刘 颖，王 威，夏艳波，周凌峰

(湖南交通工程学院,湖南 衡阳 421001)

输流管道在航空、水利、核能、石油和海洋等领域有着广泛的应用,这使得与之相关的流固耦合振动问题在近一个世纪以来受到了广泛的关注和研究[1-7],但学者们的工作内容大部分是围绕单跨输流管道,对多跨输流管道的研究很少。李宝辉等[8]以Timoshenko梁为模型,从波动的角度出发,运用波动法对管道进行了研究,借助流固耦合方程得到了波在固支、简支和自由三种端部条件下的反射矩阵以及波在中间弹性支撑处的散射矩阵,然后以一段4 m长的简支管道为实例验证了波动法的正确性,最后结合上述散射矩阵,得到了分析多跨管道流固耦合振动的频率特征方程。阴豪等[9]考虑了轴向力、液体压力、泊松比对充液直管的影响,通过分析其模态函数的特征方程得到低频情况下的点矩阵,然后以五跨充液直管为实例,验证了传递矩阵法以及计算方法的正确性,最后分析了阀门对单跨和多跨模态频率的影响。

本文采用Bernoulli-Euler梁模型,运用Laplace变换对多跨输流管道的运动微分方程进行求解,提出求解多跨输流管道固有特性的Green函数法,可为分析多跨输流管道提供一种新的计算方法。

1 运动微分方程

如图1所示,铰支支撑的多跨输流管道内流体以恒定流速流动。

管道采用Bernoulli-Euler梁模型,考虑了材料的粘弹性。位置x处、t时刻的挠度为w(x,t),其运动微分方程见式(1):

(1)

其中,EI为管道抗弯刚度;E*为粘弹性系数;w为管道横向位移;L为管道长度;M为单位长度管道内流体的质量;m为管道单位长度质量;U为管内流体流速;Fj为中间第j个支座的支座反力,视为荷载处理,自由振动时为简谐力,其频率为系统自由振动频率Ω。

引入以下无量纲量(见式(2)):

(2)

将式(1)无量纲化为式(3):

(3)

2 运动微分方程的求解

假设方程(3)的解为以下形式(见式(4)):

W(ξ,τ)=Re{η(ξ,τ)}

(4)

其中,η(ξ,τ)的计算公式见式(5):

η(ξ,τ)=X(ξ)eiωτ

(5)

将式(5)代入式(3)得式(6):

(6)

对式(6)进行Laplace变换得式(7):

(7)

解得式(8):

(8)

其中,a1的计算公式见式(9):

(9)

(10)

通过Laplace逆变换可得到式(11)—式(15):

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

其中,A1(ξ)～A4(ξ)的计算公式见式(16):

(16)

式(15)中ε(ξ-j)为单位阶跃函数。

运用式(11)—式(15)对式(8)进行Laplace逆变换可以得到X(ξ)的Green函数形式解(见式(17)):

(17)

其中,φ1(ξ),φ2(ξ),φ3(ξ),φj(ξ)的计算公式见式(18):

(18)

为了得到管道的振型函数和频率方程,对式(17)求导,得式(19):

(19)

从式(17),式(19)我们可以得到左端(ξ=0处)和右端ξ处的条件关系式,见式(20):

(20)

3 振型函数和频率方程

下文以两跨简支输流管道为基础,计算两跨简支输流管道的振型和频率方程。

当n=2时,如图1所示多跨简支支撑输流管道的边界条件见式(21):

(21)

将式(21)代入式(20)整理得式(22):

(22)

解得式(23):

(23)

将式(23)代入式(17)得两跨简支支撑输流管道系统振型函数的Green函数解见式(24):

(24)

记式(22)的系数矩阵为A,则输流管道系统频率方程的Green函数解可通过式(25)获得:

|A|=0

(25)

4 计算结果

4.1 计算方法的验证

为了验证此方法的正确性,设n=2,并令粘弹性系数为零,可以得到流速等于零时一阶和二阶的固有频率,经计算并与文献[10]的结果进行换算对比,二者实质上相同。

4.2 计算结果及分析

图2给出了α=0时两跨简支输流管道的无量纲复频率实部、虚部随无量纲流速的变化曲线。可以看出:系统一阶和二阶、三阶和四阶的变化规律相似,一阶、三阶、五阶与图3所示单跨简支输流管道的一阶、二阶、三阶相同,二阶、四阶与固-简输流管道(未单独图示)的一阶二阶相同。一阶至五阶模态的初次失稳方式均为发散失稳。随着流速继续增加,一阶和二阶虚部会无限接近三阶和四级虚部,然后开始分离(未相交),且一阶和二阶会由发散失稳变为颤振失稳。

图4给出了α=0.01时单跨简支输流管道的无量纲复频率实部、虚部随无量纲流速的变化曲线。可以看出:当无量纲流速为零时,系统无量纲复频率的虚部不为零,阶数越高其虚部也越大;粘弹性会使系统二阶、三阶的发散失稳临界流速增大。实部为零时,系统不会立刻发散失稳,且阶数越高,虚部分岔所对应的流速与发散失稳所对应流速的间距也越大。随着流速的增加,一阶虚部分岔后会再次汇合。

对比图3,图4发现:粘弹性会提高单跨简支输流管道系统的二、三阶发散失稳临界流速和一阶颤振失稳临界流速(α=0时,一、二、三阶发散失稳临界流速分别为3.14,6.28,9.42;一阶颤振失稳临界流速为6.31。α=0.01时,一、二、三阶发散失稳临界流速分别为3.14,9.41,15.71;一阶颤振失稳临界流速为6.62)。

图5给出了α=0.01时两跨简支输流管道的无量纲复频率实部、虚部随无量纲流速的变化曲线。可以看出:系统一阶和二阶、三阶和四阶的变化规律相似,一阶、三阶、五阶与图4的单跨简支输流管道的一阶、二阶、三阶相同。

对比图2,图5发现:粘弹性会提高两跨简支输流管道系统的三、四阶发散失稳临界流速和一、二阶颤振失稳临界流速(α=0时,一、二、三、四阶发散失稳临界流速分别为3.14,4.5,6.28,7.73;一、二阶颤振失稳临界流速为6.31,7.76。α=0.01时,一、二、三、四阶发散失稳临界流速分别为3.14,4.5,9.41,10.91;一阶、二阶颤振失稳临界流速为6.61,8.23)。

5 结论

本文运用Laplace变换对多跨简支输流管道的运动微分方程进行求解,建立了对多跨简支输流管道固有特性分析的Green函数法。本文分析了单跨和两跨简支输流管道无量纲复频率随无量纲流速的变化规律、粘弹性对无量纲流速为零时两跨简支无量纲复频率实部的影响,得到以下结论:1)两跨和单跨输流管道的固有特性有一定关联,两简支会同时含有单跨简支和固支-简支输流管道的固有特性:两跨简支的2n-1阶与单跨简支的n阶固有频率相同,两跨简支的2n阶与单跨固支-简支的n阶固有频率相同。两跨2n-1阶和2n阶无量纲复频率的变化规律相似。2)粘弹性会提高系统的颤振失稳临界流速,以及高阶(阶数大于跨数)的发散失稳临界流速。3)两跨简支输流管道复频率实部高阶相比于低阶对粘弹性系数更为敏感。阶数越高,减小至零所对应的粘弹性系数也越小,当粘弹性系数超过一定值时,系统将完全处于稳定状态。