■河南省南乐一中 吉晓波

一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)

1.若{a,b,c}构成空间的一个基底,则下列向量可以构成空间基底的是( )。

A.a+b,a-b,a

B.a+b,a-b,b

C.a+b,a-b,b+c

D.a+b,a+b+c,c

2.已知空间向量a=(1,2,-2),b=(3,λ,μ-1),若a//b,则λ+μ=( )。

A.1 B.-1 C.2 D.-2

3.已知向量a=(1,3,0),b=(2,1,1),则向量a在向量b上的投影向量c=( )。

4.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2,底面ABC是边长为2 的正三角形,∠A1AB=∠A1AC=60°,若B1C和BC1相交于点M,则=( )。

5.已知直线l的方向向量为e=(2,-1,2),平面α的法向量为n=(-2,a-b,a+b)(a,b∈R)。若l⊥α,则a+3b的值为( )。

A.-5 B.-2 C.1 D.4

6.如图1,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,|PA|=|AB|=|BC|=|AD|=1,BC//AD,已知Q是棱PD上靠近点P的四等分点,则CQ与平面PAB所成角的正弦值为( )。

图1

8.在Rt△ABC中,|AB|=2,|AC|=,D为斜边AC上异于A,C的动点,若将△ABC沿折痕BD翻折,使点A折至A1处,且二面角A1-BD-C的大小为,则|A1C|的最小值为( )。

二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5 分,部分选对的得2分,有选错的得0分。)

9.如图2,已知点O为正六边形ABCDEF的中心,下列结论中正确的是( )。

10.“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型,图3是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品。“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体,其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱,两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点,另外两条相对的侧棱交于一点(该点为所在棱的中点)。若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2,高为4的正四棱柱构成,在其直观图中建立如图4 所示的空间直角坐标系,则( )。

图3

图4

A.|GE|=2

B.点C的 坐 标 为(-2,2,2)

C.O,E,F,A四点共面

D.直线CE与直线DG所成角的余弦值为

11.平面α,β,γ两两互相垂直且有一个公共点O,α∩β=l1,β∩γ=l2,α∩γ=l3,直线l过点O,则下列结论正确的是( )。

A.若l与l2,l3所成的角均为60°,则l与平面γ所成的角为45°

B.若l与平面α,β,γ所成的角相等,则这样的直线l有且仅有1条

C.若l与平面α,β所成的角分别为30°,45°,则l与平面γ所成的角为60°

D.若点P在l上,且在l1,l2,l3的投影分别为P1,P2,P3,则2|OP|2=|P1P2|2+|P2P3|2+|P1P3|2

12.在棱长为2 的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为AD的中点,点F在正方体的面CC1D1D内(含边界)移动,点P为线段D1B上的动点,设|D1P|=λ|D1B|,则( )。

A.当λ=时,DP//平面AB1C

B.VB-AB1F为定值

C.|PA|+|PC|的最小值为2

D.当直线B1F//平面A1BD时,点F的轨迹被以A为球心,为半径的球截得的长度为1

三、填空题(本大题共4 小题,每小题5分,共20分。)

13.在空间直角坐标系中,A(1,-1,3),B(-2,1,4),O为坐标原点,直线AB上有一点M,且OM⊥AB,则点M的坐标为____。

14.如图5,某正方体的顶点A在平面α内,三条棱AB,AC,AD都在平面α的同侧。若顶点B,C,D到平面α的距离分别为,2,则该正方体的表面积为____。

图5

15.如图6,三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为是2,侧棱BB1与底面ABC所成的角为60°,侧 面BCC1B1⊥底面ABC,点P在线段A1C1上,且平面B1CP⊥平面ACC1A1,则

16.如图7,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为AC1,A1B1的中点,点T在正方体的表面上运动,满足PT⊥BQ。

图7

给出下列四个结论:

①点T可以是棱DD1的中点;

②线段PT长度的最小值为;

④点T的轨迹围成的多边形的面积为。

③点T的轨迹是矩形;

其中所有正确结论的序号是____。

四、解答题(本大题共6 小题,共70 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.(本小题10 分)如 图8 所 示,在 棱 长

图8

(2)求直线FG与平面ACD所成角的正弦值。

18.(本小题12分)如图9,三棱柱ABCA1B1C1中,平 面ABC⊥平面AA1C1C,AB⊥AC,|AA1|=|AB|=|AC|=2,∠A1AC= 60°。 过AA1的平面交线段B1C1于点E(不与端点重合),交线段BC于点F。

图9

(1)求证:四边形AA1EF为平行四边形;

(2)若|BF|=3|FC|,求直线A1C1与平面AFC1所成角的正弦值。

19.(本小题12分)如图10,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD⊥CD,AB//CD,|AB|=2,|AD|=|CD|=1,PC⊥底面ABCD,E是AC的中点,

图10

(1)证明:平面PBC⊥平面ACF。

(2)若直线PE与平面PAB所成角的正弦值为,且|PC|＞|CD|,求平面ACF与平面PAB夹角的余弦值。

20.(本 小 题12 分)如图11,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,|PA|=2,|AB|=|AC|=1,将△PAB绕着PA逆时针旋转到△PAD的位置,得到如图所示的组合体,M为PD的中点。

(1)当∠BAC为何值时,该组合体的体积最大? 并求出其最大值。

(2)当PC//平面MAB时,求直线PC与平面PBD所成角的正弦值。

21.(本小题12分)如图12,已知四边形ABCD是边长为2的正方形,点P在以AD为直径的半圆弧上,点E为BC的中点。现将半圆沿AD折起,如图13,使异面直线PD与BC所成的角为45°,此时|BP|=。

图12

图13

(1)证 明AB⊥平面PAD,并求点P到平面ABCD的距离;

(2)若平面PAB∩平面PDE=l,Q∈l,当平面QAB与平面QCD所成角的余弦值时,求|PQ|的值。

22.(本小题12 分)如图14,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2 的等边三角形,|CC1|=2,D,E分别是线段AC,CC1的中点,C1在平面ABC内的射影为D。

(1)求证:A1C⊥平面BDE;

(2)若点F为棱B1C1的中点,求点F到平面BDE的距离;

(3)若点F为线段B1C1上的动点(不包括端点),求锐二面角F-BD-E的余弦值的取值范围。