方或者Willmore 不变量.显然三类曲率都是非负的.又因为子流形φ是紧致的,所以H2,S,ρ都有上界.在微分几何中,有三类重要的子流形分别通过上面三类低阶曲率来定义:H2≡0 对应的子流形称为极小子流形,S≡0 对应的子流形称为全测地子流形,ρ≡0 对应的子流形称为全脐子流形.

曲率H2和体积泛函密切相关.体积泛函Vn(φ)=∫Mdv是子流形最简洁的泛函,其临界点方程为H2=0.文献[1,2]计算了该泛函的一阶和二阶变分公式,讨论了其临界点的稳定性,建立了临界点的积分不等式,得到如下结论: 如果φ:Mn→Sn+p(1)是单位球面中的极小子流形,则有

曲率S是子流形第二基本型的模长的平方,它测度了子流形和全测地子流形的点态差异.受文献[6,7]以及经典Willmore 泛函的启发,文献[8,9]分别构造了和S相关的如下泛函

其中r是实数,F: [0,+∞)→R 是抽象的光滑函数.文章计算了两类泛函的第一变分,构造了例子,推导了积分不等式,讨论了间隙现象,给出了间隙端点对应的特殊子流形.

除了体积泛函,在微分几何中，还有一个关于单位球面中的子流形φ:Mn→Sn+p(1)的著名的经典Willmore 泛函

考察三类低阶曲率H2,S,ρ=S-nH2和上文中的泛函,自然会思考这样的问题: 子流形泛函的变分计算是否具有统一的范式? 子流形泛函临界点的间隙现象是否是普遍规律? 本文给出了肯定的回答.

具体而言,我们构造如下抽象的低阶曲率泛函

其中F: [0,+∞)×[0,+∞)→R,F(u,v)是抽象的充分光滑的双变量函数.必须指出的是,两类泛函L(I,n,F)(φ),L(II,n,F)(φ)本质上是相同的,只是强调的对象不同.泛函L(I,n,F)(φ)强调曲率S和H2,可以转化为

泛函L(II,n,F)(φ)强调曲率ρ和H2,可以转化为

2 结构方程与变分公式

设φ:Mn→Nn+p是n+p维一般外围黎曼流形中的n维紧致无边子流形,Φ(·,·):Mn×(-ϵ,ϵ)→Nn+p是浸入映射φ的变分,即

是等距浸入映射并且φ0≡φ.

所以{e1,···,en}是Mn的切丛标架,而{en+1,···,en+p}是Mn的法丛标架.

设ω表示TNn+p上的联络形式.通过拉回运算,可假设有如下的分解:

从上面的分解可以推出{V i,V α}是Φ 的变分向量场,即

从第二基本型出发,可以构造一些在变分计算和间隙现象研究中极其有用的几何量和符号.首先,当子流形φ:Mn→Nn+p的余维数是1 时,Mn是超曲面,此时可构造几何量和符号:

其次,当子流形φ:Mn→Nn+p的余维数大于1 时,可构造几何量和符号:

显然,如下性质成立:

我们使用Ω,Ω⊤和Ω⊥分别代表TNn+p,TMn和T⊥Mn的曲率形式,它们的分量以及基本的代数关系如下:

其中Ψ 代表不包含dt项的曲率形式,P代表与dt相关的1 形式.

根据定义可得

因此,

由文献[2,29]可知,联络形式、余标架和曲率形式满足如下结构方程

此处ωT,ΩT分别代表ω,Ω 的转置.对结构方程进行拉回运算可得

比较结构方程(2.1)的两边,根据微分形式是否含有dt项,可得出多个引理.

由文献[2,29],我们有子流形张量协变导数的Ricci 恒等式.

最后一个基本的代数引理对本文中所涉及的计算是有用的.

3 泛函的变分计算

为了计算泛函L(I,n,F)(φ),L(II,n,F)(φ)的一阶变分,需要两个引理.

对于曲率ρ=S-nH2,运用上面S,H2的计算立即可得.证毕.

运用引理3.1 和3.2,我们可以计算泛函L(I,n,F)(φ),L(II,n,F)(φ)的一阶变分.

