何春强

摘  要：通过不放回摸球试验，利用建立二项分布模型积累的数学活动经验，带领学生经历抽象试验特征、推导分布列、直观猜想并计算、验证超几何分布随机变量均值的过程，引导学生辨析二项分布与超几何分布的联系与区别，帮助学生积累建立概率模型的经验，体会概率的决策作用.

关键词：不放回抽样；超几何分布；区别与联系

一、教学内容解析

“超几何分布”是人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第三册（以下统称“教材”）第七章第4节“二项分布与超几何分布”第2课时的内容.“超几何分布”是统计学中的一种离散型随机变量的概率分布，与二项分布一样，都是描述从有限（[N]）个物品（其中包含[M]个指定种类的物件）中抽出[n]个物品，成功抽出该指定种类物品次数的概率分布情况. 不同的是，二项分布采用有放回抽样，超几何分布采用不放回抽样. 因其概率形式与超几何函数的级数展开式的系数有关，故称为超几何分布.

超几何分布与二项分布都是特殊的离散型随机变量的分布，在日常生活中大量存在，它们有着相同的数学期望，但抽取方式不同，超几何分布更集中在均值附近. 但是当[n]远远小于[N]时，每抽取一次后，放回与不放回对[N]的影响都很小，此时，超几何分布与二项分布近似.

“超几何分布”一课内容的学习安排在一般离散型随机变量及其分布列之后，紧接二项分布，通过具体实例，引导学生感受放回抽样与不放回抽样的联系与区别，这种从一般到特殊、从抽象到具象的辨析对比，关注了学生的数学抽象和逻辑推理素养，同时实现了对本章知识的深度理解和完美总结.

二、教学目标设置

通过对比放回抽样和不放回抽样，说明超几何分布的特征，能求超几何分布的分布列和均值，发展学生的数学建模和数学抽象素养；能用自己的语言解释二项分布和超几何分布的联系与区别，并能够选择正确的模型解决实际问题，发展学生的数学建模素养.

教学重点：超几何分布的概念，超几何分布的分布列和均值.

教学难点：在实际问题中抽象出模型的特征；超几何分布期望的推导及区分二项分布和超几何分布.

三、学生学情分析

学生在学习本节内容之前，已经完整地学习了一般离散型随机变量及其分布列的内容，明确了研究离散型随机变量及其分布列的一般方法. 同时，通过对二项分布的学习，学生对有放回摸球试验已经非常熟悉，这些都有利于我们进行不放回摸球试验的教学. 但是超几何分布的概率依托于古典概型，要借助组合数进行计算，特别是对超几何分布的数字特征进行研究时，公式推理比较复杂，计算量也比较大. 另外，在对二项分布和超几何分布进行对比分析时，要求学生具有较强的数学建模和数学抽象的能力. 对此，通过设置有趣的情境案例，借助PPT、Excel等软件激发学生的学习兴趣，提升数学运算效率，让学生直观感受二项分布和超几何分布的联系与区别.

四、教学策略分析

为了便于教学的顺利切入和展开，本节课从一个有趣的生活案例引入，通过对有放回和不放回两种抽奖方式的对比分析，在学生作决策的过程中自然地提出超几何分布的概念，并在此基础上引导学生猜想、推理、论证超几何分布的均值. 再通过一个数据较大的摸球模型，借助Excel软件的计算功能，让学生感受超几何分布和二项分布的联系与区别. 通过从特殊到一般再到特殊的层层推进，设计问题串教学，以问题的提出与解决为主线，始终在学生思维的最近发展区设问，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中完成超几何分布的探究与学习. 有效化解教学的重点和难点.

本节课采取启发式教学和合作探究相结合的教学策略，充分调动学生探究的积极性，使每名学生都能经历数学模型的抽象过程，为不同认知的学生提供学习的机会和帮助.

五、教学过程设计

环节1：实例引入，提出问题.

问题1：购物节即将来临，某商家拟推出一项抽奖活动：在一个不透明的盒子里放有外观相同的10个乒乓球，其中有3个乒乓球的表面上写有“奖”字，顾客消费满500元便可获得两次抽奖机会，每次从盒中任意摸取一个球，抽中带有“奖”字的乒乓球，可以获得50元代金券. 现有两种抽奖方式可供选择——有放回抽奖和不放回抽奖，试利用所学数学知识，作出合理的决策方案.

师生活动：每组学生分成两个小组，分别进行有放回抽奖和不放回抽奖两种方案有关数据的计算，然后再进行小组讨论，作出合理的决策方案. 教师适时进行指导.

记中奖的次数为[X]，奖金为[Y]元，则[Y=50X].

事实上，若采用有放回抽奖，每次中奖的概率均为0.3，且各次抽取的结果相互独立，此时[X]服从二项分布，即[X?B2，0.3，EX=2×0.3=0.6，EY=][50EX=30]，[DX=2×0.3×0.7=0.42].

若采用不放回抽奖，则每次抽取时条件不同，且各次抽取的结果不独立，不满足[n]重伯努利试验的特征，此时[X]不服从二项分布，只能根据古典概型求[X]的分布列. 而在不放回抽奖过程中，逐个不放回抽取2个乒乓球和一次性抽取2个乒乓球结果相同，故可以用如下方法求[X]的分布列.

从10个乒乓球中任取2个共有[C210]种不同的取法，中奖个数[X]的可能取值为0，1，2，恰有[k]个中奖的取法有[Ck3C2-k7]种.

因为两种抽奖方式获得代金券的数学期望值都是30，但不放回抽奖的方差更小，所以选择不放回抽奖方式.

