□周 洁

“做中学”是学科实践中的学习方式之一。那么，对于“变形的艺术”这样全新的拓展内容，学生能在好奇心的引领下进行操作，通过操作获得活动经验，依据经验进行数学分析，借助分析推动想象、创造吗？如果能，具体该如何教学呢？

一、课前思考

在小学阶段，“图形与几何”领域的两大主题内容为“图形的认识与测量”和“图形的位置与运动”。《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《课程标准》）指出，学生经历这些内容的学习，有助于理解现实生活中空间物体的形态与结构，是形成空间想象力的经验基础。不过，除了按教材中的教学内容进行教学，还有没有可能以综合实践活动的方式，设计专门的拓展内容，让学生通过判断图形的形状、大小及运动位置关系来发展空间想象力？

江苏卫视《最强大脑》节目有一个挑战项目叫“变形艺术”，该项目非常考验玩家的空间想象力和分析能力。“变形艺术”原本是文艺复兴时期的艺术创作手法，其特别之处在于，画家在平面上画一些抽象的图像，而观赏者需要利用镜面反射原理，使用定制的曲面镜（如圆柱形镜子、球镜等）才能欣赏作品。常见的平面镜成像与数学中的轴对称变换关系密切，而曲面镜成像会使图像发生一定变形，通过从平面到曲面的反射，就可以实现从抽象到具象的转换。对小学生而言，这是一项具有挑战性的空间想象活动。笔者受此启发，借鉴“变形艺术”的设计理念，将“烧脑”的挑战项目转化为学生可实际操作、自主探究的拓展内容。具体教学目标如下。

（1）在探索“变形的艺术”的秘密的过程中，通过引导学生想象图形的原图或镜像，激发学生的好奇心与求知欲。

（2）通过“变形”活动，让学生了解和体验多种图形运动方式，在图形变换中发展空间观念，提升空间想象力。

（3）通过有层次的活动，让学生将操作与想象、推理、表达等有机结合起来，发展空间观念，提升空间想象力。

二、教学实践

（一）视频导入，开启想象空间

好奇是人的本能，当学生开始好奇某个现象并对其产生疑问时，就说明他已经开始思考了。这时候开展探究学习活动，能让学生全身心投入，在好奇心的引领下缩短现实与想象的距离。

课堂伊始，教师播放综艺节目《最强大脑》中有关“变形艺术”的片段。在学生的惊叹中，教师出示图1，并提出问题：你能想象出这个图案在圆柱形镜子（以下简称“圆柱镜”）中可能是什么吗？

图1

学生观察后，提出五花八门的猜想：叶子、彩带、小海燕……接着，教师请一名学生用圆柱镜来验证猜想，亲眼见证镜像的产生，从而发现这原来是学校校徽中的小海燕（如图2）。

图2

设计意图：从《最强大脑》节目的挑战项目引入，激发学生的学习热情和好奇心，促使他们展开思考与想象，开启探索学习活动。接着，通过让学生经历直觉想象，猜想图片在圆柱镜中的镜像并现场揭秘，使他们初步感受变形艺术的魅力，为用数学眼光观察“变形的艺术”的奥秘做好热身。

（二）多图观察，形成想象基础

学生探究的热情很容易因为没有研究方向而慢慢消退，所以教师要及时提高学生的感觉清晰度，也就是增强学生的感受，并在此过程中提高他们的感受力。教师要让学生的身体感官与他们的认知对象充分接触、交流，使学生得到鲜活的感官刺激，从而促进他们的大脑进行知识加工。

在学生初步了解“变形”活动之后，教师以杭州迎亚运为背景，呈现和亚运会有关的3 幅图：邀请函、新能源车和亚运会标（如图3）。请学生想一想这3幅图在圆柱镜中会怎么变形。