定理3.1设φ:Mn→Nn+p是n+p维一般外围流形中的n维紧致无边子流形.则有

(i)M是泛函L(I,n,F)(φ)的临界点当且仅当对任意的指标α∈[n+1,n+p],有

当余维数为1 时,上面的方程变为

(ii)M是泛函L(II,n,F)(φ)的临界点当且仅当对任意的指标α∈[n+1,n+p],有

当余维数为1 时,上面的方程变为

证明由引理3.1 和引理3.2 以及分部积分的斯托克斯定理,可得

同理，对于泛函L(II,N,F)(φ),有

证毕.

由文献[2,29]可知,空间形式Rn+p(c)的黎曼曲率张量为

简单计算可得

结合定理3.1,我们可得如下推论.

推论3.1设φ:Mn→Rn+p(c)是n+p维空间形式中的n维紧致无边子流形.则有

(i)M是泛函L(I,n,F)(φ)的临界点当且仅当对任意的指标α∈[n+1,n+p],有

当余维数为1 时,上面的方程变为

(ii)M是泛函L(II,n,F)(φ)的临界点当且仅当对任意的指标α∈[n+1,n+p],有

当余维数为1 时,上面的方程变为

推论3.2设φ:Mn→Rn+1(c)是n+1 维空间形式中的n维紧致无边等参超曲面(所有的主曲率为常数).则有

(i)M是泛函L(I,n,F)(φ)的临界点当且仅当

(ii)M是泛函L(II,n,F)(φ)的临界点当且仅当

为了构造例子方便,需要展开式(3.1)和(3.2)的第一项.

推论3.3设φ:Mn→Rn+p(c)是n+p维空间形式中的n维紧致无边子流形.则有

(i)M是泛函L(I,n,F)(φ)的临界点当且仅当对任意的指标α∈[n+1,n+p],有

(ii)M是泛函L(II,n,F)(φ)的临界点当且仅当对任意的指标α∈[n+1,n+p],有

证明由引理2.2,在空间形式Rn+p(c)中成立如下的交换规律

利用协变导数公式,反复运用上面的交换律,即可证明推论3.3.

注3.1定理3.1 及其推论统一了文献[8,9,15-19,22-27]中的变分公式.此外还可以根据函数F的特殊形式得出全新的变分方程.

4 临界点的例子构造

本节利用定理3.1 及其推论,在单位球面中构造泛函L(I,n,F)(φ)和L(II,n,F)(φ)的临界点的例子,主要的方法是求解代数方程.

例4.1对于任意的抽象函数F,单位球面中的全测地子流形是泛函L(I,n,F)(φ) 和L(II,n,F)(φ)的临界点.

例4.2设φ:Mn→Sn+1(1)是单位球面中的全脐非全测地超曲面.根据定义可设全部主曲率为

通过计算,可得

代入方程(3.3),可得泛函L(I,n,F)(φ)临界点的代数方程为

代入方程(3.4),类似可得泛函L(II,n,F)(φ)临界点的代数方程为

函数F的形态影响到上面两个代数方程的求解.

例4.3当子流形的维数n为偶数时,考察自然嵌入的一个特殊超曲面:

从文献[2]可知,所有的主曲率为

经过计算,可得

例4.4考察环面

其中参数满足λ,µ∈(0,1),λ2+µ2=1.

从文献[2]可知,主曲率分别为

如果我们要确定泛函L(I,n,F)(φ)和L(II,n,F)(φ)的临界点环面，只需要将它们代入如下方程

它们虽然是代数方程,但是如果函数F足够复杂,求解这样的方程并不容易.

此外,为了讨论间隙现象,需要考察如下三类重要的环面.

首先是H2=0 的环面.根据方程

是极小环面,此类环面称为Clifford 环面.

其次是S=n的环面.根据方程

是所有满足S=n的环面.

最后是ρ=n的环面.根据方程

是所有满足ρ=n的环面.

例4.5设(x,y,z)是R3的自然标架,(u1,u2,u3,u4,u5)是R5的自然标架.考虑如下映射

经简单计算可得

代入方程(3.5)和(3.6),可知对于任意的函数F,Veronese 曲面是泛函L(I,n,F)(φ)和L(II,n,F)(φ)的临界点.

