汪晓勤　邹佳晨

【摘 要】中国传统数学的历史是中华优秀传统文化最重要的组成部分，要让中华优秀传统文化进入数学课程和教学，教师首先需要充分利用中国传统数学的历史资源。研究者从《九章算术》中“等差数列问题”“阳马和鳖臑问题”出发，设计留白创造式教学的系列任务，并提出基于中华优秀传统数学文化的若干留白策略：古名今辩，留陈述之白；古题今解，留方法之白；古术今推，留论证之白；古法今用，留发现之白；古问今编，留问题之白；古算今思，留超越之白。

【关键词】中算史；等差数列；鳖臑；阳马；留白创造式

一、引言

自2021年教育部颁布《中华优秀传统文化进中小学课程教材指南》以来，如何将中华优秀传统文化融入学科教学，成了学术界和一线教师十分关注的课题。就数学学科而言，中国传统数学的历史（以下简称中算史）是中华优秀传统文化的重要组成部分之一，要让中华优秀传统文化进入数学课程和教学，教师首先需要充分利用中算史的资源。中国传统数学有着悠久的历史、辉煌的成就和丰富的内容，中算史既是数学教学的目标，也是数学教学的工具，其潜在的教育价值有待于人们去挖掘。如果仅仅将中算史视为数学教学的目标，那么教师可能仅仅会采用附加式进行教学，如介绍中国古代数学成就、数学家及其数学著作；但如果将中算史视为数学教学的工具，那么教师就需要采用更多的方式去运用有关素材，包括概念、问题、命题、法则、思想方法等，具体方式有复制式、顺应式甚至重构式。

数学史告诉我们，前人留白，后人创新，留白是创新的必要条件［1-2］。类似地，在数学课堂上，教师只有留白，方能引发学生的创新，这正是留白创造式教学［3］的要义。由于古今数学表达方式、思想方法迥然不同，原原本本运用中算史料必然是远远不够、甚至是没有必要的。在留白创造式教学中，教师需要以中算史料为出发点设计问题，为学生提供广阔的思维空间和足够的探究机会，以培养创新能力，落实学科德育，从而充分发挥中算史的多元教育价值。本文以汉代数学典籍《九章算术》中的若干主题为例，从数学教学工具的角度来讨论中算史在高中数学留白创造式教学中的应用。

二、等差数列问题

（一）《九章算术》中的等差数列问题

《九章算术》均输章设有以下两个等差数列问题。

问题1 今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等。问：各得几何？

问题1用今天的符号语言来表达就是：在等差数列a1，a2，a3，a4，a5（ai＞0，i=1，2，3，4，5）中，已知S5=5，a1+a2+a3=a4+a5，求ai。《九章算术》是从配分比例的视角来解决问题。考虑从1开始的正整数列1，2，3，4，5，该数列前3项之和为6，后2项之和为9，不满足所求数列所要求的条件——前3项之和与后2项之和相等。在每项上加一个数p，得到数列1+p，2+p，3+p，4+p，5+p，使得（1+p）+（2+p）+（3+p）=（4+p）+（5+p），即p=[9-63-2]=3，于是得到一个满足条件“前3项之和与后2项之和相等”的数列4，5，6，7，8。这就是说，所求数列各项之比为4∶5∶6∶7∶8，因其各项之和为5，故得各项依次为[430]×5，[530]×5，[630]×5，[730]×5，[830]×5。

三、阳马和鳖臑问题

（一）阳马与鳖臑

中国古代有着完备的多面体体积理论，《九章算术》给出了方亭、方锥、堑堵、阳马、鳖臑、羡除、刍甍、刍童等多种立体图形的体积计算方法，这些方法都是正确的。在这些立体图形中，最基本的图形是鳖臑。刘徽在注文中指出：“不有鳖臑，无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类，功实之主也。”［4］

将长方体沿对角面分割，得到两个同样的堑堵（如图3）；将堑堵沿对角面分割，得到一个阳马和一个鳖臑（如图4）；将阳马沿过垂直于底面的棱的对角面分割，得到两个鳖臑，古人因此也将鳖臑称为“半阳马”（如图5）。

关于阳马和鳖臑，刘徽有以下结论：（1）阳马与鳖臑的体积之比为2∶1，今称“刘徽原理”；（2）长方体体积是阳马体积的3倍；（3）长方体体积是鳖臑体积的6倍。

利用长方体、堑堵、阳马和鳖臑的体积公式，可以推导方亭、方锥、羨除、刍甍、刍童等立体图形的体积，例如：一个方亭（今称正四棱台）可以分割成一个长方体、四个堑堵和四个阳马（如图6），分别计算其体积，即可推导出正四棱台体积公式。

