厉金文

【摘要】经过多年的教学实践，总结“在列表尝试中分析调整”“在画图比较中拓展化解”“在模拟演示中推导探究”“在分析转化中推理分解”等教学策略，可以让个性化的解题方式和策略得到充分展示，让学生在思维的激发与碰撞中学会解决问题。

【关键词】解决问题；列表尝试；画图比较；模拟操作；分析转化

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，“问题解决”教学要关注对学生“信息阅读与理解、方法策略的选择与应用，过程结论的回顾与反思”等能力培养。课程标准把传统的“应用题”更名为“解决问题”，这不是简单的名称变化，其背后反映的是教育价值的定位问题，涉及课程体系的编排及具体呈现形式的调整，是小学数学课程所追求的价值目标的更好表达。

“解决问题”原来的价值追求更偏向于思维的结果，尽快获得问题的结果。而新课标对其的价值追求是思维过程与结果的并重。两者相比，思维过程更为重要，因为问题的结果是唯一的，不能反映学生之间的思维差异，而思维的过程受知识储备、学习习惯等影响，是具有个性化特征的。在班级授课制下，展现个性化思维的过程远比展现一致性的结果更重要，它更能促进学生思维的碰撞，继而在碰撞中进阶。

一、运用列表分析尝试调整

列表，就是将问题中的信息以表格的形式进行筛选、整理，在此基础上通过分析信息之间的关系尝试解决，在调整中获得解决问题的一般方法。这种方法看似“原始”，但对于解决思维过程比较复杂的租车（船）、最佳购票方案、得分問题、鸡兔同笼等问题往往有着事半功倍的效果。如“一次数学竞赛共有10道题，计分规则为答对1题得10分，答错1题扣5分。小明在这次竞赛中的最终得分是70分，问他做对的和做错的分别是几题？”面对这样的题目，在没有任何提示的情况下，学生一定会用算术法解答。殊不知，这类逆向思维的问题用算术法解决对高段的学生来说极具思维挑战性，怎样让中段的学生也能解答呢？笔者认为列表策略是最佳的选择，它能让学生在调整的过程中看到变化的方向与情况，具体如表1所示。显而易见，做对的题数为8道，做错的题数为2道。

在运用列表法解决问题时，确定尝试分析的“切入点”也是有一定的策略的。如上述案例是得分较高的情况，那从做对的题数最多开始尝试会比较快捷；反之，就从做错的题数最多开始尝试；如果得分居中，就从对的题数和错的题数各一半列起，这样可以最大程度地减少调整的次数。为了能让学生在尝试运用策略解决问题时更好地找准“切入点”，教师要在学生多次尝试的基础上，或是对不同学生的尝试策略进行对比，引导学生对尝试的过程进行反思与总结，发现其中隐藏着的数学规律，积累用尝试法解决问题的数学经验。

相对于算术法而言，列表法的思维层次虽然低了一些，但它的思维过程更加直观与明晰，可以有效促进学生对算术模型的深度理解，进而建构算术模型的“脚手架”，特别是对算术法中的“（10+5）”理解有困难的学生，在表格中可以获得很好的理解。

二、在画图比较中拓展化解

小学生处于皮亚杰的认知发展理论的具体运算思维阶段，他们的思维需要具象事物的支撑，对抽象的符号、运算性质的推理会存在一定的理解困难。通过画图、比较，可以让抽象、符号化的信息变得直观、具体化，能够帮助学生更容易地找到解决问题的关键，从而有效地解决问题。以下是笔者用线段图化解理清关系之难和用示意图化解联系实际之难的教学实践。

1.用线段图化解理清关系之难

线段图能够直观地表征出数量之间的关系，所以其在传统应用题教学中的地位是非常重要的，对解答分数问题的作用更是明显，小学高段的数学教师如果能够坚持让学生运用线段图来解答分数问题，那将会大大提升他们解决问题的能力与信心。而且，线段图在解决涉及关系较为复杂的多个数量的问题时更能显现其直观、形象的价值。如笔者曾在四年级数学兴趣小组选拔试卷上设计了这样一道附加题：“被减数、除数、商与余数的和是401，被除数是除数的5倍还多3，求除数是多少。”此次选拔共有160名四年级学生参加，其中做对这道题的同学仅有10名左右。笔者对他们解决问题的方法进行了分类，主要有以下四种：

