陈池婷 吴磊 王霞 王婷 刘延君 蒋军† 董晨钟

1) (西北师范大学物理与电子工程学院,兰州 730070)

2) (兰州理工大学理学院,兰州 730050)

利用相对论组态相互作用模型势方法计算了B2+和B+离子的波函数、能级和振子强度,进一步得到B2+离子2s1/2,2p1/2,2p3/2,3s1/2 态的电偶极极化率和基态2s1/2 的超极化率,以及B+离子2s21S0 与2s2p 3P0 态的电偶极极化率.B2+离子2p1/2 和2p3/2 的偶极极化率为负值,基态2s1/2 的超极化率的贡献主要来自于与极化率相关的 α 1β0 项.对于B+离子,钟跃迁2s2p 3P0 → 2s21S0 在室温下的黑体辐射频移是0.01605 Hz,该黑体辐射频移比碱土金属原子的钟跃迁黑体辐射频移小1—2 个数量级.

1 引言

近年来,随着激光冷却和囚禁技术的快速发展,光学原子钟的精度和稳定性得到极大的提高[1-7].高精度的原子光钟可用于精确测量基本物理常数[8],测试局部洛伦兹不变性[9,10],探索精细结构常数α随时间的变化[11,12],探测暗物质和暗能量[13,14],探测引力波[15]以及检测超越粒子物理标准模型的新作用力[14,15].

在外电场中,原子的能级会发生斯塔克(Stark)效应,静态Stark 效应导致的能级移动可以写为[16]

其中α1为静态电偶极极化率,FZ是静电场沿Z轴的分量,γ0为静态电偶极超极化率.电偶极极化率和超极化率都是描述外电场中原子的电子云偏离正常分布程度的物理量.极化率是电荷分布对外电场的最低阶响应,极化率在原子钟[8,17]的研制方面有着十分重要的应用.例如,利用原子的极化率可以估算原子钟钟跃迁的黑体辐射(BBR)频移,BBR 频移和Stark 效应是影响原子钟精度的主要来源[1,3,18-20].极化率可用来构建超冷原子之间的长程相互作用势[21-23]等.原子的超极化率可以评估高阶Stark 频移,例如,超极化率对Sr 和Yb 原子钟可以产生0.1—1.0 mHz 的Stark 频移[24-26],对Al+离子量子逻辑钟的影响可以达到10—19量级[1].超极化率已经成为影响新一代原子钟精度的重要因素.然而实验上精确测量原子极化率和超极化率非常困难.因此需要理论方面提供精确的原子极化率以及超极化率.

B2+离子是三电子体系,基态为1s22s2S1/2,B2+离子是精密测量物理非常重要的研究体系[27,28].B+离子的基态为2s21S0,第一激发态2s2p3P0是一个长寿命的亚稳态,2s21S0→2s2p3P0是开发高精度光钟的潜在候选体系之一[29].因此,关于B2+离子和B+离子的原子结构参数(例如能级、振子强度、电偶极极化率以及超极化率)的精确计算对于精密测量物理具有十分重要的意义.

本文采用相对论组态相互作用模型势方法(记为RCICP),计算了B2+和B+离子的能级和振子强度,进一步利用求和规则得到了B2+离子2s1/2,2p1/2,2p3/2,3s1/2态的电偶极极化率、基态2s1/2的超极化率,以及B+离子2s21S0和2s2p3P0态的电偶极极化率,得到钟跃迁2s2p3P0→ 2s21S0的黑体辐射频移,本工作结果与已有的理论结果进行详细的比较.

2 理论方法

RCICP 方法的核心思想是将原子体系简化为原子实部分和价电子部分.对于B2+离子,原子实是1s2,价电子是2s.对于B+离子,价电子是2s2.原子实的轨道波函数通过求解Dirac-Fock 方程获得.然后,用半经验极化势方法计算了价电子波函数.两个价电子的有效哈密顿量可以写成[27]

其中Z是原子序数.Vdir(r)和Vexc(r) 分别表示价电子与原子实电子之间的直接相互作用和交换相互作用.单价电子极化势Vp1(r) 可以写为

3 结果与讨论

3.1 B2+离子

3.1.1 能级

表2 列出了利用RCICP 方法计算的B2+离子基态和部分低激发态相对于原子实的能级和NIST 推荐的实验值[33].在RCICP 方法中,通过调节表1 中的截断参数ρl,j,使2s,2pj和3dj能级都非常接近于NIST 值.从表2 也可以看出,ns(n≥3),npj(n≥3),ndj(n≥4)和nfj(n≥4) 等 更高激发 态能级值与实验值也都符合得非常好,仅在小数点后第5 位有差别.例如,4 p1/2和4 p3/2的结果分别为—0.2874707 a.u.和—0.2874514 a.u.,这与实验结果—0.2875098 a.u.和—0.2874920 a.u.符合得很好.

