汪晓勤

(华东师范大学教师教育学院 200062)

在创新意识成为核心素养、拔尖创新人才的培养备受关注、人工智能(如Chat GPT)对学校教育提出挑战的今天,人们开始倡导数学“留白创造式”教学[1],即立足立德树人的教育根本任务,为学生自主学习、创获新知提供足够思维空间和探究机会的教学方式.那么,如何通过课堂留白来引发学生的创新?本文以16世纪德国著名数学家克拉维斯(C. Clavius, 1538-1612)《几何原本》注[2]中的部分内容为例,总结数学家完成创新工作时所运用的策略,为留白创造式教学的实施提供思想启迪.

1 新命题的发现

《几何原本》命题Ⅰ.16称:“在任意三角形中,若延长一边,则外角大于任一内对角.”该命题对于四边形成立吗?如图1所示,考察矩形、一般平行四边形、梯形、含三个钝角的四边形,外角大于所有不相邻内角的结论并不成立.

图1 一些四边形

克拉维斯构造了一个外角大于所有不相邻内角的四边形,据此得到一个新的命题.如图2,四边形ABCD中,∠ABC为钝角,∠BAD为直角,BA与CD的延长线交于点G,则外角DCE分别大于三个不相邻的内角.即

图2 含有两个钝角和一个直角的四边形

图3 等底等高或同底等高的梯形之间的关系

命题1若四边形的一个内角为直角,其对角为锐角,则该锐角的邻补角大于所有不相邻的三个内角.

《几何原本》第一卷给出以下四个命题:

命题Ⅰ.35:同底且位于同样两条平行线之间的平行四边形相等;

命题Ⅰ.36:等底且位于同样两条平行线之间的平行四边形相等;

命……