图3

在教学反馈环节，教师让学生说一说这3幅图在圆柱镜中分别会发生什么变化，但并不作评价，目的是让学生发挥想象力。开展想象活动之后，再让学生带着学习任务，动手用圆柱镜照一照，看看图片在圆柱镜中会怎么变形，验证图片的变化（如图4）。接着，让学生同桌交流自己的发现，尝试用语言表达原图和镜像之间的关系，并结合具体图片解释发现的合理性。

图4

在验证操作和观察镜像后，有的学生发现：原图和镜像方向相反，需要通过想象将原图向上翻转才能得到镜像。教师引导学生一起想象，然后用课件展示向上翻转后的图像（如图5）。有的学生指出：“直的线变弯曲，弯曲的线变直。”教师追问：“为什么会有这样的变化？”引导学生深入思考：圆柱镜侧面是弯曲的，因此翻转后的图像会“沿柱面弯曲”。还有学生指出“镜像变长变窄了”，于是教师组织学生一起按顺序从左往右观察，进而发现镜像还会“向中间收缩”。

图5

设计意图：教学时，教师紧紧抓住学生的好奇心，提供多幅图片，让学生经历想一想、照一照、看一看、说一说的过程，感知原图和镜像之间的关系，初步体会变形的奥秘。学生经历猜想、操作、表达的完整过程，从而将直觉经验用语言描述出来。

（三）操作助力，推动想象跨越

想象是对头脑中已有的表象进行加工、改造和创新的思维过程。教师在学生已有经验基础上，适时提供由易到难的材料，能够推动学生实现从“有镜”到“无镜”的想象跨越。

在学生初步感知原图与镜像之间的关系后，教师出示图6，提出挑战性任务：你们能想象这些变形画在圆柱镜中是什么图案吗？

图6

学生独立思考后，教师让学生先在小组内讨论交流，用语言描述想象的图案，再在全班汇报。在学生表达时，教师用课件演示翻转和变化的过程（如图7）。

图7

设计意图：学生经历直观感觉、操作观察、语言表达等活动过程，认识到图像在圆柱镜中不仅会向上翻转，还会沿柱面弯曲、向中间收缩。学生通过先想象，再用圆柱镜验证的过程，逐渐从感性体验上升到理性认识。

（四）推理实践，促使想象可视

在教学活动中，教师要注意培养学生对图形进行推理分析的能力，使学生在解决问题的过程中，不仅能理解，还能运用已掌握的数学知识主动进行分析和应用。

经过想象，学生学会了看图。教师继续引导学生迎接更大的挑战：要想在圆柱镜中看到底是8格、高是2格的等腰三角形，对应的变形图怎么画？你想选择哪种格子图来画（如图8）？

要从镜像中看到三角形画在方格图上，那么原图中的方格要做怎样的变化呢？经过讨论，学生一致认为要选③号图（以下将这种由方格图变形后形成的图简称“曲格图”）来画三角形，因为它在圆柱镜中会翻转，往外张开的线向中间收缩后会变直。

显然，学生此时已经初步掌握了圆柱镜变形的规律。在此基础上，教师让学生尝试在曲格图中画一画等腰三角形对应的变形图。学生需要先独立尝试，再分享画变形图的方法。通过实践，学生以自己的作品（如图9）为例，指出三个关键的画法：（1）要将等腰三角形向下翻转；（2）因为等腰三角形底边占方格图的8格，并距底部2格，所以底边在曲格图中要距顶部2格，并且要变成曲线；（3）方格图中的“高”是2格，所以在曲格图最中央的位置向下数2格就是顶点，最后还要用弯曲的线将顶点与底边连接起来。

图9

学生分享自己的方法后，教师追问：“这名同学能画成功，你觉得最关键的是什么？”学生异口同声地回答：关键是要找准3个点的位置。教师顺势展示另一幅作品（如图10）进行对比，并提问：“这名同学也找准了这3个点的位置，怎么在圆柱镜中还是不像等腰三角形？”学生继续对比分析，指出两腰的中点在方格图的格点处是关键点，因此也要画在曲格图中对应的位置。在此基础上，教师引导学生继续思考：在我们学过的数学知识中，有没有能帮助我们快速找到点位置的方法？经过讨论，学生认识到可以借助“数对”来确定点的位置。于是教师在学生的作品中标上“数对”（如图11），并建议学生在后续创作中也可以标一标、试一试。