例4.6设φ:Mn→Sn+p(1),n ≥3 是单位球面中的极小、爱因斯坦子流形.则对任意的函数F,该子流形都是泛函L(I,n,F)(φ)和L(II,n,F)(φ)的临界点.

证明因为M是极小、爱因斯坦子流形,根据定义有

众所周知,当n ≥3 时,有

由引理2.2,可得

显然

根据爱因斯坦子流形的定义,可得

当指标i=j时,可得

当指标时,可得

因此,对于任意的指标n+1≤α ≤n+p,有

代入方程(3.5)和(3.6),可知对于任意的函数F,单位球面中的极小、爱因斯坦子流形都是泛函L(I,n,F)(φ)和L(II,n,F)(φ)的临界点.

注4.1单位曲面中的极小、爱因斯坦子流形的更多例子可参见文献[30]和[31].

5 临界点的积分不等式

为了建立泛函临界点的积分不等式,需要一些重要的不等式和计算.

从矩阵的一些基本事实开始.对于n×n的矩阵A,定义矩阵模长的平方为

下面的性质是显然的: 对任何的矩阵A都有N(A)≥0;N(A)=0 当且仅当A≡0; 对于任意的矩阵A和正交矩阵O有N(A)=N(OAOT)=N(OA); 对于任意的对称矩阵A,B有N(AB-BA)=2tr(AABB-ABAB).特别地,对于本文第2 节定义的矩阵有

对于矩阵模长的平方,有更加精细的不等式.这是由微分几何大师陈省身先生与其合作者共同发现的,可简称为陈省身类型不等式.

引理5.1([3])若A,B是对称方阵,那么有如下不等式

其中等号当且仅当在如下两种情形下成立: (i)A,B至少有一个为零矩阵;(ii)A,B能够同时被同一个正交方阵对角化为如下方阵的常数倍:

假设有3 个对称方阵B1,B2,B3满足等式

那么三者中至少有一个为零矩阵.

应用陈省身类型不等式到子流形第二基本型派生的矩阵上,可得到如下估计.

上面引理中的第3 个估计用到了如下等式

矩阵模长的平方,除了陈省身类型不等式外,李安民院士和其合作者建立了更加精细的不等式,可简称为李安民类型不等式.

引理5.3([4])设B1,···,Bp,p ≥2 是对称的n×n方阵,并且

则有

其中等号成立当且仅当B1,···,Bp,p ≥2 满足如下两个条件之一:

(i)B1=B2=···=Bp=0;

(ii)B10,B20,B3=B4=···=Bp=0,L11=L22.当(ii)成立时,方阵B1,B2能够同时被同一个正交方阵对角化为如下方阵的常数倍:

应用李安民类型不等式到子流形第二基本型派生的矩阵上,可得如下估计.

除了第二基本型派生矩阵的基本估计外，还需要第二基本型的协变导数模长的估计，这就是著名的Huisken 不等式.

引理5.5([32])设φ:Mn→Nn+p是子流形.则对第二基本型和平均曲率的协变导数有如下估计:

引理5.6([8])设φ:Mn→Nn+p是子流形.则

(i)当子流形的余维数p=1 时,有

(ii)当子流形的余维数p ≥2 时,有

(iii)当子流形的余维数p ≥2 时,有

(iv)当子流形的余维数p ≥2 时,有

引理5.7设φ:Mn→Nn+p是子流形.则

(i)当子流形的余维数p=1 时,有

(ii)当子流形的余维数p ≥2 时,有

(iii)当子流形的余维数p ≥2 时,有

(iv)当子流形的余维数p ≥2 时,有

证明根据协变导数的定义,如下等式自然成立

将引理5.6 中的结果和引理5.2 以及引理5.4 中的估计代入即可得本引理的结论.

(i)当子流形的余维数p=1 时,有

(ii)当子流形的余维数p ≥2 时,有

(iii)当子流形的余维数p ≥2 且F1≥0 时,有

(iv)当子流形的余维数p ≥2 且F1≥0 时,有

证明由Δ 算子的定义可得

结合引理5.6 即可得本引理的结论.

