冯 开 南 英 王 昕 晁泽睿

（南京航空航天大学自然控制实验室 南京 211100）

1 引言

随着现代战争模式逐渐向着高技术、信息化、远程控制方向发展，空中武器的使用愈加频繁，各国对武器的精确性和实时控制性有着越来越高的要求［1］。在面对敌方来袭目标飞行器时，空空导弹的拦截是防御系统的重要组成部分［2］，能有效提高自卫飞机或友军目标的生存能力，在导弹群协同一体化拦截对方多飞行器目标时，可以依照每个拦截弹的动态可拦截区实时在线地分配拦截目标，对集群的目标分配有重大意义［3］。因此，对空空导弹的拦截特性动态可拦截区的研究有着非常重要的意义［4］。

计算可拦截区时，综合考虑到各种因素。第一，导弹自身的参数，例如导弹的结构参数、发动机特性、气动特性、导弹机动能力［5］。第二，导弹和目标之间关系，例如导弹与目标的相对位置、目标特性、目标的速度矢量、目标的机动能力［6］。第三，外部随机因素的干扰，例如，随机风场干扰、各系统中的随机误差和控制误差［7］。

空空导弹的动态可拦截区是导弹在拦截过程中实时可拦截的范围［2］，与传统的射后可拦截区相比，具有实时性、高效性、准确性、适用性等多种优势［8］。传统算法计算可拦截区包括二分法或黄金比例法等［9］，运算量较大，周期较长，运算速度受到限制，很难实时满足战场瞬息万变的局势［10］。

本文采用一种基于脱靶量的平移数值算法，大大减少了计算量，提高了计算速度［11］，可以做到快速并高精度地优化可拦截区的边界［12］。并且在拦截各种目标时，针对不同机动方式的目标，分别计算出其可拦截区的内外边界进行对比［13］。可以看出该方法计算可拦截区，具有实时、在线、快速等特点的同时［14］，对不同类型目标都可适用，具有很强的普适性［15］。

2 问题描述

空空导弹的动态可拦截区是指空空拦截导弹发射后，沿自身弹道飞行过程中，在发射tM时间后，在诸多外部限制条件下，能够有概率命中目标的区域，即：

其中，(Rmax，Rmin，Lmax，Dmax)|t=tM分别表示空空导弹射后tM时刻可攻击区的外边界、内边界、左侧边界、右侧边界；(h，ν，ψν，γ)|t=tM分别表示空空导弹沿着自身弹道飞行tM时间后的所在高度，飞行速度，轨迹偏角，轨迹倾角；(nT)|t=tM表示机动目标沿着自身弹道飞行tM时间后的机动过载；N1，N2，N3，...为其他限制条件，如目标飞行器的机动类型、目标飞行器的最大机动过载、导弹最大可用过载、导弹推进系统、风场作用力的影响及系统中其他的干扰因素等。机动目标有其自身的突防对策，即机动过载nT随时间的变化策略。本文主要研究机动目标的突防对策对拦截该目标的空空导弹的动态可拦截区各边界(Rmax，Rmin，Lmax，Dmax)的影响。

3 数学模型

3.1 拦截导弹的运动学与动力学模型

对于导弹3 自由度的运动方程，主要描述的是导弹的质心运动状态，主要考虑气动力、推力以及重力等。在讨论导弹绕质心的运动特性或对称姿态运动时，一些次要因素是可以忽略的，如地球自转、扁率、地球半径的变化等。

给出导弹一般运动方程组如下：

式中：(xm，ym，zm)分别表示导弹位置的经度、高度、纬度；(Vm，θm，ψνm)分别表示导弹飞行时的速度、弹道倾角、弹道偏角。

3.2 制导律模型

拦截导弹的制导律采用比例导引法，在速度坐标系中，利用式（5）～（7）可以计算出拦截导弹在导弹速度坐标系的指令加速度：

式中，n1，n2，n3，km是比例系数；˙是拦截弹与目标相对距离对时间的偏导数，即拦截弹与目标之间的相对速度；，，是导弹导引头的转动速度投影在导弹速度坐标轴上的分量；aTx，ν，aTy，ν，aTz，ν是目标的飞行的加速度投影在导弹速度坐标轴上的分量；，，是导弹导引头的转动速度投影在导弹速度坐标轴上的分量，拦截导弹在导弹速度坐标系的指令加速度可以通过矩阵转化为地面坐标系的指令加速度。

3.3 目标的数学模型

式中，下标T代表目标，aTx，aTy，aTz是目标的飞行的加速度投影在笛卡尔坐标轴上的分量。通过设定其随时间变化的函数，即可产生不同类型的机动突防飞行轨迹。

4 导弹动态可拦截区计算方法

4.1 确定可拦截区边界点

根据空空拦截导弹和不同机动方式的目标的数学模型与飞行状态，改进传统的平移数值算法，将每次平移的数值基于脱靶量来确定，对导弹可拦截区的可拦截内外边界进行初步解算，建立导弹可拦截区边界点的数据库。