表1 B2+离子的截断参数 ρ l,j (单位: a.u.)Table 1. Cut-off parameters ρ l,j of B2+ ions (in a.u.).

表2 B2+离子的基态和部分低激发态相对于原子实的能级,实验值(Expt.) [33]是来自于NIST 的数据(单位: a.u.),“Diff.”表示用RCICP 方法计算的结果与NIST 结果之差的百分比Table 2. Energy levels of the ground state and some low-lying states of B2+ ions relative to atomic core.Experimental values (Expt.) [33] are from the NIST data (in a.u.).“Diff.” denotes the difference in percentage from calculated by RCICP method and NIST results.

3.1.2 振子强度

从态i到态m电偶极跃迁的吸收振子强度可以表示为[34-37]

式中n,l,j分别为主量子数、轨道角动量量子数和总角动量量子数,ΔEm→i=Em-Ei表示跃迁能.D是电偶极跃迁算符,可以表示为[38-40]

表3 列出了利用RCICP 方法计算的B2+离子基态和部分激发态之间的振子强度并与相应NIST 的值[41]、相对论多体微扰(RMBPT)方法[42]以及Hylleraas 方法(HR)[43]的计算结果进行了比较.从表3 可以看出,对于2s1/2→3p1/2,2p1/2→3d3/2,2p3/2→3s1/2,2p3/2→3d3/2,5/2,3s1/2→3p1/2,3/2的跃迁,RCICP 计算的结果与NIST 值[41]以及RMBPT方法[42]的结果符合得非常好,差别小于0.1%.对于2s1/2→2p1/2,3/2,2s1/2→3p3/2,2p1/2→3s1/2,2p1/2→4s1/2,2p1/2→4d3/2,2p3/2→4s1/2,2p3/2→4d3/2,5/2,3s1/2→4p1/2,3/2的跃迁,本工作计算的振子强度与NIST 值[41]、RMBPT 方法[42]以及HR 方法[43]的计算结果差别在0.6%以内.

表3 B2+离子基态和部分低激发态之间跃迁的振子强度,“Diff.”表示用RCICP 方法计算的结果与NIST 结果[41]之差的百分比Table 3. Oscillator strengths of transitions between the ground state and some low-lying states of B2+ ions.“Diff.” represents the difference in percentage form calculated by RCICP method and NIST results.

3.1.3 极化率

原子态i的静态电偶极极化率可以表示为

其中角动量ji=1/2 的原子态的电偶极极化率与磁投影Mi无关,而对于ji >1/2 的原子态,它取决于Mi,即有标量极化率(αS)和张量极化率(αT).标量极化率和张量极化率通常定义为所有可能中间态的总和,而且包括连续态,如下式所示:

表4 列出了采用RCICP 方法计算的B2+离子基态2s1/2,以及部分低激发态2p1/2,2p3/2和3s1/2的静态电偶极极化率和占主导跃迁的贡献,并与其他理论方法计算结果进行比较.表中的“Remains”表示高激发态以及连续态的贡献,“Core”表示原子实(1s2)电子的贡献,“Total”表示总的极化率.对于基态2s1/2的静态电偶极极化率,2s1/2→2p1/2,3/2跃迁占主导,RCICP 计算的结果与full-core plus correlation (FCPC)[44],非相对论组态相互作用加核势(CICP)[45],关联组态(SCC)[46]以及完全关联高斯(FCG)[47]方法计算的结果符合得非常好,差别在0.1%以内.对于2p1/2态,贡献主要来自于2p1/2→2s1/2和2p1/2→3d3/2的跃迁,但是由于2p1/2→2s1/2吸收能为负值,这一项对2p1/2的贡献为负,因此2p1/2的电偶极极化率为负值,RCICP 计算的结果为—0.5737 a.u.对于2p3/2态的标量极化率,主要贡献来自于2p3/2→ 2s1/2和2p3/2→ 3d5/2的跃迁,RCICP 计算的结果为—0.5713 a.u.,和2p1/2态类似,由于2p3/2→2s1/2跃迁对2p3/2态极化率的贡献为负,所以2p3/2态极化率小于零.RCICP 计算的结果与CICP 方法[45]计算的结果符合得非常好,其差别在0.8%以内,这里需要指出的是CICP[45]是非相对论结果,其值仅仅是2p 态的,并不是精细能级的极化率.对于2p3/2态的张量极化率,其主要贡献来自于2p3/2→2s1/2和2p3/2→3d5/2的跃迁,分别为2.4963 a.u.与—0.2537 a.u.,RCICP 计算的结果为2.1683 a.u.,目前还没有可比较的相关数据.对于3s1/2态,主要贡献来自于3s1/2→3p1/2,3/2的跃迁,本文计算结果为182.90 a.u.,与CICP[45]方法计算的结果182.94 a.u.符合得非常好,差别在0.02%以内.

