刘亚楠, 杨 刚

(兰州交通大学 数理学院, 兰州 730070)

1 引言及预备知识

左T-模的序列

T-Mod和A-Mod×B-Mod之间存在以下函子:

1)p:A-Mod×B-Mod→T-Mod, 对任意的对象(N1,N2)∈A-Mod×B-Mod, 令

对任意态射(f1,f2)∈A-Mod×B-Mod, 令

定义1[5]若对任意的平坦余挠模W, 函子HomR(-,W)作用序列F·仍得到正合序列, 则F·: …→F-1→F0→F1→F2→…称为F-完全正合复形, 其中每个Fi都是平坦模.若存在F-完全正合复形F·, 使得M≅Ker(F0→F1), 则称左R-模M是F-Gorenstein平坦模.

引理3设M是R-模且n是整数.若FGfdRM<∞, 则下列叙述等价:

1)FGfdRM≤n;

4) 对任意的正合列:

0→Kn→Gn-1→…→G0→M→0,

证明参见文献[3]中定理4.5.

2 主要结果

下面给出形式三角矩阵环上的F-Gorenstein平坦模的结构刻画.

1)M1是F-Gorenstein平坦左A-模;

2) CokerφM是F-Gorenstein平坦左B-模;

3)φM是单射.

在这种情况下,U⊗AM1是F-Gorenstein平坦模当且仅当M2是F-Gorenstein平坦模.

证明: 必要性.M是F-Gorenstein平坦左T-模, 由定义1知, 存在平坦左T-模的正合列:

首先, 证明M1是F-Gorenstein平坦左A-模.由A·诱导的平坦左A-模的正合列为

由于BU的平坦维数有限, 因此可假设fd(BU)=m<∞.由文献[8]知, 对于任意的右B-模X, 有

最后, 证明CokerφM是F-Gorenstein平坦左B-模.考虑下列行正合的交换图:

因为第一列和第二列正合, 所以第三列正合.在上图第0个位置取核, 得到正合列:

(1)

0→HomB(CokerφM,H)→HomB(M2,H)→HomB(U⊗AM1,H).

注意到

同理, 对任意的i∈, 有

因此序列

…→Cokerφ-1→Cokerφ0→Cokerφ1→Cokerφ2→…

函子HomB(-,H)作用正合.进一步, 由定义1可知, CokerφM是F-Gorenstein平坦左B-模.

充分性.由φM是单射可知, 存在左T-模的正合列:

(2)

且对任意的i≥0, 有

由文献[9]中引理3.2可知,

由于W2是平坦维数有限的余挠左B-模, 由文献[9]中引理3.2和引理3知,

最后, 在上述情形下, 在左B-模的正合列

定理2设B是左凝聚环.若BU是内射模,UA是平坦模, 则对任意的左A-模X,U⊗AX是余挠左B-模.

证明: 对任意的左A-模X, 取X的平坦分解:

…→F2→F1→F0→X→0.

因为UA是平坦模, 所以有正合列:

…→U⊗AF2→U⊗AF1→U⊗AF0→U⊗AX→0.

又BU是内射模, 故由文献[10]中定理3.2.16知,U⊗AFi是内射左B-模.取U⊗AX的内射分解:

则有下列余挠模的正合复形:

使得U⊗AX=Kerα.从而由文献[6]引理1.1可知U⊗AX是余挠左B-模.证毕.

与定理1证明方法相同, 可得如下推论.

1)M1是F-Gorenstein平坦左A-模;

2) CokerφM是F-Gorenstein平坦左B-模;

3)φM是单射.

此时,U⊗AM1是F-Gorenstein平坦模当且仅当M2是F-Gorenstein平坦模.

1)M是F-Gorenstein平坦左T模;

2)M1是F-Gorenstein平坦左R-模, CokerφM是F-Gorenstein平坦左R-模, 且φM是单射;

3)M2是F-Gorenstein平坦左R-模, CokerφM是F-Gorenstein平坦左R-模, 且φM是单射.

3 应 用

1) 对任意的1≤i≤n,Mi是F-Gorenstein平坦左R-模;

2) 对任意的1≤i≤n-1, Cokerφi是F-Gorenstein平坦左R-模;

3) 对任意的1≤i≤n-1,φi:Mi→Mi+1是单射.

证明: 当n=2时, 由推论2可知结论成立.假设n>2, 并且结论对n-1成立, 下证结论对n成立.

(3)