高金泽,黄斐君,韩润泽,张 昊,景鹏飞

(1. 北京师范大学 物理学系,北京 100875; 2. 中国科学院高能物理研究所 粒子天体物理重点实验室,北京 100049)

本文探究的问题源于第34届国际青年物理学家锦标赛(IYPT)的课题之一:浸润在超声波水浴中的细管像泵一样把水提升到一个相当的高度,如图1. 这一现象被称为超声毛细现象,它是由超声波空化效应产生的冲流压造成的[1,2]. 空化效应是指存在于液体中的微气核空化泡在声波的作用下振动,当声压达到一定值时发生的生长和崩溃的动力学过程,气泡被压缩直至崩溃的一瞬间,会产生巨大的瞬时压力[3].

图1 未超声浴与超声浴对比示意图

关于此现象,有的研究认为造成细管内液面显著升高的空化效应与超声波声压幅值大小成正相关[2],有研究说明了超声功率、液面高度等不同因素对空化效应的空间分布特性的影响[4],但均未探究空化效应产生的冲流压的具体数值与在水浴内的分布.实际上,根据超声波声压、环境压强和空化泡半径等物理量将能计算空化效应的冲流压大小,进而得到液面上升高度的理论值. 为了方便阅读,本文用到的所有物理量及其含义列在表1中.

表1 物理量及其含义

1 空化效应基本理论

1.1 宏观力学分析

超声波声源位于水浴底部,近似看作点源. 实验结果表明[5,6],仅由声压作用造成的水面上升高度比实际观察到的高度要小一个数量级以上,且只有声压幅值达到空化效应的阈值时,水面才出现显著的上升。因此,声压对超声毛细现象的直接贡献很小,主要通过影响空化强度间接影响管内水面的高度。故本文探究水位提升的原因主要由两部分组成:毛细作用和超声波特有的空化效应导致的冲流压.

液面在细管中上升的高度记为ΔH,其由毛细作用产生的ΔHc和超声波的作用产生的ΔHp两部分引起,如图2所示,产生的总压强Δp满足

图2 未超声浴与超声浴管内水面高度对比示意图

Δp=ρgΔH

(1)

未打开超声波泵时,毛细管内水面在毛细作用下上升一段高度ΔHc并保持平衡,其满足[7]

(2)

其中σ为表面张力系数,ρ为液体密度,g为重力加速度,r0为细管半径,θ是浸润角.由于水与管壁的浸润,对于水和洁净的玻璃,近似有

θ≈0

(3)

则表面张力的附加压强:

(4)

打开超声波泵,水面继续上升ΔHp,满足[6,8]

ps=ρgΔHp

(5)

ps为宏观冲流压,即空化效应产生的压强[9,10].

1.2 COMSOL仿真声压分布

通过COMSOL Multiphysics仿真软件进行仿真,得到系统的声压分布.其中,超声波泵的超声功率P=80 W,超声频率f=40 kHz,声速c=1 482 m/s,超声波波长λ=0.037 05 m,液体密度ρ=1 000 kg/m3.

在压力声学的频域(ACPR)模块模拟,超声波在水浴中传播的声压pr满足亥姆霍兹方程

(6)

其中,ω为超声波的角频率。圆柱形水浴半径10 cm,高20 cm,令半径0.3 cm,高30 cm的细管插入水浴中,得到声压分布,如图3所示.

图3 容器内声压分布图

图4 空化效应显著范围示意图

图5 空化泡半径R(x,t)

图6 空化泡半径变化率dR/dt

根据声压幅值可以判断空化效应的有效发生区,并将对应数值代入式(7) ～(11)进行计算.

1.3 宏观冲流压

空化泡急剧压缩、崩溃的瞬间会产生巨大的瞬时压力,在水中形成高速喷射的冲流,冲流定向移动产生宏观冲流压ps[11],使得细管内液面显著上升.

设空化泡运动过程绝热,空化泡稳态半径为R0,瞬态半径为R.设环境温度为T=308.15 K,根据公式计算得介质比热为γ=1.33,表面张力系数为σ=0.070 4 N/m,黏度为μ=7.43×10-4Ns/m2,环境压强p0=1.013×105Pa,水的饱和蒸汽压为pv=5.63×103Pa,则由空化泡振荡模型理论[12]：

(7)

其中pt=p0-pv+2σ/R0为与时间无关的压强量,κ(R)=(R0/R)3γ为绝热过程带来的无量纲数,与空化泡瞬态半径有关,pa是超声浴内的声压幅值.

由pt、κ、pv可以表示泡内气体压强pin(R):

pin(R)=pv+pt*κ(R)

(8)

单个空化泡崩溃时的冲击波产生的压强为[13]

(9)

其中p1、p2满足

其中r是某点距空化泡的距离,Λ=Rmax/Rmin,pe是周围液体介质的静压强,pgl是空化泡达到最大半径时泡内的压强,即(8)式pgl=pin(Rmax).Rmax是空化气泡在超声波的负压相逐渐膨胀的最大半径,Rmin是之后空化气泡在超声波正压相下压缩至的最小半径,二者可以通过MATLAB计算的R和dR/dt随时间变化的图像中得到,如图7—图9所示.

