刘丽萍，袁丽芸，雷海霞

（1.广西科技大学 机械与汽车工程学院，广西 柳州545006 ；2.广西汽车零部件与整车技术重点实验室，广西 柳州 545006）

0 引言

桥式吊车作为一种典型的欠驱动系统，在实际工程中应用极其广泛。国内起重机吊车运行控制大多依赖有经验的操作人员人工操作，无法绝对保证操作得当，且效率低下。此外，在吊车运动过程中负载摆动不仅会对吊车系统工作效率有一定的影响，还存在与周围的操作人员发生碰撞所引起的安全隐患。因此，桥式吊车系统工作过程中负载摆角的抑制也引起了广泛关注。部分学者对桥式吊车系统消摆策略进行了研究[1]。其中，将负载和吊钩视为一整体系统，用单摆模型描述桥式吊车系统的运动规律，从而对该类系统进行控制策略的研究与仿真分析是一种最常见简单实用的方式[2]。基于此模型，研究人员提出了负载摆动的抑制方法，主要有最优控制[3]、轨迹规划[4]等基于吊车线性化模型的方法；状态耦合增强[5]、滑模控制[6]等非线性控制方法；模糊控制[7]、神经网络自适应控制[8]等智能控制方法。但是上述文献均未见对绳长给系统带来的影响有深入探讨。

因此，本文拟采用单摆模型，结合Simulink 对吊车工作过程进行数值模拟，比较了三种常用加速度输入信号作为台车规划轨迹时的优劣，从而确定最优参考轨迹。并在不同绳长下，通过加（减）速时间、运行总时间、摆角等参数的对比，深入探讨绳长变化给单摆模型中台车和负载运动带来的影响。

1 问题描述

桥式吊车单摆系统模型如图1 所示，其动态特性可用以下方程组描述[9]：

图1 桥式吊车单摆系统示意图

式中，M为台车质量，m为负载质量，l为吊绳的长度，g表示重力加速度，x和θ分别表示台车位移和负载相对于竖直方向的摆角，为摆角速度和分别为其相应加速度，F表示作用于台车上的合力，即驱动力Fa（t）和阻力Frx（t）的合力。式（1）表达系统的台车驱动方程，式（2）表达负载无驱动方程，桥式吊车单摆系统由二者耦合而成。当台车加速度恒定时，可得摆角为[9]：

由（3）式不难得到驱动系统在台车三段式运动时系统的固有频率ωn和周期以及台车运动轨迹的加（减）速时间、匀速时间、运行总时间，具体数据参见文献[9]。

2 基于Simulink 的单摆桥式吊车系统运动学模型仿真

由式（2）出发，忽略摩擦力的影响，选取台车的加速度作为可实时调控的输入参数，对其进行二次积分可得台车的台车的规划轨迹和负载摆动的角加速度、角速度和摆角。由此建立系统摆角的Simulink 仿真模型如图2 所示。

图2 基于Simulink 的桥式吊车单摆系统仿真模型图

为了验证图2 给出的仿真模型的正确性，文献[9]给出的具体算例，取g= 9.8 m/s2，台车的目标位置、最大速度和加速分别为Pdx= 4 m、υub= 1.0 m/s、aub=0.5 m/s2，绳子最大摆角θub= 5°，l= 1.2 m。台车加速度选取三段式矩形信号输入，通过Simulink 仿真，可得到台车运动位移、运动加速度和负载摆角如图3所示，图中带三角符号为根据文献[9]给出的解析表达式给出的值，点直线为根据本文Simulink 仿真所得结果。

图3 三段式台车轨迹示意图

由图3 知，采用simulink 仿真模型所得台车的运动规律符合文献[9]给出的理论解。此外，负载的摆动角度在正负值间来回振荡，且随着时间增加，趋势并没有明显的减弱倾向，表明负载难于消摆。

3 参数化讨论与仿真分析

3.1 模型验证

根据文献[9]的基于相平面几何分析的轨迹规划方法可知，三种不同参考加速度轨迹作为台车输入参对系统状态有一定影响。采用Simulink 对其进一步分析对比，结果如图4 所示，第三种参考轨迹最优。

图4 三种加速度规划轨迹下系统运动状态示意图

3.2 参数讨论

为了进一步探讨绳长变化对吊车系统输出状态的影响，采用文献[9]轨迹进行仿真，结果如图5 所示。由图5 可知，随着绳长增加，台车轨迹规划的最大加速度呈非线性减小的趋势，台车运动到目标位置所需加速时间及总时间均呈非线性增大，系统固有频率呈非线性减小。说明绳子越长，抑制摆动所花的时间成本越高，且系统抗干扰能力越差，较小频率的扰动极其容易让系统失稳。

图5 台车运动轨迹控制参数随绳长变化曲线

为了进一步对得到绳长变化下的系统状态，选取四组绳长数据进行仿真比对，结果如图6 所示。从图中可以看出，小车运动轨迹区别不大，但绳子越长，摆角震荡越厉害。并且停止输入加速度信号后，负载的残摆没有明显减弱的趋势，说明基于参考轨迹的控制消摆策略在绳子较长时效果有待提高。

图6 四种不同绳长下台车和负载摆动轨迹对比

4 结语

根据负载与台车之间的单摆模型给出的耦合关系，结合MATLAB 中的Simulink 建立了单摆吊车系统仿真模型，并对其运动进行了仿真分析，探讨了绳长变化对台车轨迹规划参数和负载摆动抑制的影响。结果表明，吊绳越长，台车运行时间成本也越大，负载的残余摆动也越难得以抑制，当吊绳较长时，采用该单摆模型对负载摆动进行抑制，控制器的设计难度较大，需要考虑更为精确的系统模型进行设计。