表4 B2+离子基态与部分低激发态的静态电偶极标量极化率与张量极化率以及主要跃迁的贡献(单位: a.u.)Table 4. Static electric-dipole scalar and tensor polarizability of the ground state and some low-lying state of B2+ ions and breakdowns of the contributions of individual transitions (in a.u.).

3.1.4 超极化率

根据四阶微扰理论,对于B2+离子基态2s1/2的超极化率可以简化为[48]

其中α1是基态的静态电偶极极化率,β0是电偶极极化率的一阶非绝热修正[35].T(s1/2,pj′,s1/2,pj′′)和T(s1/2,pj′,dj,pj′′) 可以表示为

表5 列出了B2+的基态2s1/2的超极化率和中间态的贡献,并与Roy 和Bhattacharya[49]使用耦合Hatree-Fock (CHF)及 Drake 和Cohen[50]使用未耦合Hatree-Fock (UCHF) 近似方法得到的经验公式计算的结果进行了比较.根据(11)式,B2+离子基态超极化率的计算由3 部分组成,分别为T(s,pj′,s,pj′′),T(s,pj′,dj,pj′′)和α1β0.为了评 估该计算结果的误差,将对超极化率有重要贡献的2s→2pj,2pj→3dj跃迁矩阵元替换为 NIST 推荐的跃迁矩阵元,将3s,3pj,4s,4pj,4dj,5s,5pj和5dj的能级值也替换成NIST 推荐值,并重新计算了超极化率(标记为γ0C(2s) ),研究发现γ0(2s) 与γ0C(2s)的结果仅仅相差 6.645 a.u.,这个差别仅占目前计算的超极化率的 0.6%.因此,采用 RCICP计算的超极化率的精度在 1%以内.在所有贡献中,与极化率相关的α1β0项贡献最大,结果 为134.364(586) a.u..RCICP 方法计算的B2+基态的超极化率结果为—1063.346(6.645) a.u.,与CHF[49]以及UCHF[50]近似方法计算的结果符合得比较好.

表5 B2+离子基态的超极化率及其中间态对超极化率的贡献(单位: a.u.)Table 5. Hyperpolarizability of the ground state of B2+ ion and the contributions to the hyperpolarizability (in a.u.).

3.2 B+离子

3.2.1 能 级

利用计算得到的B2+的单电子轨道,耦合得到B+的组态波函数,进一步全对角化了B+离子两电子组态空间的哈密顿矩阵,得到了B+离子原子态的波函数.表6 列出了基态以及部分低激发态相对于原子实 1 s21S0的能级,并与NIST 推荐的实验值[51]进行比较.从表6 可以发现,RCICP 方法计算的结果与NIST 推荐的实验值符合得非常好,差异不超过0.05%.

表6 B+基态和部分低激发态相对于原子实的能级值,实验值(Expt.) [51]是来自于NIST 的数据(单位: a.u.),“Diff.”表示用RCICP 方法计算的结果与NIST 结果之差的百分比Table 6. Energy levels of the ground state and some low-lying states of B+ ions relative to atomic core.Experimental values (Expt.) are from the NIST data (in a.u.).“Diff.” denotes the difference in percentage from calculated by RCICP method and NIST results.

3.2.2 振子强度

基于以上的能级和波函数,利用(6)式,得到了B+离子基态和部分低激发态之间的电偶极跃迁振子强度,表7 列出了本文计算结果,并与相应的NIST[41]推荐值、CICP[45]方法、B-样条基组态相互作用加核势(BCICP)方法[52]、多组态Hartree-Fock 与Breit-Pauli (MCHF-BP)方法[53]、多组态Hartree-Fock (MCHF)方法[54]计算的结果进行比较.对于2s21S0→2s2p1P1共振跃迁,RCICP 的结果与NIST 推荐值[41]和其他理论结果[45,52-54]符合得非常好,差别在0.4%以内.从表7 还可以看出,除2s21S0→2s4p1P1和2s21S0→2s5p1P1跃迁外,RCICP 方法计算的其余跃迁的振子强度与NIST 推荐值[41]之间的差别在2%以内,2s21S0→2s4p1P1和2s21S0→2s5p1P1跃迁的振子强度与NIST 推荐值[41]的差别分别约为4%和7%.造成这种差异的原因可能有3 个,其中一个是,单电子轨道是利用有限个基矢的线性组合得到的,基态的收敛性非常好,单电子高激发态的收敛性要比基态差.另外一个原因是,在本文方法中根据原子态的对称性(宇称和总角动量J)将计算分为不同的组,计算2s2p,2s3p,2s4p,2s5p 态所使用的组态空间相同,2s4p1P1和2s5p1P1的能级相对于2s2p1P1态收敛性变差,相应的2s4p1P1和2s5p1P1态到基态的跃迁振子强度与NIST 推荐值之间的相对差异变大.最后一个原因是,2s4p1P1和2s5p1P1态到基态的跃迁振子强度的值非常小.例如,对于2s21S0→2s5p1P1跃迁的振子强度,本文计算的结果是0.0224,而NIST 推荐值为0.0241.RCICP 的结果与其他理论方法[45,52-54]计算的结果也符合得比较好,除2s2p3P0→2p23P1的跃迁外,其余跃迁振子强度的差别在2%以内,2s2p3P0→2p23P1跃迁的振子强度与BCICP 结果[52]的差别小于7%.

