陈红赞

摘  要：“指数”的教学难点主要在于师生对其本质理解不到位，破解难点的关键是要理解并运用好指数的推广路径和原则. 据此现实需求，从指数幂推广的路径、定义单位分数指数幂是逻辑基础、在直观感知的基础上依据数系扩充原则形成正分数指数幂的意义、对于无理数指数幂关注的是其存在性四个方面对“指数”教学内容的本质进行了分析，并分析了教师对“指数”教学内容的认知现状. 在此基础上概述了教学实施过程，特别是描述了这样展开教学之后激活的学生智慧及其表现.

关键词：指数；分数指数幂；数系扩充原则

“指数”是人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册（以下统称“人教版教材”）第四章“指数函数与对数函数”的起始课，一直是高中数学教学中的一个难点，教师在教学中习惯性的做法是在带领学生学习公式后便进行大量练习. 在多年的教学中，笔者一直没有真正理解，甚至没有思考过怎样去理解它. 在最近的一次教研活动中，我们对教材、教师用书、课程标准及相关文献进行了反复研究，终于破解了这个难点，即理解数系扩充的原则，并在教学中将其显性化，帮助学生理解其中蕴含的数学思维.

一、对“指数”教学内容本质的理解

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）在“教学提示”中强调：指数函数的教学，应关注指数函数的运算法则和变化规律，引导学生经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数函数的运算法则和变化规律.《标准》是将指数幂的拓展过程作为指数函数研究的一部分，把指数幂的运算法则看成指数函数的性质，因此指数幂的学习具有重要意义.

在初中数学课程中，数系已经扩充到实数，但指数幂的定义只推广到整数指数幂，“指数”一课的教学任务就是要把指数幂从整数指数幂推广到实数指数幂.

1. 指数幂推广的路径

指数幂的推广实质上是将指数的范围进行逐步推广，使其对任意实数都有意义，即将[ax]的指数[x]的范围从整数逐步推广到实数. 推广的原则与数系扩充的原则基本一致，据此可以确定如图1所示的推广路径.

[整数指数幂[分数指数幂]有理数指数幂[无理数指数幂]实数指数幂][图1]

在推广过程中要使在扩大范围内的指数幂运算性质与原来的指数幂运算性质保持一致，此即数系扩充过程中运算性质的相容性.

2. 定义单位分数指数幂是逻辑基础

人教版教材将上述途径作为一条暗线，采取了以下的探究方法.

3. 在直观感知的基础上依据数系扩充原则形成正分数指数幂的意义

4. 关注无理数指数幂的存在性

对于无理数指数幂的意义，在高中阶段只能直观感知. 那么，当[x]是无理数时，[ax]的意义是什么，它是否为一个确定的数？如果是，它有什么运算性质？对此，可以利用初中阶段借助有理数认识无理数的学习经验，通过有理数指数幂认识无理数指数幂，即用有理数指数幂夹逼无理数指数幂.

与有理数指数幂相比，无理数指数幂的研究重点是不同的，我们更关注无理数指数幂的存在性及其特有的性质.

二、“指数”教学中教师的认知问题分析

“指数”教学中出现的问题，大多数是由教师的认知不到位造成的. 只抓显性知识，在教学中的具体表现是重知识结论和公式应用，不关注数系扩充的原则，缺乏对代数原则的认知，不注重原则形成过程中的逻辑推理.

学生在初中阶段经历了从正整数指数幂到整数指数幂的推广过程，学习了整数指数冪及其运算性质，积累了一定的数系扩充经验，这为“指数”一课的学习奠定了一定的基础. 但在实际教学过程中，教师把更多的注意力集中在具体运算上，对数系扩充的原则，指数幂的含义和运算性质等缺乏必要的关注，导致师生都不清楚从整数指数幂到有理数指数幂推广的整体架构及遵循的原则. 因此，教师对从哪里入手推广、按怎样的逻辑顺序展开、每个环节如何实施才能做到逻辑严谨等都比较茫然，进而导致学生的被动学习.

“指数”的教学关键是“定原则”，着力点在于指数幂[ax]的指数[x]的范围扩充后的意义，内容抽象且逻辑性强. 基于这样的现状，此次教学中注重引导学生回顾正整数指数幂到整数指数幂的推广过程，揭示数系扩充的原则，通过具体例子的讲解，帮助学生理解数系扩充的原则，使学生借助适当的类比对象展开学习，促进学生的深度思考.

三、数系扩充原则指引，开启智慧教学

1. 数系扩充原则指引，确定研究套路和研究方法

对于“指数”一课的教学，一方面，要衔接第三章“函数的概念与性质”的内容，借助第三章学习过程中构建的研究函数的基本套路展开对本节课内容的探究. 为此，教师先引出本节课的教学内容.

引言：我们已经学习了函数的概念和性质，并初步应用它研究了幂函数. 大千世界中有很多现象和规律都可以用函数刻画. 从本章开始，我们将利用上一章所学的知识、方法和经验研究几个具体的函数.

另一方面，要发挥章引言的作用，引领学生了解本章内容的整体架构，为此设计问题1.

问题1：阅读人教版教材第103页的章头图和章引言，本章将要学习的内容是什么？涉及哪些函数？可以解决哪些现实问题？

通过阅读，使学生了解本章学习的基本内容是指数函数和对数函数这两类基本初等函数，以及其基本性质和应用. 细胞分裂、人口增长、放射性物质的衰减、测定遗址的年代等现实问题都可以利用这两类函数构建数学模型来刻画它们的变化规律.

