吴微微 徐延林 何 艳

国防科技大学电子科学学院 湖南长沙 410073

一、概述

麦克斯韦以一种近乎完美的方式统一了电和磁,形成一门独立的学科——电磁学。同时,预言了电磁波的存在,这是物理学家在统一之路上的巨大进步。若从微观角度探究电磁场的特性,需将宏观中的有向曲线、有向曲面以及由封闭曲面围成的体积无限缩小至趋于零的程度,用电磁场的散度和旋度等物理量代替宏观中的通量、环量等物理量进行研究。标量场的梯度、矢量场的散度及其旋度的计算离不开符号简化史上一个奇迹——哈密顿算子(∇算子)。教学实施过程中发现,当从宏观角度转向微观角度探究电磁场特性时,学生们理解起来有不小的难度。例如,在电磁场理论中,如何理解自带方向的哈密顿算子的物理意义?除了用于计算,梯度、散度和旋度的物理意义是什么?本文将通过三个模型,详细阐释哈密顿算子、梯度、散度和旋度的物理意义,便于学生掌握微分形式麦克斯韦方程组的核心内容。

二、哈密顿算子的解读

为了简化电磁场理论中的运算,英国数学家、物理学家和力学家威廉·罗恩·哈密顿引出了倒三角符号∇,因此得名哈密顿算子,它是场论分析中不可或缺的工具。它是一个同时具有矢量和微分双重特性的矢量算子,主要研究场量在空间中的变化。要理解哈密顿算子,需要从描述函数f变化快慢的概念——导数说起。当函数f的变化与时间有关,则记为f(t)。……