翟玉晓　张瑞明　刘越　张建鹏　杨嘉鹏

关键词：自动控制原理；Matlab；仿真手段；分析系统；应用型本科

中图分类号：G642 文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2023）20-0160-04

0 引言

近些年，随着数字化和智能化在各行各业中的蓬勃发展，自动控制原理这门课程越來越被重视，已逐步演变为一门公共基础课。自动控制原理这门课程主要讲述了分析和校正系统的方法和手段[1]。通过运用这些方法和手段，人们可以使系统按照自己预先设定的规律运行。但是应用这些方法对系统展开分析时，需要高等数学、复变函数和电路等课程作为先验知识[2-3]。同时整个理论体系适用的范围是所有的线性定常系统，这就使得本门课在学习起来内容庞杂、晦涩难懂。

通过对课程内容、学生认知程度和接收效果进行反思、分析和调查，学生对于日常生活中实体设备的学习和应用掌握得都比较好。对于自己动手探索和验证过的知识有同样的接收效果。相反，对于像自动控制原理这类理论性较强，主要以灌输式、板书和多媒体教学方式为主的课程，学生的接收效果就参差不齐[4-5]。造成这种现象的主要原因是学生抽象思维能力有强有弱。每个学生的抽象思维能力都不尽相同且不可在短时间内被训练，这就使得学生对于理论性较强课程的接收效果不好，差别很大。

鉴于实验和实体设备良好的教学效果，拟将Mat? lab引入自动控制原理的教学环节中。通过Matlab仿真的加入和各个章节的重新设计，使原本抽象复杂的教学内容变得简单起来[6]。Matlab的加入也极大地激发了学生的探知欲，培养了学生自我动手的能力和相互协作的团队精神。在学习过程中，小组成员之间的讨论和探讨，也有助于学生加深对所学知识的理解，还可以培养学生的质疑能力和独立思考能力。

1 自动控制原理教学特点

自动控制原理所能解决的系统为单输入单输出的线性定常系统，而要研究所有的线性定常系统，探求它们的共性，提出适用于所有系统的一般性理论，就需要对系统进行抽象，在数学层面上讨论控制问题。因为没用唯一确定的实际系统作为参照，感觉系统分析一直在进行数学变换和方程求解。整个分析过程不像处理系统问题，反而像解决数学问题。

基于自动控制原理的上述特点，老师在进行授课时往往会选择板书和多媒体并行的授课方式[7]。板书可以对一些比较复杂的公式进行推导，而多媒体则能形象地展示整个控制过程。以上这种教学方式在一定程度上改善了教学效果。特别是对数学功底和抽象思维能力较好的同学，而对其他同学效果并不是很明显。

对于教学中遇到的这些问题，本文在原有的基础上做了针对性改进。将学生熟知的系统和一些简易的工程案例引入自动控制原理的日常教学中。同时，在课后还辅助了相应的实验，以验证理论的有效性。教学加实验的改进，在一定程度上激发了学生的学习积极性，能够帮助学生进一步认识和理解相关的理论知识。但是在这一过程中，也伴随着一些问题。比如可以作为教学的工程案例较少，很多教师缺少实际工程的经验，能够列举的案例有限；常规的实验箱，设备老旧且元件参数不稳定，很难调整到需要的参数[8-9]；实验课程和理论课程在一定程度上是脱离的，只是就理论而理论，就实验而实验，没有很好地将二者结合起来。

2 Matlab 在自动控制原理课程中的应用

Matlab作为一款计算机辅助设计软件，除了友好的编程环境外，还提供了矩阵计算、图形绘制、数据分析和系统控制等强大的功能。通过这些功能，可以轻松地将原本抽象的内容以图形的形式直观地呈现出来，很容易做到计算结果的可视化[10-11]。友好的编程环境和高级的编程语言，不需要学生再编写底层代码，只需要了解每个函数参数的意义就可以直接进行调用，极大地降低了编程难度。同时，Matlab中所搭载的Simulink库为系统仿真提供了模块化的编程[12]。学生只需要按给定的系统结构进行搭建，并键入相应的传递函数就能得到所给系统的输出响应。

