孟亚男,武 丹*,王 强,王文琪

(1.吉林化工学院 信息与控制工程学院,吉林 吉林 132022;2.华润雪花啤酒(吉林)有限公司,吉林 吉林 132021;3.吉林市创赢自控设备有限公司,吉林 吉林 132022)

多效蒸发是工业生产中复杂的生产单元之一,其过程参数多、操作成本大等特点使得建立相应系统的数学模型有着非常重要的意义。生产过程的数学模型可以根据参数是否随时间变化分为静态和动态模型。静态模型是稳态时描述输入输出变量关系的表达式,也称稳态计算[1]。已经有很多学者对多效蒸发的稳态计算做了非常重要的工作,任竞争[2]等应用MATLAB工具箱函数联立多效蒸发系统的平衡方程,对三效蒸发实例实现稳态计算,但该方法方程数量过多,只适合效数较少的多效蒸发系统;阮奇[3]等提出了迭代法结合矩阵法求解稳态计算的新算法,但矩阵法实现起来比较复杂。本文以文献[4]为蓝本,根据福建青山碱回收二厂3号蒸发站的工艺数据进行静态模型建立和模型求解。

1 工艺流程

根据文献可知,该多效蒸发系统改造项目是增加两效逆流降膜式蒸发器,工艺流程如图1所示。

图1 逆流加料二效蒸发工艺流程示意图

图中D0表示新鲜蒸汽流量;T0表示新鲜蒸汽温度;Wi和Ti分别表示第i效二次蒸汽流量及温度;F1、t1、x1分别表示进料流量、温度和浓度;F2、t2、x2分别表示二效出料液流量、温度和浓度;F3、t3、x3分别表示完成液流量、温度和浓度;w代表闪蒸出二次汽流量。新鲜蒸汽采用165 ℃饱和蒸汽,从Ⅰ效进入,对料液进行加热,Ⅰ效产生二次汽进入Ⅱ效作为加热热源。料液由Ⅱ效进入,逆流经Ⅱ效后进入Ⅰ效,最终完成液由Ⅰ效流出。根据现场工艺要求,Ⅰ效冷凝水闪蒸后得到的闪蒸气与Ⅰ效二次汽一并进入Ⅱ效。

2 稳态模型建立

2.1 参数的确定

多效蒸发系统的参数繁多,且很多位置不方便测量。因此,对多效蒸发系统进行稳态计算,得到各参数的稳态值有十分重要的意义。通常以下参数是现场可以实际测量或可查表得到：进料流量、进料温度、进料浓度、出料浓度、加热蒸汽压强或温度、末效二次汽压强或温度、每效蒸发器的传热系数,具体参数还要根据现场实际数据得到。

已知参数有：加热蒸汽T0=165 ℃;Ⅰ效二次汽出口压力P1=310 kPa;Ⅱ效二次汽出口压力P2=146 kPa;料液进料量F1=72 115 kg/h;料液进料温度t1=110 ℃;料液进料浓度x1=52%,完成液浓度x3=73.82%;Ⅰ效传热系数K1=372 W/(m2·℃);Ⅱ效传热系数K2=542 W/(m2·℃)。需要确定的参数有：加热蒸汽流量D0;Ⅰ效二次汽流量W1;Ⅱ效二次汽流量W2;Ⅰ效进料浓度x2;Ⅰ效进料温度t2;Ⅰ效出料温度t3;Ⅰ效、Ⅱ效传热面积S1、S2。

另外根据工艺要求,Ⅰ效冷凝水闪蒸出的蒸汽量w也是未知参数,需要确定其与已知参数的关系。

设效间温度损失为0.5 ℃,则进入Ⅱ效蒸发器的二次汽温度为133.5 ℃。因此,闪蒸罐闪蒸出的饱和蒸汽需要达到133.5 ℃。通过查表可知,饱和水蒸气和冷凝水焓值：H1=2 729 kJ/kg(133.5 ℃),H2=560.59 kJ/kg,H3=696.52 kJ/kg,根据闪蒸罐能量守恒得到：

D0H3=wH1+(D0-w)H2,

(1)

将H1、H2、H3带入式(1),整理出闪蒸量w和加热蒸汽量D0的关系w=0.062 7D0。

2.2 物性参数关系

多效蒸发系统稳态计算模型的建立,需要确定几个物理特性,比如蒸汽的汽化潜热和料液的比热容等。需要将这些物理特性参数由已知参数确定或由未知参数得到一定的关系式代入到计算模型中才能求解。

饱和水蒸气汽化潜热可以通过查表拟合方法得到公式[5]为

(2)

式中：ri是第i效饱和水蒸气汽化潜热(单位：kJ/kg);Ti是i效蒸汽温度(单位：℃)。

溶液的比热容一般是与其浓度有关的表达式,本文制浆黑液的比热容可用式(3)进行估算[6]：

Cpi=2.016xi+4.186(1-xi) ,

(3)

式中,Cpi是i效溶液比热容,kJ/(kg·℃);xi是i效溶液进料浓度。

在多效蒸发过程中,每一效都会有一定的温差损失,主要由沸点上升、各效管路阻力损失和液体静压引起的温度损失组成[7]。由于管路和静压差损失与沸点上升相比很小,本文忽略不计。由文献[8]可以得到制浆黑液相平衡关系式为

