汤玲

摘   要：分析了单球面折射系统的折射原理，根据该原理计算了光线在水球里的两种不同传播路径下的折射规律。在不同物距条件下，对第一种路径的折射规律进行了详细计算，并分别得出结论；利用依次成像法分析了第二种路径的成像规律。利用分析结果解释了天宫课堂水球光学实验的“一球双像”的实验现象。

关键词：折射光；成像；单球面；水球

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2023）8-0049-4

随着我国航天事业的迅猛发展，我们不仅在深空探索方面取得了巨大成就，而且也给科学研究创造了一个全新的太空试验平台。２０２１年１０月，我国在酒泉卫星发射中心利用神州十三号飞船成功将三名航天员送入到我国空间站。在为期六个月的航天工作中，航天员王亚平开展了两次天宫课堂的直播授课任务。她在空间站失重的环境中做了很多有趣的物理实验。其中，水球光学实验中，王亚平利用液体的表面张力制作了一个水球［１］，然后在水球内部注入了一个气泡，透过这样的水球，我们看到了一正一倒两个王亚平人像，如图１所示。这个奇妙的物理现象顿时引起了学生们浓厚的兴趣。那么它究竟是如何产生的呢［２］？实际上，它是光线折射的结果。可以把水球当作透镜，但是由于水球近似圆形，它的厚度显然不能忽略，所以不能简单地将其视为薄透镜成像来处理。要系统地分析这种现象，就必须从单球面光学系统的折射原理出发。

１    单球面折射原理

如图２所示，单球面半径为ｒ， Ｃ为圆心。直线ＰＣ为轴线。左右两侧介质折射率分别为ｎ１和ｎ２。轴线上有一物点Ｏ发出两条光线ＯＡ，ＯＰ，经单球面折射后汇聚于点Ｑ。根据折射定律有［３］

ｎ１ｓｉｎｉ１＝ｎ２ｓｉｎｉ２（１）

设ＯＡ为近轴光线，故α， β，θ，ｉ１，ｉ２都很小，所以（１）式可近似为

ｎ１ｉ１＝ｎ２ｉ２（２）

根据图示角度关系可知ｉ１=α+θ，ｉ２=θ-β，所以（２）式可变形为ｎ１（α+θ）=ｎ２（θ-β），即

ｎ１α+ｎ２β=（ｎ２-ｎ1）θ（３）

上式中ｌ，ｌ'分别表示物距和像距。显然ｌ'可正可负，与ｎ１，ｎ２有关。当ｌ'为负值时，折射光线并没有汇聚（但反向延长线汇聚了），所以成一虚像；另外，若将Ｑ当作物点，根据光路的可逆性，则Ｏ即为像点，（４）式关系仍然成立，但是具体代入（４）式后，（４）式右边分子变为ｎ１-ｎ２，和原（４）式相比可理解为ｒ取负值。故上式中ｒ的正负可依据从物方看单球面的凸凹形状来判断，简单归纳为“凸为正，凹为负” ［４］。

２    实心水球光学成像分析

通过水球左侧面的折射光线，一部分避开空心部分直接从右侧单球面折射出去，此时可忽略空心部分当作实心水球分析；另一部分依次经过水球的四个单球面折射成像。所以，可将折射光线分为两部分讨论［５］。

首先，分析实心水球成像。设水球的外径和内径分别为Ｒ，ｒ（Ｒ＞ｒ），如图３所示。水和空气的折射率分别为１．３３和１，水球左侧折射时根据（４）式可得

现考虑一特殊情况：当光线经水球左侧面（凸面）后沿平行于轴线折射出去时，即l'→∞，由（５）式可得l=3.03R，如图３所示。以该特殊位置为临界点对ｌ进行分类讨论。

（1）l=3.03R

根据（５）式，当 l=3.03R时，l'→∞。即经过左侧面折射光为平行于轴线的光线。该折射光线再次经右侧单球面（凹面）折射时根据（４）式可得

由于左侧折射光线是右侧入射光线（也可理解为左侧像即为右侧物），所以式中L→∞，由（６）式得 L'=3.03R，如图３所示。即当 l=3.03R时，经过实心水球在另一侧成等大倒立的实像。