类似地,对于函数F(ρ,H2),我们也有如下估计.

(i)当子流形的余维数p=1 时,有

(ii)当子流形的余维数为p ≥2 时,有

(iii)当子流形的余维数为p ≥2 且F1≥0 时,有

(iv)当子流形的余维数为p ≥2 且F1≥0 时,有

将引理5.8 中的等式和不等式进行积分,运用斯托克斯分部积分公式,并结合定理3.1 及其推论,可得如下的积分等式和不等式,它们是进行间隙现象讨论的基础.

定理5.1设φ:Mn→Nn+p是泛函L(I,n,F)(φ)的临界点.则

(i)当子流形的余维数p=1 时,有

(ii)当子流形的余维数为p ≥2 时,有

(iii)当子流形的余维数为p ≥2 且F1≥0 时,有

(iv)当子流形的余维数为p ≥2 且F1≥0 时,有

证明只证明上面的(ii),其余类似可证.因为φ:Mn→Nn+p是泛函L(I,n,F)(φ)的临界点,由定理3.1 可得

将引理5.8 中的(ii)积分可得

利用斯托克斯分部积分公式可得

按照临界点方程整理可得

最终可得

定理5.1(ii)得证.

当外围流形是空间形式Rn+p(c)时,可知黎曼曲率

结合定理5.1 可得如下推论.

推论5.1设空间形式中的子流形φ:Mn→Rn+p(c)是泛函L(I,n,F)(φ)的临界点.则

(i)当子流形的余维数p=1 时,有

(ii)当子流形的余维数为p ≥2 时,有

(iii)当子流形的余维数为p ≥2 且F1≥0 时,有

(iv)当子流形的余维数为p ≥2 且F1≥0 时,有

对引理5.9 中的等式和不等式进行积分,运用斯托克斯分部积分公式,并结合定理3.1 及其推论,可以得到如下的积分等式和不等式,它们也是进行间隙现象讨论的基础.

定理5.2设φ:Mn→Nn+p是泛函L(II,n,F)(φ)的临界点.则

(i)当子流形的余维数p=1 时,有

(ii)当子流形的余维数为p ≥2 时,有

(iii)当子流形的余维数为p ≥2 且F1≥0 时,有

(iv)当子流形的余维数为p ≥2 且F1≥0 时,有

证明只证明上面的(ii),其余类似可证.因为φ:Mn→Nn+p是泛函L(II,n,F)(φ)的临界点,由定理3.1 可得

将引理5.9 中的(ii)积分可得

利用斯托克斯分部积分公式可得

按照临界点方程整理可得

最终可得

定理5.2(ii)得证.

当外围流形是空间形式Rn+p(c)时,可知黎曼曲率

结合定理5.2 可得如下推论.

推论5.2假设空间形式中的子流形φ:Mn→Rn+p(c)是泛函L(II,n,F)(φ)的临界点.则

(i)当子流形的余维数p=1 时,有

(ii)当子流形的余维数为p ≥2 时,有

(iii)当子流形的余维数为p ≥2 且F1≥0 时,有

(iv)当子流形的余维数为p ≥2 且F1≥0 时,有

注5.1推论5.1 和5.2 中积分等式和不等式统一了文献[8,9,15-19,22-27]中的积分等式和不等式,还可以根据函数F的特殊形式得出全新的积分等式和不等式.

6 临界点的间隙现象

为了处理积分等式和不等式边界点的间隙现象，我们需要文献[3,4]中的三个重要结果.为了表述方便,对于超曲面,我们选定标架场使得hij=0,=hii.

引理6.1([3])设φ:Mn→Sn+1(1)是单位球面中满足∇h≡0 的超曲面.那么φ只有两种情形: (i)h1=···=hn=λ=constant 并且M是全脐的(λ ＞0)或者全测地的(λ=0); (ii)h1=···=hm=λ=constant＞0,hm+1=···=hn=1≤m ≤n-1 并且M是如下环面

基于第5、6 节中的引理,我们可以推导出如下的定理,这些定理刻画了泛函L(I,n,F)(φ)和L(II,n,F)(φ)的临界点的间隙现象.