ΔT=6.173x-7.48xx0.5+32.747x2,

(4)

t=ΔT+T,

(5)

式中：t是溶液温度(单位：℃);ΔT是沸点升高值(单位：℃);x是该效出口料液浓度。

在多效蒸发过程中,对饱和水蒸气一般测量其压力,再通过查表确定饱和水蒸气温度[9]。本文将饱和水蒸气(以压强为准)对应数据应用MATLAB进行拟合。得到的曲线用高次多项式也难以表示,因此,采用数据游标方式读取温度值来确保该压强下得到的温度值是准确的。

Ⅰ效二次汽出口压力P1=310 kPa,Ⅱ效二次汽出口压力P2=146 kPa。通过数据游标方式得到Ⅰ效二次汽出口温度T1=134 ℃,Ⅱ效二次汽出口温度T2=110.5 ℃。

2.3 建立稳态计算模型

多效蒸发的稳态计算一般是采用迭代法根据工艺要求和经验参数,估计各效蒸发量和完成液组成。由于该改造项目工艺要求,传热面积不相等,故本文根据每一效的物料平衡、热量平衡、相平衡、传热速率方程,利用各项物性参数关系,建立逆流双效蒸发系统的稳态方程组,即稳态计算模型。

Ⅰ效：

(6)

传热速率：f2=K1S1(T0-t3)-D0r0,

(7)

+T1,

(8)

(9)

Ⅱ效：

热量平衡：

(10)

传热速率：f4=K2S2(T1-t2)-(W1+w)r1,

(11)

+T2-t,

(12)

物料平衡：f6=F1x1-F2x2.

(13)

因此,逆流双效多效蒸发系统的稳态计算模型是公式(6)～(13),需要求解的未知参数一共有8个,已知Ⅰ效二次汽出口温度T1=134 ℃,完成液浓度x3=73.82%,根据公式(7)可以得到完成液温度t3;已知料液进料量F1=72 115 kg/h,料液进料浓度x1=52%,完成液浓度x3=73.82%,根据公式(8)可以计算得到总蒸发水量W。剩余6个方程解6个未知参数,可解。

3 模型求解

3.1 求解方法

以上得到的稳态计算模型是一组非线性方程组,求解目的是找到同时满足上述方程的一组解。解非线性方程组的方法很多,例如,MATLAB工具箱fsolve函数、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代等,本文采用的是牛顿-拉弗森(Newton Raphson)法,也称牛顿迭代法。

牛顿迭代法的基本原理是将方程组按Taylor级数展开(略去高阶偏导数),得到近似方程组。

(14)

Δw1=w1,k+1-w1,k,其他参数同理。将式(14)写成紧凑型矩阵形式是JkΔXk=-fk,其中Jk为雅可比方阵[10]：

(15)

fk=[f1,f2,f3,f4,f5,f6]T.

(16)

牛顿迭代法要求矩阵Jk可逆,若Jk奇异或接近奇异,需采用其他求解方式。牛顿迭代法具有二阶收敛速度,实际计算时迭代初始点(初值)与方程组的根靠近时,二阶收敛才能很好地体现出来[11]。因此,使用牛顿迭代法求解方程组时需要尽可能地使其初值靠近方程组的解。

3.2 初值计算

料液进料量F1=72 115 kg/h=20.032 kg/s,料液进料浓度x1=52%,完成液浓度x3=73.82%,由公式(9)可以求出总蒸发水量W=5.92 kg/s。设加热蒸汽D0=0.5W=2.96 kg/s,假定各效蒸发水量相等,W1=W2=0.5W=2.96 kg/s,x2=F1x1/(F1-W2)=0.61。

已知T0=165 ℃,T1=134 ℃,T2=110.5 ℃,由公式(8)和公式(12)得料液温度t2=122.69 ℃,t3=151.657 8 ℃。S1=D0r0/K1/(T0-t3)=1 235.3 m2,S2=(W1+w)r1/K2/(T1-t2)=1 111.47 m2。

3.3 变量比例化

为减小计算误差并对各参数建立一致的收敛精度要求,本文采用比例因子法,即将参数和方程按一定比例折算成新的变量,使新变量具有相同数量级[12]。令：

X1=W1/F1,X2=x2,X3=t2/T0,X4=D0/F1,X5=S1/200F1,X6=S2/200F1,g1,2,3,4=fi/F1r0,g5=f5/T0,g6=f6/F1。

3.4 模型求解

使用MATLAB进行牛顿迭代法编程求解,求解计算框图如图2所示。计算结果如表1所示。

表1 计算结果与文献数据对比表

图2 多效蒸发牛顿迭代法计算框图

4 结 论

本文联立双效逆流蒸发系统的热量平衡、传热速率、相平衡、物料平衡、物性参数关系建立了该系统的稳态计算模型,思路简单且有一定通用性。采用牛顿迭代法求解计算模型方程组,编程简单、收敛速度快。最后,将计算结果与文献数据进行对比,数据偏差率较小,满足设计要求,证明本文所述稳态计算模型和求解方法可行性高,可应用于其他多效蒸发系统的设计和计算。