【设计意图】通过具体的问题情境，激发学生的学习兴趣. 学生积极思考并参与互动，表达自己的见解，教师借机引入超几何分布的概念.

环节2：抽象概念，辨析内涵.

问题2：问题1中不放回抽奖方式不服从二项分布，你能说说这类不放回简单随机抽样的特征吗？你能根据这些特征嘗试归纳出这一类分布的概念吗？

追问1：公式[PX=k=CkMCn-kN-MCnN]中各个字母的含义是什么？

追问2：公式[PX=k=CkMCn-kN-MCnN]中有关字母的取值范围是什么？

师生活动：学生观察、比较问题1中的有放回抽样和不放回抽样，归纳出超几何分布模型的特征，教师进行总结.

一般地，假设一批产品共有[N]件，其中有[M]件次品. 从[N]件产品中随机抽取[n]件（不放回），用[X]表示抽取的[n]件产品中的次品数，则[X]的分布列为[PX=k=]

其中，[N]表示总体中的个体总数，[M]表示总体中的特殊个体总数（如次品总数），[n]表示样本容量，[k]表示样本中的特殊个体数（如次品数）.

【设计意图】通过比较有放回抽样和不放回抽样，归纳出超几何分布模型的特征，由特殊到一般地得出超几何分布的分布列，加深学生的理解和思考.

例1  一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.

师生活动：教师引导学生思考零件中不合格品的个数服从什么分布. 若服从超几何分布，则公式中的[N，M，n，k]在此题中各是多少？学生基于思考给出以下解题过程.

在学生完成解题后，引导学生发现还可以通过[PX≥1=1-PX=0]求解. 并再次强调超几何分布的模型是不放回抽样，在超几何分布中，只需要确定参数[N，M，n]的值就可以根据公式求出[X]取不同值时的概率.

【设计意图】通过该例的分析与解答，促进学生进一步理解超几何分布的概念及其特点，发展学生的逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算素养.

问题3：根据已有经验，在定义了超几何分布的概念后，要研究什么？

追问：你能推导出服从超几何分布的随机变量的均值吗？

师生活动：学生独立探究，然后展示、交流，教师予以引导、完善，最后师生共同总结.

超几何分布的方差计算比较复杂，不作要求，感兴趣的学生可以尝试推导：[DX=np1-pN-nN-1].

【设计意图】通过探究服从超几何分布的随机变量的均值，加深学生对超几何分布的认知，同时发展学生的逻辑推理能力.

环节3：例题练习，巩固理解.

例2一个袋子中有100个大小相同的小球，其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本. 用[X]表示样本中黄球的个数.

（1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求[X]的分布列及其数学期望；

（2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差的绝对值不超过0.1的概率.

师生活动：教师引导学生思考以下问题.

（1）此题中每次摸球是什么试验？

（2）若采用有放回摸球，则各次试验的结果独立吗？[X]服从什么分布？

（3）若采用不放回摸球，则各次试验的结果独立吗？[X]服从什么分布？

因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利试验. 摸出20个球，若采用有放回摸球，则各次试验的结果相互独立，[X]～[B20，0.4]；若采用不放回摸球，则各次试验的结果不独立，[X]服从超几何分布.

（1）在抽样试验（如抽次品或摸球模型）中，二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的[n]件产品中次品数的分布规律，有放回抽取服从二项分布，不放回抽取服从超几何分布. 两种分布的均值相同，但由于[np1-pN-nN-1

（2）对于超几何分布，当[N]充分大，且[n]远远小于[N]时，各次抽样结果彼此影响很小，可以近似认为是相互独立的. 因此，超几何分布可以用二项分布近似. 从方差角度看，由于[N-nN-1≈1]，故两个分布的方差也近似相等.

（3）在确定分布列时，超几何分布必须同时知道[N]和[M]的值，而二项分布只需要知道[p=MN]即可.

【设计意图】通过问题辨析，深化学生对超几何分布的理解，明确二项分布和超几何分布的联系与区别，发展学生的逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算素养.

环节4：小结提升，形成结果.

问题5：回顾本节课所学内容，并回答下列问题.

（1）超几何分布的分布列是怎样的？

（2）超几何分布的均值是多少？

（3）在抽样试验（如抽次品或摸球模型）中，如何区分二项分布和超几何分布？

师生活动：学生尝试独立解决，其他学生进行补充，最后师生共同总结.

【设计意图】通过对问题的深入思考，加深学生对超几何分布的理解与认知，使他们更加深刻地体会二项分布和超几何分布的联系与区别.

环节5：目标检测，检验效果.

1. 下列随机事件中的随机变量[X]服从超几何分布的是（    ）.

（A）将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数[X]

（B）从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数[X]

（C）某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为[X]

（D）盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，[X]是首次摸出黑球时的总次数

2. 已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为______.

3. 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：

（1）不放回抽样时，抽取次品数[ξ]的均值；

（2）有放回抽样时，抽取次品数[η]的均值.

【设计意图】第1题和第2题检测学生对本节课重点内容的理解和掌握程度，检查学生能否准确识别超几何分布模型，能否求出超几何分布的分布列和数学期望；第3题检测学生对二项分布和超几何分布区别的理解程度，是对本节课难点知识教学效果的即时检测.

环节6：布置作业，应用迁移.

作业1：举出一个服从超几何分布的随机变量的例子.

作业2：教材第81页习题7.4第4题、第6题和第8题.

【设计意图】通过自主举例作业题的布置，加强学生对超几何分布概念的理解；通过教材习题强化学生对本节课所学知识的掌握，进一步提升学生的数学抽象和数学建模素养.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［3］章建躍. 高中数学教科书教学设计与指导（选择性必修第三册）［M］. 上海：华东师范大学出版社，2022.