接下来设计追问，确定本单元的研究套路.

追问：为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到实数. 大家在初中阶段已经学过整数指数幂，类比数系的扩充，你觉得指数幂的拓展路径是什么？拓展的原则是什么？

通过师生交流，形成共识：拓展路径是将指数幂由整数指数幂拓展到有理数指数幂再拓展到实数指数幂. 关键是解决分数指数幂和无理数指数幂意义的建构.

拓展原则是使原来的运算性质在新的数系中仍然成立，即满足运算性质的相容性.

学生容易得出指数幂的拓展路径，但对拓展的原则比较模糊. 在实际教学过程中，只有一名学生提到“运算法则应该不变”. 对此，教师以初中阶段学习的正整数指数幂到负整数指数幂的推广为切入点，为学生举例讲解指数幂拓展过程中运算性质的相容性的含义.

通过这个示例的讲解，学生了解了运算性质的相容性的含义，明确了接下来要研究的内容和依据，并在研究过程中不断感悟这种相容性.

2. 一般观念指导，形成概念和性质

定义一个数学对象，要从情境出发，经历观察、比较、分析、抽象的过程，得到其本质属性. 例如，n次方根的情境是低抽象度的数学（如二次方根、三次方根等），在此基础上形成定义，并用根式[an]表示实数a的n次方根. 定义了一个数学对象，就要研究其组成元素间的关系，根据代数的性质是运算中的不变性，可以先引导学生利用定义计算[533]，[533]，[-544]等，观察其化简结果，再根据定义得出根式的性质[ann=a，] 进一步化简[ann].

3. 数系扩充原则指引，理解分数指数幂的意义

对于根式的被开方数的指数和根指数，存在可以整除和不可以整除两种情况. 为了讨论问题方便，同时不失一般性，我们先将根式的被开方数限定在正数范围内. 根据[n]次方根的定义和数的运算，可以得到

这就是说，当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式. 那么，当根指数不能整除被开方数的指数时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？教师以[b]为例引导学生进行分析.

可见，[b=b12]合理的前提是整数指数幂的运算性质[akn=akn]在分数指数幂的运算中仍然成立，这体现了运算性质[的相容性]. 这种相容性为运算带来极大的方便，也说明了[n]次方根表示为分数指数幂的合理性.

继而让学生通过类比，直接将[a23]，[c54]写成分数指数幂的形式. 这就突破了指数推广过程中的难点，学生真正理解了数系扩充的相容性原则. 之后，通过阅读获得正分数指數幂、有理数指数幂的意义即可.

4. 探究无理数指数幂的重点是理解其存在性

在这一教学环节，教师引导学生类比认识无理数[2]的过程，设计方案，并借助软件解释[52]的意义，从“不足近似值”和“过剩近似值”两个方向，带领学生经历了用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程. 然后，在数轴上表示这些“不足近似值”和“过剩近似值”的对应点，发现这些点逼近一个确定的点，其对应的数就是这个无理数指数幂，从而理解了无理数指数幂.

5. 一般观念指引，激活学生的智慧

在课堂小结环节，教师引导学生梳理本节课内容的研究过程. 有学生提出了将指数从整数范围拓展到分数的思路，如图3所示.

这个思路源于本节课的引言，在引言中延续幂函数的学习，规定了[S]=[S12]. 按照教师的预设，是要将它作为本节课的课后作业布置给学生思考，但学生自己能提出这个问题，真是意料之外的惊喜.

基于学生的发现，教师顺势提问：图3中方框内的规定合理吗？是如何推导出来的？学生在独立思考的基础上经过小组合作探究，利用根式的性质及数系扩充过程中运算性质的相容性，给出了如图4所示的推导过程.

至此，作为执教者，笔者深感欣慰. 由此可见，教师在厘清教学内容本质的基础上展开教学，学生也会迸发出他们的智慧.

四、教学反思

指数定义的推广是数系扩充的一部分，在每次扩充的过程中，都遵循着同一个原则，即在扩充的数系中依然保有各个运算律，因为这些运算律是数系有用、好用的根基所在. 类似地，在指数幂的每一次拓展过程中，也都遵循着同一个原则：原有的指数幂运算性质适用于拓展后的指数幂运算，也就是说将指数的范围从整数拓展到实数后，其运算性质保持不变.

通过这次教研活动，笔者深刻感受到：在进行教学前，要深入研读教师用书，深刻体会教材的编写意图和育人功能. 每读一遍，都如同在与编者对话.《标准》、教材都是“理想课程”，必须通过课堂教学才能转化为数学育人的行动. 课堂教学是落实核心素养的关键，而教学设计则是衔接课程标准、教材和课堂教学的桥梁. 为此，教师在备课时要注重数学内容的本质，设计高质量的问题，调动学生的深度思考与探究，保证课堂教学的数学品位，充分发挥数学学科的育人功能，让学生数学核心素养的提升水到渠成.

参考文献：

［1］章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］. 上海：华东师范大学出版社，2021.

［2］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］薛红霞.“一般观念”指引实现高质量教学：“函数y = Asin[ωx+φ]的图象”教学点评［J］. 中国数学教育（高中版），2022（4）：36-41.