方法1：根据有余数除法各部分之间的关系进行推理解决。具体为：

因为“被除数÷除数=5……3”，所以“被除数=除数×5+3”。又因为“被除数+除数+商+余数=401”，结合“商是5，余数是3”，得到“除数×5+3+除数+5+3=401”，整理为“除数×6=401-5-3-3”，结果“除数=390÷6=65”。

可以看出这种方法的推理过程非常清晰严谨，但很抽象，理解起来仍比较吃力。

方法2：直接写出答案，没有思考的过程，结果是拼凑出来的或试出来的。

方法3：也得到了解法1中的“除数×5+3+除数+5+3=401”，但没有算出最终结果，原因在于四年级学生对有余数除法各部分之间的关系很熟悉，也能进行简单的等量代换，所以他们能够写出上述等式，但他们对复杂等式的化简能力不足，对等式守恒的理解还不够，所以无法得到最终的结果。

方法4：借助线段图理清关系再解决。虽然只有一名学生采用了该种方法，但是直观、易懂，思维非常清晰。

批阅之后，笔者在课堂上和学生对这道题进行了分析与讨论。首先让学生自主看了方法1，接着让做对的同学讲解解题的过程，经过2名学生的讲解和笔者的补充后，也只有四分之一的学生勉强理解，很多学生仍然不明白。于是笔者请采用方法4的学生来为大家进行讲解。他把线段图展示在黑板上，刚刚画完，大部分同学的脸上就露出了明白的表情。可见抽象的纯数学推理虽然思维层次高，但远远超过了学生的最近发展区，学生跳得再努力还是摘不到桃子。而线段图仅仅是简单的几笔却胜过了近百句的语言，这就是线段图化抽象为直观、化错综复杂为简单明了的价值。将抽象的数学问题变得直观可视，为学生理解问题、分析问题与解决问题提供了思维可视化的“脚手架”。

2.用示意图化解联系实际之难

数学源于生活，但学生在解决实际问题的过程中容易忽略对“实际”的考虑。借助示意图呈现实际问题中量与量之间的关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的，更好地促进学生联系实际、理解实际、解决实际问题的能力。

在学生学习了三角形的面积之后，笔者设计了一道这样的练习：“医院要用长方形白布制作包扎用的三角巾，三角巾是底和高均为8分米的等腰三角形。一块长74分米，宽16分米的白布，最多可以做這样的三角巾多少块？”

学生有两种不同的解决方法：

方法1：74×16÷（8×8÷2）=1184÷32=37（块）。

大部分同学从题意理解，这是一个包含除法的问题，其数量关系为“长方形白布的面积÷每块三角巾的面积=可制作的三角巾的数量”，所以在这部分同学看来，他们的解决方法有理有据，是很有道理的。

方法2：74÷8=9（块）……2（分米）；16÷8=2（块）；（9×2）×2=36（块）。

个别同学结合生活实际，考虑到了制作过程中可能会出现边角料的问题，所以需要先从长边和宽边的角度分别考虑，再综合。

学生独立完成后，笔者将两种方法整体呈现，先让学生观察、比较，看懂两种方法；再让这两部分学生互相思辨，各说各的道理；最后让方法2的学生画出示意图，学会正确的解决方法。

除了上面介绍的两种画图方法外，在解决问题时还会用到集合图，也是非常直观的，同时也对学生渗透集合的思想。学生的解题思路往往没有任何束缚，他们会根据自己的生活和学习经验、思维特点和习惯，创造性地画出一些让老师意想不到，但学生之间互相明白的图示，我们都可以称之为示意图，教师也应该及时鼓励表扬。