定理6.1设超曲面φ:Mn→Sn+1(1)是泛函L(I,n,F)(φ)的临界点并且函数F满足F1＞0及

如果临界点还满足0≤S ≤n,则S≡0 或者S≡n.当S≡0 时φ是全测地超曲面,当S≡n时φ是环面类Gm,n(参见例4.4)中满足泛函L(I,n,F)(φ)的临界点方程

的特殊环面.

证明由推论5.1 中的(i)可得

因为F1＞0 并且0≤S ≤n,等号左边项和等号右边第二项必有

又根据函数F满足的积分条件可知等号右边的第一项必有

因此,

从而

当S≡0 时,子流形φ是全测地超曲面;当S≡n时,因为∇h≡0,根据引理6.1,子流形φ是环面,再根据例4.4 可知,属于环面类Gm,n,还必须满足临界点方程.

定理6.2设子流形φ:Mn→Sn+p(1)(p ≥2)是泛函L(I,n,F)(φ)的临界点并且函数F满足F1＞0 及

证明由推论5.1 中的(iii)可得

又根据函数F满足的积分条件可知等号右边项必有

定理6.3假设超曲面φ:Mn→Sn+1(1) 是泛函L(II,n,F)(φ) 的临界点并且函数F满足F1＞0 及

如果临界点还满足0≤ρ ≤n,则ρ≡0 或者ρ≡n.当ρ≡0 时φ是全脐超曲面,并且全脐参数λ满足方程

当ρ≡n时φ是环面类Wm,n(参见例4.4)中满足泛函L(II,n,F)(φ)的临界点方程

的特殊环面.

证明由推论5.2 中的(i)可得

因为F1＞0 并且0≤ρ ≤n,等号左边项和右边第二项积分必有

又根据函数F满足的积分条件可知等号右边的第一项积分必有

因此有

由基本的代数知识和Huisken 估计得

当ρ≡0 时,子流形φ是全脐超曲面,再根据例4.2,全脐参数必满足定理中所述的代数方程; 当ρ≡n时,因为∇h≡0,根据引理6.1,子流形φ是环面,再根据例4.4 可知,φ属于环面类Wm,n,且满足临界点方程.

定理6.4设子流形φ:Mn→Sn+p(1),p ≥2 是泛函L(II,n,F)(φ)的临界点并且函数F满足F1＞0 及

证明由推论5.2 中的(iii)可得

又根据函数F满足的积分条件可知,等号右边项必有

注6.1定理6.1 至定理6.4 统一了文献[8,9,15-19,22-27]中的间隙定理,还可以根据函数F的特殊形式得出全新的间隙讨论.例如,我们构造形如

的函数,通过调节参数α1,α2,α3,β3,γ3,δ3,λ3,α4,β4,···,使得这些函数满足定理6.1 至定理6.4中的条件(F1(u,v),F2(u,v)是容易做到的),就可以得到新的泛函并进行间隙讨论.

7 结论

第二基本型模长平方S、平均曲率模长平方H2、迹零第二基本型模长平方ρ=S-nH2是子流形三类重要的低阶曲率,分别代表了全测地、极小和全脐的测度.本文构造了它们的抽象泛函,计算了它们的第一变分公式,并以此为基础在单位球面中构造了例子,其中全测地、全脐、环面、Vernonese 曲面以及极小、爱因斯坦子流形都是泛函临界点的重要代表,利用拉普拉斯算子和斯托克斯分部积分公式建立了泛函临界点的积分不等式,基于陈省身类型不等式、李安民类型不等式和Huisken 不等式讨论了间隙现象.不出意外的是,间隙端点无外乎全测地、全脐、环面和Vernonese 曲面.本文包含了多类著名泛函的相关研究结果,还可利用函数的抽象性得到新的结论.作为本文的后续,我们还可以基于积分不等式讨论泛函临界点的全局间隙现象,计算泛函的第二变分,讨论临界点的稳定性,也可以研究子流形的微分算子的特征谱,进一步可在子流形锥上探讨临界点概念的变化规律等.