鉴于该课程的特点和Matlab的优势，可以将二者有机地整合起来。依据每一章分析和校正系统特点，进行一个全新的设计，使其满足每一章的教学要求。

2.1 Matlab 在时域分析法中的应用

时域分析法是通过观察系统输出响应跟随单位阶跃响应变化，进而分析该系统稳定性、准确性和快速性的一种方法。

在对系统进行分析时，由于一阶系统只有一个参数—时间常数T，且该系统传递函数较为简单，可以很容易进行求解，因此不存在多大困难。但是对于二阶系统，其涉及两个重要参数—阻尼比ζ 和无阻尼自然振荡频率?n。此时就需要固定?n，对ζ 进行独立分析。由于ζ 变化会引起二阶系统特征根的变化，特征根的变化又会导致系统性能的改变。因此，对二阶系统性能的分析可以设计为简要介绍加学生自主探索的模式。在这一模式下，教师只需简要介绍二阶系统闭环传递函数和影响系统性能的因素。至于如何影响，则全由学生独立去探索。

假设有一个二阶系统，其闭环传递函数如式1所示。令ζ 分别等于2、1、0.75、0.5、0.2和0，试分析在单位阶跃响应下ζ 对二阶系统性能的影响。

对于上述问题的探究，可以借助Matlab中搭载的Simulink。利用Simulink库中提供的模块可以构建系统的传递函数。系统的输出则可通过示波器模块进行观察。对于上述系统，其Simulink结构如图1所示，示波器的输出结果如图2所示。除此之外，还可以借助编程手段对该问题进行探究，具体程序如下，其输出响应曲线如图3所示。

由图2和图3可知，随着ζ 的逐步减小，二阶系统的上升时间tr在缩短，超调量6% 在增加，即系统的快速性在变好，稳定性在变差。通过对比发现，系统的快速性和稳定性是一对不可调和的矛盾。要想提升其中一个的性能，必然要牺牲另一个的部分性能。

除此之外，随着ζ=2逐步减小到ζ=0，二阶系统的稳定性从较好变成了不稳定。对于线性定长系统而言，系统的稳定性与系统的特征根之间息息相关。因此，可以借助Matlab中求根函数和零极点标注函数探索系统特征根与系统稳定性的关系。

通过求解，每个ζ对应的特征根如表1所示，零极点标注如图4所示。

由表1可知，ζ 由2变化到-0.2的过程中，二阶系统的两个特征根从刚开始的小于0变为大于零，有实根也有复根。从图4根的分布来看，二阶系统的根则从一对不相等的负实根到一对相等的负实根，再到一对实部为负的共轭复根，一对纯虚根，最终变成一对实部为正的复根。而在这一变化过程中，系统也从稳定变为了临界稳定直至最后的不稳定。

结合系统输出响应曲线、系统特征根和系统零极点的分布，不难得出如下结论：当系统特征根小于零时，系统稳定；当系统特征根为纯虚根时系统处于临界稳定；当系统特征根大于零时，系统不稳定。

尽管以上只给出了一个系统的根和其稳定性的关系，单一系统也无法替代所有的线性定常系统。但整个探寻过程给学生提供了一种思考和解决问题的思路。学生可以以此对不同阶次的系统展开讨论，判断上述结论是否对高阶系统也同样成立。

通过上述实验，学生对二阶系统阻尼比ζ 如何影响系统性能有了一个直观的认识。对根的分布情况和系统稳定性之间的关系也有了一定的了解。紧接着授课教师就可以带领大家，从数学层面去揭秘它们的关系。从整个教学过程看，新的教学方法立足于学生动手实验，做到了以学生为中心。打破了之前直接灌输式的教学方式，培养了学生的动手能力、编程能力，还教会了学生看待问题和处理问题的方法，提升了教学质量。

2.2 Matlab 在根轨迹分析法中的应用

根轨迹法是以图解的形式表述闭环系统特征根随系统某一参数变化而变化的方法。该方法用开环传递研究闭环系统特征根的问题，避免了解高次方程的根。通过绘制系统的根轨迹，可以直观地观察系统特征根随参数变化的分布情况，也可以清楚地确定系统的稳定区间和该区间内系统性能的变化。

对于根轨迹分析法，其中最重要的一环是能够准确地绘制出系统的根轨迹。对此，自动控制原理给出了八条绘制根轨迹的法则。通过这些法则，可以正确绘制出系统的根轨迹。但是，通过学生的测验、作业和试卷反馈，学生对这一知识点的掌握并不是很好。究其原因，主要是学生对八条法则的合理运用存在一定的困难。对此，在进行根轨迹绘制时，可以采用Matlab 辅助绘制，即先让学生独立运用八条法则绘制，等绘制完成之后，再利用Matlab进行验证。除此之外，学生还可以借助生成的根轨迹曲线探究系统的性能。