（2）l>3.03R

根据（５）式，当l>3.03R时

由（７）式可知，l'随l增大而减小，且当l>3.03R时，l' >4.03R。因此，左侧成像应在右侧球外，但右侧球面在左侧折射光线成像前再次折射，所以左侧折射光线实际并未成像。那么，右侧入射光线即可视为左侧虚物所发出。所以，右侧球面折射时（虚）物距L=-（l'-2R），虚物用负号表示（下同）。l'是左側面距离，L是右侧面距离，两者距离需要换算（下同）。右侧面折射时根据（４）式可得

由（７）（８）式可得L' >0，右侧成实像。且L'随l增大而减小，当l>3.03R，即l'>4.03R，则1.01R3.03R时，经过实心水球在另一侧成倒立缩小的实像，如图４所示。

（3）l<3.03R

根据（５）式，当l<3.03R时

由（９）式可知 l'<0，且|l'|>1.33l，所以左侧折射后成虚像，与物同侧且靠后。该虚像经右侧球面再次折射时可将其视为实物。所以，右侧球面折射时物距L=|l' |+2R。再次应用（４）式得

联合（９）（１０）式分析：

当l=1.02R时，|l'|=2.03R，L=4.03R，则L'→∞，不成像，如图５所示。

当0

当1.02R2.03R，L>4.03R，则L' >3.03R，成倒立放大的实像，如图7所示。

根据天宫课堂视频画面推测当时航天员距离水球的距离大约为４Ｒ，成像应符合l>3.03R的情形，实际成像为图１所示的倒立缩小的实像。

３    空心水球光学成像分析

２号面折射时根据（４）式可得

进一步分析图9 所示状态，根据（１）式可知，当１号面的物点由图9的无限远逐渐靠近时，图9的光线以轴线为界，上下光线将同时分别有逆时针和顺时针的角度旋转。所以，当物点无限接近１号面时，２号面的虚像位置最近。即l1→0，根据（５）式可知l'1<0且l'1→0。１号面虚像可作为２号面实物，则l2=R-r，代入（１１）式可计算出２号面虚像最近的位置

反之，如图9所示状态的２号面虚像位置最远。即l1→∞，根据（７）式可知l'1=4.03R，１号面实像可作为２号面虚物，则l2=-[4.03R-（R-r）]=-（3.03R+r），代入（１１）式可计算出２号面虚像最远的位置

综上所述，空心水球的２号面始终只能成虚像（l'2<0），并且在该面左侧。具体位置（距离２号面）范围为

因为２号面所成像为虚像，可当作３号面的实物，如图10所示。所以

３号面折射时根据（４）式可得

４号面折射时根据（４）式可得

４    结论与讨论

本次天宫课堂开展的意义重大，通过对课堂实验现象的分析，在一定程度上激发了青少年的科学探索兴趣，培养了他们用实验来探索真理的科学态度。

参考文献：

［１］符译丹，陈立万． 基于“５Ｅ”教学模式的高中物理教学设计探究——以人教版“液体的表面张力”教学为例［Ｊ］． 物理教师，２０２２，４３（１）：６－１１．

［２］陈海深，叶其思，宋善炎． 物理实验“可视化”的探索与实践［Ｊ］． 物理教师，２０２１，４２（１１）：４７－50，５４．

［３］顾琦．“玻璃碎片的折射率测量”的ＳＴＥＭ课程尝试［Ｊ］． 物理教师，２０２０，４１（１２）：４１－42，４７．

［４］唐笑年．医用物理学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０２１：２０６－２１１．

［５］劉道军，程冬．基于光杠杆的弯曲法杨氏模量测量研究［Ｊ］．宿州学院学报，２０１９，３４（２）：７６－７８．

（栏目编辑    刘   荣）