三、在模拟演示中推导探究

模拟演示是通过模拟问题情景进行实际动手操作，在操作过程中解决问题的一种策略。模拟演示能够让几个静态的信息变成动态的量与量之间的关系，更好地帮助学生理解量的变化过程，从而有效解决问题。

“火车过桥（山洞）”问题是基本行程问题的拓展，其难点是确定火车所行驶的“路程”。笔者曾让学生解决这样一道“火车过桥”问题：“一列车身长120米的火车，以每秒15米的速度经过一座长1500米的桥。那么这辆火车经过这座桥需要多长时间？”

大部分学生在自主尝试解决的过程中写了“1500÷15”这个算式。学情诊断之后，笔者没有立刻作出评价，而是让学生自己再想一想。此时，课堂上出现了这样一幕：一名学生把铅笔盒当作长1500米的桥，把铅笔当作车身长120米的火车，将铅笔从铅笔盒的左端平移至右端，模拟火车过桥的过程。模拟演示3遍后，他兴奋地举手回答：“正确的过桥时间应该是把桥的长度加上车身的长度作为路程，然后除以速度。”笔者请这位学生上台进行演示，同学们恍然大悟，纷纷表示认同。

通过模拟、操作，把一些源于生活的实际问题进行情景“再现”，让不清晰的数量关系直观地呈现出来，问题也就迎刃而解了。

四、在分析转化中推理分解

除了以上介绍的这些策略外，我们经常会用到“逆推的策略”，即“从问题出发思考，选择需要的信息进行解决”；还会用到“顺推的策略”，即“从已有信息出发思考问题”，也就是所谓的“分析法”和“综合法”，两者皆可看作推理、分析的策略。主要包括：

第一，从问题情景中提炼数学本质，再用算式表征数学本质的转化策略。如“在校门前摆了3行菊花，每行7盆，共要摆多少盆菊花？”第一次将这个问题情景转化为数学本质“求3个7是多少？”第二次将“求3个7是多少？”转化为算式表征“7×3”。

第二，找出复杂问题中各简单问题之间的联系，从而总结解决问题的分解策略。如“两山超市第一天上午卖出15瓶饮料，下午卖出的饮料比上午多20瓶，第二天卖出的饮料比第一天少3瓶。两山超市两天共卖出饮料多少瓶？”根据“第一天卖出的饮料数量+第二天卖出的饮料数量=两天卖出的饮料总数”，将问题分解为“第一天卖出多少饮料”和“第二天卖出多少饮料”。再根据“第一天上午卖出的饮料数量+第一天下午卖出的饮料数量=第一天卖出的饮料数量”，将问题分解为“第一天上午卖出的饮料数量”和“第一天下午卖出的饮料数量”。

其实，每一个数学问题解答的切入点不是唯一的。每一个学生在面对数学问题时，其思维的路径是多端的。唯有问题的切入点与学生的思维路径能够完美对接时，才能有效地解决问题。因此，教师要组织学生充分经历数学问题解决的过程，不断体验、感悟、理解、内化、表达与运用，积累更多的经验，掌握更多、更具体的方法与思维，以丰富其思维的广度。

总之，在解决问题的教学过程中要避免单一的对结果的追求，应该把学生在解决问题过程中个性化的思维方式和解题策略展示出来，还要赋予学生更多解释和评价自己以及他人思维过程和思维结果的权利。当解决问题成为课堂教学的一部分，学生能够主动关注知识之间的内在联系，理解问题本质，并能在解决问题过程中体验到成功，在思维的激发与碰撞中解决问题。

【参考文献】

[1]吴燕，曹慧.任务驱动探究 灵活运用策略—“解决问题的策略（从条件或问题想起）”教学实录与评析[J].小学数学教育，2023（08）.

[2]刘怡然.小数数学教学中解决问题方法多样化的策略研究[J].数学学习与研究，2023（08）.

[3]张立辉.小学数学解决问题有效教学策略研究[J].数学学习与研究，2022（36）.