例如给定一个系统的开环传递函数，其表达式如式2所示，绘制其根轨迹图。

从式2可知，该系统既有极点又有零点，且极点与零点数目相差为1。因此不满足“根之和”这条法则的应用条件。除此之外，可以依次使用其他七条法则对该系统的根轨迹进行绘制。接着利用Matlab再次绘制该系统的根轨迹，并与手工绘图进行对比，以此校正手工绘制过程中的偏差。其中Matlab绘制的根轨迹如图5所示。

从图5可知，Matlab可以非常精准地绘制出系统的根轨迹。学生可以将其作为参照，纠正自己绘图中的错误，进而吸收并熟练掌握绘制根轨迹的八条法则。

相较于手工绘图，计算机绘图能够较为准确地表述当K 值从零变化到无穷时，闭环系统特征方程的特征根所处的位置，便于对系统进行分析。同时，通过图5学生还能清楚地分辨出系统根轨迹的条数，每条根轨迹的走向和变化趋势。如果用鼠标点击根轨迹上的任意一点，图像还会显示该点处的K 值大小、零极点值、阻尼比、超调量和频率值。借助这些参数学生可以讨论该系统的各种性能，选择合适的K 值，便于系统的校正。

2.3 Matlab 在频域分析法中的应用

作为又一种图解方法，频域分析法的主要思想是：把系统中的各个变量看成一些信号，而每一种信号又可以分解为不同频率的正弦信号。这样整个系统的响应就等同于这些正弦信号分别作用于该系统的响应总和。它与根轨迹分析法一样，可以利用作图的形式很直观地反映系统的性能，避免了解高次方程的根，该方法已被广泛应用于工程分析和设计中。

但是在实际教学中，学生普遍存在坐标把握不精确，模值、相角求解困难以及转折频率无法精准计算等问题。因此影响了Nyquist 图和Bode 图的正确绘制。进而妨碍了系统性能的分析。对此，可以利用Matlab仿真解决这一问题。

由式3、nyquist（num， den）、bode（num， den）和margin （mag， phase， w）可得系统的Nyquist图和Bode图。其具体响应如图6和图7所示。

由图6可知，当K=1时，系统的Nyquist曲线没有包围（-1，j0）点。依据Nyquist稳定判据，在该情况下，系统稳定；当K=3.8时，系统Nyquist曲线刚好过（-1，j0） 点，該系统处于临界稳定；当K=10时，系统Nyquist曲线顺时针包围（-1，j0）点半圈，该系统不稳定。

为了验证上述结论的正确性，可以观察三种情况下系统Bode图的幅值裕度和相角裕度。由图7可知，当K=1时，系统相角裕度为正，系统幅值裕度大于1，系统稳定；当K=3.8时，系统相角裕度为0，系统幅值裕度为1，系统临界稳定；当K=10时，系统相角裕度为负，系统幅值裕度小于1，系统不稳定。

由上述例证可知，利用Matlab可以快速精准地求解出系统的Nyquist图和Bode图，避免了手工绘图产生的误差和错误。精准的图像更利于系统稳定性和系统动态性能的分析，便于系统的设计。

3 效果与反思

相较于之前的灌输式教学，在新的教学方式下，学生的自主意识有了明显的提升，特别是第三章时域分析法的学习。学生从之前的只听老师讲，变成了自己或与其他同学合作去探索整个问题的答案，学会了用对比的方法找问题间的差异，进而研究导致这些差异的原因，学会了研究某一问题的基本方法和手段。该方式培养了学生的质疑和解决问题的能力。

通过由实验到理论、理论到实验之间的不断转换，学生对于知识的理解在不断地加深。有些晦涩难懂的知识点在这一过程中也得到了全新的解释。学生对于知识的理解不再浮于表面，而是看得更深，理解得更加透彻和全面。实验和理论的相互交叉也更利于学生从理论到实际的转化，便于后续的工程应用。

4 结论

本文针对自动控制原理这门课程在教学过程中遇到的问题，提出了将系统仿真技术应用于该课程日常教学的解决方法。该方法借助Matlab仿真的优势，对之前的教学方法进行了改进。依据每章知识的特点，对各章节进行了不同的设计。在学生掌握基础知识的前提下，进一步培养学生独立思考和独立探索的能力。经过该方法的应用，能够调动学生的学习积极性。学生更乐意从实验、从讨论中得到相应的结论。与之前的教学方法相比，该方法进一步将探索和发现的过程还给了学生，学生进一步成为学习的主体。整个教学效果有了进一步的提升。