（二）任务设计

围绕阳马和鳖臑这两种基本立体圖形，教师可以编写阅读材料“中国古代立体几何中的阳马与鳖臑”，然后设计系列任务，让学生深入思考并加以解决。

任务1 请给鳖臑下一个定义。

可以用以下两种方式来定义鳖臑。

定义1：鳖臑是底面为直角三角形、有一条棱过底面非直角顶点且垂直于底面的三棱锥。

定义2：鳖臑是各面均为直角三角形的四面体。

教师还可以让学生论证两种定义的等价性。

任务2 如图7，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，试分别将其分割成三个阳马和六个鳖臑。

任务3 有人构造了一个反例，说明“各面均为直角三角形的四面体不一定是鳖臑”：如图8所示，在三棱锥S-ABC的底面和各侧面中，∠ABC=∠SAB=∠SCB=∠ASC=90°。请问这样的三棱锥存在吗？

事实上，这样的三棱锥并不存在，因为异面直线SA和BC之间不可能同时存在两条不同的公垂线AB和SC。

任务4 利用祖暅公理证明在同一个堑堵中，阳马体积是鳖臑体积的2倍。

任务5 如图9，在堑堵AA1B-DD1C中，AB=BC=AA1=1。（1）试分别求二面角A-A1B-C、A-A1C-D1、A-A1C-D和B-A1C-D的大小；（2）分别求异面直线AC和A1B、AB和A1C、A1C和AD、A1C和DD1之间的距离。

任务6 如图10，在鳖臑A1-ABC中，P是A1B上一点，当P位于何处时，△PAC的面积最小？

任务7 利用阳马和鳖臑，你能分别编制一个立体几何问题吗？

任务8 从阳马和鳖臑问题中，你能感悟到什么思想方法？

四、基于中算史料的留白策略

在数学留白创造式教学中，共有6种留白形式，即陈述之白、发现之白、论证之白、方法之白、问题之白和超越之白［2］。从以上任务设计中可以总结出基于中算史料的若干典型的留白策略。

（一）古名今辩，留陈述之白

古名今辩指用今天的数学语言来解释中算术语，设置古名今辩的任务，即为学生留陈述之白。中算史的许多术语都十分简洁，如“堑堵”、“阳马”和“鳖臑”，如果用今天的数学语言来描述，分别是“底面为直角三角形的直三棱柱”、“底面为长方形、有一条棱过底面顶点且垂直于底面的四棱锥”和“底面为直角三角形、有一条棱过底面非直角顶点且垂直于底面的三棱锥”，对于这三种特殊的立体图形，现代数学中并没有专门的名称，因此，有必要沿用古代的术语，就像人们沿用“牟合方盖”之名来称谓“两个底面直径相等的直交圆柱体的公共部分”一样。另一方面，中算史的术语往往源于现实生活，十分直观形象，如“鳖臑”原意是“甲鱼的前肢骨”，“阳马”原意是“四柱屋隅”。教师让学生对有关“阳马”“鳖臑”加以定义（“阳马和鳖臑问题”任务1），既可以培养他们用数学语言表达现实世界的能力，也可以帮助他们在具体几何图形中正确识别相应图形（“阳马和鳖臑问题”任务2），还可以增强他们应用“基本几何体”的意识。

（二）古题今解，留方法之白

古题今解指用现代方法或古人的其他方法来解中算史上的某个问题，设置古题今解的任务，即为学生留方法之白。古人分别用配分比例法和“凡差术”来解“五人分钱”和“竹节均容”问题，与今人的代数解法（等差数列任务1）迥然不同，也可以互换方法，即用“凡差术”解“五人分钱”问题，用配分比例法来解“竹节均容”问题（等差数列任务2）。学生在补白过程中，对古今数学方法进行比较，既能感悟现代方法的优越性，也可以建立数列和比例之间的密切联系，還可以学会摈弃自我为中心的思维习惯，走进古人的心灵之中，从而可以站在古人的角度思考：为什么不用配分比例法来解“竹节均容”问题，为什么不用“方程术”来解“五人分钱”问题等。

（三）古术今推，留论证之白

古术今推指用现代方法来推导中算史上的某个公式或证明中算史上的某个命题，设置古术今推的任务，即为学生留论证之白。《九章算术》作者对于问题解决过程中涉及的公式、命题、方法的来源均不着一字，为后世留下论证之白，刘徽在注解此书时作了大量的补白工作。已知等差数列最前面若干项之和与最后面若干项之和，《九章算术》给出了公差的求法，让学生用代数方法得出这个求法（“等差数列问题”任务3），或推测古人推导公式的方法，其实就是将中算史上的论证之白留给学生。类似地，刘徽在注文中指出，在一个堑堵中，阳马体积是鳖臑体积的2倍，让学生利用祖暅公理证明该结论（“阳马和鳖臑问题”任务4），采用的是类似的留白形式。学生通过补白，既可发展逻辑推理素养，又可以从古人的角度来思考论证方法，实现跨越时空的思想交流。