将拦截导弹与目标之间的距离初始值设置为明显大于导弹最大拦截距离或明显小于导弹最小拦截距离，保证可以让导弹脱靶。将空空导弹相对目标的接近速度、空空导弹的工作时间、过载、视线俯仰角、视线方位角等指标取最大或最小值，作为最大或最小可拦截区的约束条件。根据脱靶量判向内或向外平移目标飞行器，平移的距离依据脱靶量的大小设置，作为下次迭代计算的初始值位置，如此循环计算求出边界，计算流程图如图1所示。

图1 可拦截区计算流程

4.2 多种目标的拦截轨迹及攻击区

4.2.1 动态可拦截区的实时变化

与传统的射前可拦截区相比，动态可拦截区能做到实时计算，实时变化，针对目标的不同运动状态，不同时刻，都能实时计算出可拦截区。选取迎向攻击直线运动目标为例，计算出拦截弹发射时刻与发射一段时间后的动态可拦截区，仿真结果如图2。

图2 迎击目标直线运动动态可拦截区与轨迹

其中红色与黑色线条分别表示拦截导弹与目标的运动轨迹，在其轨迹上取蓝色、橙色、黑色、品红色四点，分别为发射时刻、发射后5s、发射后20s、发射后40s 的导弹与目标所在位置，并有颜色相同的可拦截区与之对应。仿真计算表明，可拦截区的边界在飞行拦截过程中不断发生变化，所以进行实时计算与更新是有必要的。

4.2.2 内外边界与拦截轨迹

考虑到目标机动方式的多样性，选取几种典型的目标机动方式对其进行拦截，通过C++程序进行计算，得到动态可拦截区，取其发射时刻的内外边界画出图像，并选取其中一个拦截目标的算例，得到将拦截弹与目标的轨迹图像，利用Matlab画出图例如图3～8。

图3 迎击目标直线运动可拦截区与轨迹

图4 尾击目标直线运动可拦截区与轨迹

图5 迎击目标U型运动可拦截区与轨迹

图6 尾击目标U型运动可拦截区与轨迹

图7 目标sin型机动可拦截区与轨迹

如图3～图8所示，蓝色圆点表示拦截导弹发射点，设置为（0，10km，0），蓝色线条表示目标飞行轨迹，红色线条表示拦截导弹飞行轨迹，品红色圆点表示计算得到的发射时刻可拦截区内边界，黑色圆点表示发射时刻可拦截区的外边界，选取的拦截轨迹算例是在外边界计算时获取的。

图8 目标螺旋机动可拦截区与轨迹

4.2.3 拦截不同机动目标时导弹数据对比

如图9～图12 所示，分别表示导弹在射后至燃料耗尽时间内速度、加速度、轨迹倾角、轨迹偏角随时间的变化过程，由图可以看出，在追击不同机动目标时，导弹速度、加速度、轨迹倾角、轨迹偏角会根据目标的不同运动状态自适应地调节，以便更精确地追踪目标。

图9 导弹速度随时间变化曲线

图10 导弹加速度随时间变化曲线

图11 导弹轨迹倾角随时间变化曲线

图12 导弹轨迹偏角随时间变化曲线

4.2.4 不同机动方式内外边界对比

由图13～15 明显看出，在其他条件相同时，可拦截区的边界大小与目标的机动方式有关，当目标速度一定时，可拦截区由内而外，由小到大的排序依次为尾击直线运动、尾击U 型机动、sin 型机动、螺旋机动、迎击U 型机动、迎击直线运动。这个现象对分析可拦截区的大小边界有着引导性作用。

图13 目标不同机动可拦截区X-Y平面对比

图14 目标不同机动可拦截区X-Z平面对比

图15 目标不同机动可拦截区三维对比

5 结语

本文为了更高精度、更快速地计算导弹动态可拦截区，基于数值平移法的原理进行优化，提出了根据脱靶量快速迭代计算可拦截区的边界值，大大减少了计算量，计算结果与实际仿真解算的可拦截区边界点误差很小，且能够进行实时、快速、在线计算。并针对六种不同机动轨迹的目标进行了有效拦截，并对拦截各种机动目标的导弹轨迹以及数据进行分析比较。在实际作战过程中，可以首先判断突防飞行器的机动策略，做出相应的拦截策略，实时判断可拦截区与拦截时间。在作战过程中的导弹攻防对抗、群体导弹拦截一体化协同等方面，有很强的工程实际意义。