刘进

(国防科技大学系统工程学院,长沙,410073)

1 引言

假设φ:Mn→Nn+p是一般外围流形中的一个n维紧致无边的子流形.有时我们选定外围流形Nn+p为n+p维的空间形式Rn+p(c).当c=1,0,-1 时,Rn+p(c) 分别代表单位球面Sn+p(1),欧几里得空间En+p和双曲空间Hn+p(-1).沿着M选定正交活动标架

使得{e1,···,en} 是M的切丛标架,而{en+1,···,en+p} 是M的法丛标架.它们的对偶标架场分别为{θ1,···,θn} 和{θn+1,···,θn+p}.子流形的一个基本事实是: 当限制在M上时有θn+1≡···≡θn+p≡0.

本文约定:

利用活动标架和对偶标架可将子流形φ:Mn→Nn+p的第二基本型表示为

称H2为平均曲率模长的平方,S为第二基本型模长的平方,ρ为迹零第二基本型模长平方或者Willmore 不变量.显然三类曲率都是非负的.又因为子流形φ是紧致的,所以H2,S,ρ都有上界.在微分几何中,有三类重要的子流形分别通过上面三类低阶曲率来定义:H2≡0 对应的子流形称为极小子流形,S≡0 对应的子流形称为全测地子流形,ρ≡0 对应的子流形称为全脐子流形.

曲率H2和体积泛函密切相关.体积泛函Vn(φ)=∫Mdv是子流形最简洁的泛函,其临界点方程为H2=0.文献[1,2]计算了该泛函的一阶和二阶变分公式,讨论了其临界点的稳定性,建立了临界点的积分不等式,得到如下结论: 如果φ:Mn→Sn+p(1)是单位球面中的极小子流形,则有

曲率S是子流形第二基本型的模长的平方,它测度了子流形和全测地子流形的点态差异.受文献[6,7]以及经典Willmore 泛函的启发,文献[8,9]分别构造了和S相关的如下泛函

其中r是实数,F: [0,+∞)→R 是抽象的光滑函数.文章计算了两类泛函的第一变分,构造了例子,推导了积分不等式,讨论了间……