图7 pa=1.1×105Pa时R(t)与

图8 pa=1.4×105Pa时R(t)与

图9 pa=1.7×105Pa时R(t)与

空化效应发生需要液体声压达到一定阈值,为确定空化效应的发生范围,需要用到超声波水浴中声压大小的分布.空化效应发生的声压阈值满足Blake声空化阈表达式[12]：

(10)

声压在该阈值pB以上的区域称为有效发生区,如图4.假设空化效应的有效发生区为距声源距离为D的半球形区域,设细管底部距离容器底部的距离为d,外部水面距离容器底部的距离为H.

在实际情况中,一定时间一定体积内存在着多个空化泡,存在多个空化泡的形成和溃灭,该相变过程称为成核事件[14].设单位时间单位体积内成核数为成核率J,则空化效应产生的压强和成核率成正相关,成核率满足[15]

(11)

在室温T=308.15 K情况下,J0满足文献[11]中定义,由式(11)可得成核率J=7.5×105sm3.

根据式(9),位于r位置的气泡对水面的冲流压为p(|r-d|),如图4采用的是球坐标,θ是空间点的俯仰角,则空化有效发生区内总冲流压ps为

(12)

通过MATLAB求解常微分方程式(7),得到R和dR/dt随时间变化的图像,从而得到相应的Rmax、Rmin代入式(9),再通过积分得到宏观冲流压ps,根据式(5)得到液面上升高度随距声源距离变化的理论曲线.

2 MATLAB程序模拟

设置超声频率f=40 kHz, 声速c=1 482 m/s,超声波波长λ=0.037 05 m,液体密度ρ=1 000 kg/m3,利用MATLAB模拟计算.图5、6分别展示了空化泡半径和空化泡半径变化率随时间、空间的变化情况.可见,空化泡半径随着时间周期性变化,且离声源的距离越远,空化泡半径的值也越小.

分别令声压幅值pa为1.1×105Pa,1.4×105Pa,1.7×105Pa,空化泡的半径及其变化率随时间的变化如图7～9所示.随着声压幅值的增加,空化泡半径在一个周期内随时间的振荡现象显著减弱,气泡超声空化现象的剧烈程度迅速增加.

分别将不同将声压幅值情况下的Rmax、Rmin从计算结果中提取出来,代入式(9),通过式(12)积分得到宏观冲流压ps.

3 实验探究

3.1 实验装置

如图10所示,实验装置由超声波清洗机、有机玻璃细管、铁架台、刻度尺组成．

图10 实验装置示意图

超声波清洗机提供超声波,铁架台用来固定细管入水深度,刻度尺用来测量细管内液面上升高度．超声波清洗机的超声功率为80 W,超声频率为40 kHz.有机玻璃细管外径3.0 mm,内径1.7 mm．实验装置实物图如图11所示．实验过程中,通过手机录像调制帧率60 fps,记录细管管底距声源不同距离时管内液面上升高度,并用Tracker软件逐帧追踪取上升高度关于时间的平均值ΔHp.

图11 实验装置实物图

3.2 实验结果及理论验证

将有机玻璃细管置于距声源不同距离进行实验,得到相应的液面上升高度ΔHp. 实验值与式(12)得到的理论曲线对比如图12,二者基本相符.横坐标的误差棒由刻度尺误差决定,纵坐标的误差棒由细管内液面高度随时间变化的标准差估计,Tracker内置算法、摄像时差和视频标点等的误差约为1 mm[16],相较于液面高的时间标准差可忽略不计.

图12 液面上升高度与距声源的距离关系图象

由于超声波清洗机的超声功率和超声频率不可变,本文只验证了液面上升高度随管底距声源的距离的关系. 由上述分析,超声功率只对COMSOL模拟的声压有影响,超声功率越大,声压幅值越大,与管底距声源的距离减小带来的效应是相似的;而超声频率会影响空化泡的振荡过程,在我们的理论中只用到了振荡过程中的空化泡半径最大值和最小值,所以对超声毛细现象没有影响. 这两方面的实验验证需要功率与频率可调节的超声波发射仪.

4 总结

本文根据超声空化理论对细管内液面升高的超声毛细现象进行了解释,探究了插有细管的超声波水浴内的冲流压大小,将上升高度的实验值与理论值相比较,验证了冲流压作用使得管内液面高度出现显著的上升.

在空化泡动力学理论部分,通过COMSOL模拟水浴内声压分布,得到声压的大小.利用MATLAB解偏微分方程并积分得到空化泡半径及其变化率随空间、时间的变化情况.计算了在不同声压幅值条件下空化泡半径及其变化率随时间的变化情况,进而积分计算冲流压的大小.

在实验操作部分,通过实验装置记录细管距声源不同距离时,管内液面上升高度的平均值?Hp.将实验值与理论值对比,实验结果与理论相符,通过空化效应理论解释了超声毛细作用导致的细管内液面高度上升现象.