表7 B+离子基态和部分低激发态之间电偶极跃迁的振子强度(单位: a.u.)Table 7. Oscillator strengths of electric-dipole transitions between the ground state and some low-lying states of B+ ions(in a.u.).

3.2.3 极化率

表8 所示为B+离子与钟跃迁相关的2s21S0和2s2p3P0态的静态电偶极极化率,并与组态相互作用(CI)方法[55]、组态相互作用和多体微扰理论(CI+MBPT)方法[55]、组态相互作用加全阶(CI+all-orders)方法[55]、有限场耦合簇(CCD+ST)方法[56]、CICP 方法[45]、微扰相对论耦合簇(PRCC)方法[29]、三重激发微扰的耦合簇(CCSDpT)方法[57]以及瑞利-里兹变分(RRV)方法[58]计算的结果进行比较.从表8 可以看出,对于2s21S0态的极化率,2s21S0→2s2p1P1的跃迁占主导,贡献约为93%,RCICP 的结果与CI+all-orders 方法[55]、CI[55]、CI+MBPT[55]、CCD+ST[56]、RRV[58]以及CICP[45]方法的结果差别不超过0.6%,与PRCC[29]结果差异在2%左右,与CCSDpT[57]结果的差异在7%之间.对于2s2p3P0态的极化率,2s2p3P0→2p23P1的跃迁和2s2p3P0→2s3d3D1的跃迁占主导,贡献分别约为56%和24%.目前RCICP 结果与CI[55],CI+MBPT[55],CI+all-order[55]以及CICP 方法[45]计算的结果差异不超过0.3%.

表8 B+离子2s21S0 和2s2p 3P0 的电偶极极化率Table 8. Electric-dipole polarizability of 2s21S0 and 2s2p 3P0 states of B+ ions.

与温度T有关的BBR 频移可以写为

式中,Δα1是跃迁初末态的静态电偶极极化率之差,系数η是一个可以忽略的微小的动态修正[20].T是环境温度(K),当T为室温300 K 时,钟跃迁2s2p3P0→2s21S0的BBR 频移为0.01605 Hz,与CI+MBPT[55]方法计算的结果0.0159(16) Hz 符合得非常好,该BBR 值比Ca+,Sr+离子钟跃迁2D5/2→2S1/2的BBR 频移(Ca+: 0.38(1) Hz[59],Sr+:0.250(9) Hz[60])小1 个数量级,比Ca,Sr,Yb 原子钟的跃迁3P0→1S0的BBR 频移 (Ca: 1.171 Hz,Sr: 2.354 Hz,Yb: 1.25 Hz)小2 个数量级[20].这一特性对B+离子钟的研究具有重要意义.

4 结论

利用相对论组态相互作用模型势方法计算了B2+和B+离子的波函数、能级和振子强度,进一步得到了B2+离子2s1/2,2p1/2,2p3/2,3s1/2态的电偶极极化率和基态2s1/2的超极化率,以及B+离子2s21S0和2s2p3P0态的电偶极极化率,并与其他理论结果进行比较,本文结果与已有结果符合得非常好.对于B2+离子2p1/2和2p3/2态的极化率为负值,是因为2p1/2,3/2→2s1/2跃迁的吸收能为负值,这项对2p1/2和2p3/2态的极化率的贡献都为负.对于2p3/2态的张量极化率,其主要贡献来自于2p3/2→2s1/2和2p3/2→3d5/2的跃迁,分别为2.4963 a.u.和—0.2537 a.u.,RCICP 计算的结果为2.1683 a.u..基态2s1/2的超极化率的贡献主要来自于与极化率相关的α1β0项.对于B+离子基态2s21S0的偶极极化率是9.6220 a.u.,2s2p3P0态的偶极极化率是7.7594 a.u.,计算的钟跃迁2s2p3P0→ 2s21S0的黑体辐射频移是0.01605 Hz,这个黑体辐射频移比碱土金属原子的钟跃迁黑体辐射频移小1—2 个数量级.