陆海翔,苏振超

(厦门大学嘉庚学院 土木工程学院,福建 漳州 363105)

这两年由于新冠肺炎疫情肆虐,众多高校停止线下教学,启动线上教学. 因手边缺少理论力学适当的教学素材,作者在网络 “原创力文档”平台上,菜单“文档分类>高等教育>工学”下,下载了一篇PPT文档《刚体平面运动习题课》[1], 该文档有一题如下:“如图1所示,齿条AB带动半径为r=5 cm的齿轮在水平齿条上纯滚动,齿条A点作匀速直线运动,vA=30 cm/s, 当θ=60°时,求齿轮及齿条的角速度与角加速度.”

图1

该文给出的结果:

ω轮=2 rad/s(),ωAB=2 rad/s(),α轮

在该题的求解过程中,作者将齿轮上D点加速度与齿条AB上D点加速度混为一谈,导致错误的结果.本文认为,其根本原因是混淆了铰链联结与齿轮齿条啮合传动的区别,从机构运动学角度看,即混淆了转动副与齿轮齿条副的区别.

齿轮传动的啮合过程是轮齿间的相对滑动,但两轮齿廓的啮合点不论在任何位置,啮合点的公法线与两轮连心线的交点位置不变,该点称为齿轮传动节点.齿轮传动节点在齿轮平面上的投影称为齿轮节点,齿轮节点的运动轨迹称为节圆,两齿轮的节圆相切于齿轮传动节点处,两轮节点的速度相等.因此,两齿轮的啮合传动可视为两轮节圆作纯滚动.齿条可以看成半径为无限大的齿轮,齿轮齿条啮合传动时,齿条的节圆变成节线,因此,齿轮与齿条的啮合传动可以视为齿轮节圆与齿条节线作纯滚动.图1中的D点正是齿轮与齿条传动节点,本文不讨论齿轮传动啮合点的运动,只讨论齿轮传动各节点的运动.

在理论力学教科书中,常见的运动构件联结是铰链联结和滑动联结.两构件铰链联结(转动副),铰结点有相同的速度和相同的加速度,而两构件的光滑接触(滑动副),接触点的速度和加速度都不相同,只是接触点的相对速度一定沿着接触点的公切线方向.而齿轮啮合传动或齿条啮合传动,只是各自节点速度相同,加速度却不相同的.由于此类问题比较典型,也是学生学习中的易错问题,下面分别用几何法和解析法详细讨论.

1 几何法求齿轮与齿条的角速度和角加速度

齿条AB带动齿轮在水平齿条上纯滚动,即齿轮与齿条AB都是作平面运动.图2中,D是齿轮与齿条传动节点,齿条上的节点记为D1,齿轮上的节点记为D2,两点的速度相等,即vD1=vD2.

图2

1.1 求齿轮与齿条的角速度

齿轮在水平齿条上纯滚动,M点为齿轮的速度瞬心,因此D1、D2速度方向已知.作MD的延长线和vA的垂线,得齿条AB的速度瞬心P(见图2).故有

而

1.2 求齿轮与齿条的角加速度

图3中,以齿轮节点D2为动点,以齿条AB为动参考体,根据点的合成运动加速度合成定理,有aD2=ae+ar+ak.因为齿条节点D1是动点D2的牵连点,所以ae=aD1,则

图3

aD2=aD1+ar+ak

(1)

ωr=ω轮+ωAB=(2+2) rad/s=4 rad/s()

ak为节点D2的科氏加速度.因为齿轮上节点D2与齿条上节点D1速度相等,所以D2相对齿条AB的速度vr=0,则D2的科氏加速度ak=0, 则式(1)简化为

aD2=aD1+ar

(2)

式(2)建立了节点D1、D2加速度之间的关系.以齿轮为对象,以齿轮速度瞬心M为基点,求齿轮上节点D2的加速度,得

(3)

以齿条AB为对象,以齿条的端点A为基点,求齿条上节点D1的加速度,得

(4)

(5)

(6)

式(5)两边在y方向投影,得

(7)

式(6)、(7)联立,解得

2 解析法求齿轮齿条的角速度和角加速度

θ=60°作为运动的初始时刻,设任意时刻齿轮的转角为φ,齿条AB与水平齿条的夹角为θ,并假设齿条AB上的A端作匀速直线运动.建立直角坐标系如图4所示.

图4

(8)

为了分析齿轮与齿条的运动,需要建立A点坐标与齿轮转角φ和齿条转角θ之间的关系.在图中AN与AE1是圆外过同一点的两条切线,所以AE1=AN=xA-xC,则在水平方向有

xA=xC+rsinθ+AE1cosθ=

xC+rsinθ+(xA-xC)cosθ

因为齿轮在水平齿条上纯滚动,有xC=rφ,即xA=rφ+rsinθ+(xA-rφ)cosθ,整理,得

xA(1-cosθ)=rsinθ+rφ(1-cosθ)

(9)

所以齿条AB与水平齿条的夹角

(10)

式(9)两边对时间t求导,得

(11)

由初始条件:

(12)

式(10)两边对时间t求导,再令t=0,得

(13)

式(12)、(13)联立,解得

即,在运动初始时刻,ω=2 rad/s(),ωAB=2 rad/s().式(11)两边对t求导,并注意到得

(14)

在运动初始时刻

(15)

式(10)两边对时间t求两阶导,再令t=0,得

(16)

式(15)、(16)联立,解得

即在运动初始时刻

解析法与几何法的结果一致.

3 齿轮传动节点加速度的一个重要性质

齿轮传动或齿轮齿条传动,其节点的速度是相同的,但其节点的加速度是不相同的.本文有如下结论:不管齿轮或齿条是作定轴转动还是作平面运动,各自节点的绝对加速度在节点公切线方向的投影相等.证明如下:

设两圆柱齿轮啮合传动,当其中一个齿轮的半径趋近于无穷大时,就变成齿条,齿轮传动就变成齿轮齿条传动.齿轮或齿条的运动既可以是定轴转动也可以是平面运动,见图5.

图5

选择其中一个齿轮(称为齿轮1)上的节点为动点,设齿轮1的节点为P1、半径为r1、轮心为O1;再选另一个齿轮或齿条(称为齿轮2)为动参考体,齿条可看成轮心在无穷远处的齿轮,设齿轮2的节点为P2,轮心为O2.动点是节点P1,动点P1的牵连点节点P2.ar

根据点的合成运动加速度合成定理aa=ae+ar+ak,aa=aP1,ae=aP2,则有

aP1=aP2+ar+ak

(17)

式(17)中,ak为动点P1的科氏加速度.因为齿轮1节点P1与齿轮2节点P2的速度相等,所以P1相对齿轮2的速度vr=0,则无论齿轮2作什么运动,则动点P1的科氏加速度ak≡0.则

aP1=aP2+ar

(18)

连心线O1O2与节点的公切线t-t垂直,ar沿着连心线O1O2方向,所以ar在节点的公切线t-t的投影为零,则式(18)向公切线方向投影,得

[aP1]t-t=[aP2]t-t

(19)

(-20cos60°+40)cm/s2=30 cm/s2,

4 结论

2) 随着互联网的蓬勃发展,教师和学生可以便捷获取更丰富的教学参考资料,但由于互联网平台信息来源的广泛性,加上没有严格的审核机制,存在着大量错误信息,这比没有信息对学生造成的危害更甚,所以建议广大教师和学生在选用相关例题、习题的解答时要慎重,以免得到错误结论.