陈 彦, 王 威

(扬州职业大学, 江苏 扬州 225009)

《理论力学》中运动学部分关于点的变速曲线运动给出了点的速度、切向加速度、法向加速度和全加速度的一般计算公式[1],但经典的例子不是很多,只有一道摆线(或旋轮线)和一道阿基米德螺线的例题。由于变速曲线运动本身的复杂性,所以必须和一般曲线的几何性质结合起来加以研究。对数螺线是质点切向、法向加速度均为常数的平面运动轨迹[2-3]。质点能不能以等角速度绕固定点转动的同时又沿着对数螺线运动?邵云以匀速转动的水平光滑直管内小球的离心运动为例给出了肯定的答案[4],但是并没有给出质点速度和加速度的一般计算公式,也没有清楚地阐明质点分别在自然轴系、极坐标系和动参考系中速度矢量和加速度矢量的内在统一性以及和对数螺线的几何性质有何关联,笔者针对这些问题进行分析讨论。

1 质点沿对数螺线运动的速度与加速度公式

对数螺线在极坐标系(ρ,θ)下的一般方程为:

ρ=aebθ(a>0,b≠0)

(1)

它的图形如图1所示,从起点A(ρ=a,θ=0)出发,逆时针转向,随着极角的增大,当b>0时,越绕越远离极点;当b<0时,越绕越靠近极点而永远达不到极点。对数螺线最重要的几何性质就是等角性,即曲线上任意一点的切矢与径矢成固定角度α=arccot(b)(0<α<π,α≠π/2),α为对数螺线的倾斜度,所以对数螺线又叫等角螺线。

图1 对数螺线

1.1 质点沿对数螺线运动的速度

将对数螺线在极坐标系下的方程转化为直角坐标系下以θ为参数的参数方程[5]如下:

(2)

如果质点从起点A(ρ=a,θ=0)开始绕极点等角速度转动,并且沿着对数螺线运动,设角速度为ω,以逆时针转动为正,顺时针转动为负,从而θ=ωt,先将其代入方程(1),得到极径ρ与时间t的关系式(3),再代入……