（四）古法今用，留发现之白

古法今用指将中算史上的数学方法用于新情境、新问题，以新知创获为目的，设置古法今用的任务，即为学生留发现之白。人们比较熟悉的例子是利用赵爽弦图来发现均值不等式，类似地，利用刘徽的勾股容方图也可以发现均值不等式［5］，利用出入相补原理可以发现两角和与差的正弦公式［6］，等等。古法今用的留白策略，颇有点“无心插柳”的意味。刘徽仅利用“凡差术”来求等差数列的公差，并未试图将其用于前n项和公式的推导。事实上，等差数列前n项和公式见于盈不足章“二马相逢”问题的解法，用今日的代数符号来表达就是，南宋数学家杨辉通过构造“良马图”和“驽马图”［7］，从几何的角度对公式加以推导。然而，与几何方法截然不同的是，利用“凡差术”也能发现求和公式（“等差数列问题”任务6），在这一全新的方法中，求和公式并非建立在通项公式的基础之上，两者是平行的。可见，站在古人的肩膀上，今人确实能做出创新。

（五）古问今编，留问题之白

古问今编指从中算史上的数学问题出发编制新的数学问题。一方面，中算史料为教师留下问题之白：从中算史料出发，运用不同的问题编制策略［8］，教师可以设计丰富多彩的数学问题，如利用“条件式”策略，改变具体的条件或将条件一般化来编制问题（“等差数列问题”任务4和5）；运用“自由式”策略来编制问题（“阳马和鳖臑问题”任务3、5和6）。另一方面，教师设置古问今编的任务，也为学生留了问题之白，如“等差数列问题”任务7和“阳马和鳖臑问题”任务7。

除了有助于提升学生的问题提出能力，古问今编还可以让学生跨越时空与古人对话，思考古人能否和如何解决新题，拓展古人的解法和思路。例如，在刘徽的“七人分七钱”问题中，已知前5人和后2人所得钱数相等，则由数列1，2，3，…，7构造满足条件的新数列1+p，2+p，3+p，…，7+p时，p=-[23]，拓展了“五人分钱”问题中p取正数的情形。

（六）古算今思，留超越之白

古算今思指从中算史上有关数学问题的解法中获取思想的启迪，设置古算今思的任务，即为学生留超越之白。“等差数列问题”任务8与“阳马和鳖臑问题”任务8都属于这类留白形式。“五人分钱”问题的解法揭示了中国传统数学的构造性特征：首先构造一个满足已知条件的数列，然后用配分比例来解决问题。阳马和鳖臑问题则揭示了中国传统数学的转化思想——化繁为简，把多面体转化为最基本的立体“鳖臑”和“阳马”。此外，中国传统数学问题和术语都揭示了数学与现实生活的密切联系；刘徽的注解则揭示了中算家的理性精神，并有力地证明“中国古代数学没有演绎推理和证明”这样的观点是完全错误的。

五、结语

中华优秀传统数学文化博大精深，本文所举，不过沧海一粟；所呈现的任务设计，并不局限于一两节课，也不局限于新授课或复习课。有了古名今辩、古题今解、古术今推、古法今用、古问今编和古算今思这六种策略，中算史进课程、进课堂，将不再是理想的空谈，而是有法可依、易于落地的教育工程。在留白创造式教学中，作为教学目标的中算史，可以展示中华优秀传统文化之魅、达成数学学科德育之效；而作为教学工具的中算史，则有助于培养学生的核心素养和创新能力。另一方面，倘若带着教育的眼光来研读中算文献，我们会深切地感受到在那些冰冷、尘封的文字背后，竟蕴藏着勃勃生机。留白创造式教学这一符合时代需求的教学方式，将让中华优秀传统数学文化大放光彩。

参考文献：

［1］汪晓勤. 数学史上的留白与创新［J］. 中学数学月刊，2023（4）：1-4.

［2］汪晓勤，邹佳晨，王华. 数学史与留白创造式教学［J］. 数学通报，2023（3）：1-6.

［3］王华，汪晓勤. 中小学数学“留白创造式”教学： 理论、实践与案例［M］. 上海：华东师范大学出版社，2023.

［4］郭书春. 汇校九章算术［M］. 沈阳：辽宁教育出版社，2004.

［5］汪晓勤. 从“勾股容方”到均值不等式［J］. 数学通报，2015（2）：7-9.

［6］汪晓勤，邵铭宇. 三角公式的若干几何模型［J］. 数学通报，2017（6）：1-5，49.

［7］汪晓勤，陈君煜. HPM视角下数列教学中的直观想象素养初探［J］. 中小学数学（高中版），2019（4）：57-60.

［8］汪曉勤. 基于数学史料的高中数学问题编制策略［J］.数学通报，2020（5）：9-15.

（责任编辑：陆顺演）

【作者简介】汪晓勤，华东师范大学教师教育学院教授，博士生导师，主要从事数学史与数学教育、数学教师教育研究；邹佳晨，博士，华东师范大学教师教育学院讲师，主要从事数学史与数学教育、数学教师教育研究。

【基金项目】上海高校立德树人人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地研究项目“中华优秀传统文化进数学课堂的实践研究”；上海市第四期双名工程课题“中小学数学留白创造式教学”