图10

图11

设计意图：在本环节中，教师让学生经历自主推理的过程，认识到变形图要画在曲格图中。在学生绘制出等腰三角形的变形图后，再组织学生对比交流。学生通过这样的绘制、表达、倾听、对比、优化的过程，进一步发展推理和空间想象能力。在注重变形想象的同时，教师还引导学生用“数对”确定点的位置，体会图形的形状虽然变了，但经过相同规则的变化后，各部分的相对位置却不变，理解了图形的运动不变性。

（五）自主构建，拓展想象深度

想象是最自由的思考。在课堂中，教师要给学生提供充分的时间进行想象，不断丰富学生的想象体验，为学生的思维由具象向抽象发展打下基础。

到了学生自由创作阶段，教师请学生自由构思变形画：想象原图与镜像，在曲格图中画出变形图。有了前面活动的基础，学生的想象力得到了明显的提升，画出了各种各样的变形图（如图12）。

图12

设计意图：有了方法和经验，只要给学生提供充分的时间，他们就能创造出丰富多彩的作品。整个创作过程以“想象”为基础，学生经历“想象—尝试—验证—调整—想象”的过程，在轻松的氛围中，想象力得到了有效提升。

三、教后所思

美国教育心理学家大卫·洛曼是这样定义空间想象力的：“空间想象力是一种形成、保持、恢复和传输结构良好的视觉图像的能力。”［2］在“变形的艺术”的教学实践中，教师引导学生在操作后用语言将观察到的变形规律描述出来，让想象有迹可循，并能用个性化的表达方式进行表征。学生对“变形的艺术”奥秘的探究不是一次性完成的，整个探究过程一共用到了以下5份学习材料。

1.“小海燕”变形图。这是视频导入的学习材料，能激发学生的好奇心。当然，这时学生的想象只是一种直觉想象。而在探究变形的奥秘后再次呈现这幅图，就是引导学生对先前的直觉想象进行突破性的再认识，从而使学习形成一个闭环，前后呼应。

2.3幅原图。在原图和镜像的对比中，学生第一次用自己的语言描述了变形的规律与特点。正是这3幅变形特点鲜明的关键性图片，使学生从感性体验慢慢走向理性认识，并让后续每一次的想象有迹可循。

3. 3 幅变形图。这是学生概括出变形特点后第一次应用时的材料，也是让学生实现从原来需“有镜”助力想象到现在可以“无镜”自主想象的认知跨越材料。助力学生展开理解性想象，在增加学生体验感的同时，也提升了他们的获得感。

4.方格图与对应的曲格图。这是在已知变形特点后组织学生讨论、推理并决策的材料，引导学生对变形特点进行再次应用。通过请学生尝试画出等腰三角形对应的变形图，引导学生从原有的知识体系中提取“一一对应”“数对”等知识，帮助学生解决变形图怎么绘制才能让镜像特征明显的问题。

5.学生自主创作的作品。在课堂的最后让学生自主绘制变形图，满足学生个性化发展的需要，同时拓宽学生生成作品的宽度，让学生看着变形图再次想象镜像，实现生生互动。

总之，“变形的艺术”的拓展内容让学生在好奇心的引领下，通过观察、操作、表达、推理、想象等学习活动，增强对图形变换进行全面分析的能力。正因为学生的空间想象力发展有限，抽象概括能力较弱，所以更需要操作活动的外在支持。操作活动将想象与现实进行链接，搭建了学生空间想象力发展的阶梯，使学生在验证与对比中给想象以正向反馈或修正的机会，促进了学生空间想象力的发展。