■江苏省无锡市第三高级中学 孙 磊

高考中不等式选讲部分主要考查:不等式的基本性质,含有绝对值的不等式的解法与证明,不等式的证明方法,以及柯西不等式、排序不等式、算术—几何平均不等式的应用等,有时也直接渗透必修部分。

一、不等式的求解问题

不等式的求解问题主要涉及含有绝对值的不等式的求解与应用,关键就是将含有绝对值的不等式转化为函数表达式或利用绝对值不等式的性质加以转化,结合一次不等式、二次不等式及对应的不等式组加以求解与应用。

例1(2022年广西桂林市、梧州市高考数学调研试卷)已知函数f(x)=

(1)若a=1,求不等式f(x)≤3的解集;

分析：(1)当a=1时,根据绝对值不等式得出函数f(x)的分段函数表达式,再分类讨论就能求出不等式f(x)≤3 的解集;(2)根据条件推导出函数的表达式,再对关于a的不等式分类讨论解含绝对值不等式,即可求出a的取值范围。

综上可得,a的取值范围为(3-2 2,1)。

点评:此类问题主要考查绝对值的性质,含有绝对值不等式的解法,以及分类讨论思想、数学运算能力等。涉及绝对值不等式的求解问题,关键是充分理解绝对值的几何意义,并能利用绝对值不等式的几何意义加以转化,有时也通过函数、方程的相应知识来处理对应的不等式问题。

二、不等式的证明问题

不等式的证明问题主要涉及分析法、综合法与反证法的应用,以及绝对值三角不等式、算术—几何平均不等式、柯西不等式等重要不等式的应用等。

例2(2022 届陕西省高三下学期二模预测数学试题)设x,y,z为正实数,且x+y+z=4。

分析：(1)由已知题设中的关系式进行恒等变形,进而结合基本不等式加以分析与证明;(2)利用柯西不等式进行降幂处理,将二次关系式转化为一次关系式的平方问题,进而得以证明对应的不等式成立。

点评:巧妙利用基本不等式或柯西不等式来合理分析与证明,是不等式证明中最常用的两类重要不等式。基本不等式法是处理双变元代数式的最值、取值范围或不等式成立等方面最常用的一个技巧方法;柯西不等式法是解决多变元的平方关系式背景下的最值问题时比较常用的一种技巧方法,关键是合理配凑使得等号成立时相应的系数。

三、不等式的求解与证明的综合问题

巧妙创设问题背景,将不等式求解与不等式证明加以综合,同时实现数学运算与逻辑推理等不同数学能力的设置与应用,从更广阔的视角来设置问题,全方面、多视角考查同学们的解题能力。

例3(2022 年贵州省黔东南州高考数学一模试卷)已知函数f(x)=|3x-1|+|3x+3|。

(1)求不等式f(x)≤11的解集;

(2)若a+b=1,证明:f(a)+f(b)≥10。

分析：(1)根据条件,结合含有绝对值的函数关系式,利用零点分段法加以分类讨论,得以求解不等式f(x)≤11;(2)根据f(a)+f(b)=|3a-1|+|3a+3|+|3b-1|+|3b+3|,利用绝对值三角不等式加以转化,即可证明f(a)+f(b)≥10。

点评:此类试题巧妙将绝对值不等式的求解及绝对值三角不等式的证明加以巧妙融合,将不等式求解与证明加以合理搭配,实现数学运算与逻辑推理的交汇,以及分类讨论思想和转化思想等的应用。

四、不等式的恒成立问题

不等式的恒成立问题往往是涉及含参的函数或不等式问题,借助不等式恒成立来合理创设,结合等价转化进行恒等变形,进而求解函数的最值、参数的最值范围等相关知识,是知识与能力的进一步综合与应用。

例4(2022 届江西省九江市第三次高考模拟统一考试数学试卷)设函数f(x)=|x-a|(a∈R)。

(1)若关于x的不等式f(x)+f(2-x)≥4恒成立,求a的取值范围;

(2)在平面直角坐标系xOy中,f(x)+f(y)≤1所围成的区域面积为S,若正数b,c,d满足(b+d)(c+d)=S,求b+2c+3d的最小值。

分析：(1)根据绝对值不等式的性质,通过巧妙变形,使得相应的不等式恒成立,进而构建相应的不等式,通过解绝对值不等式,即可求出结果;(2)根据题意作出围成的区域,平面区域由一个正方形及其内部组成,结合正方形的边长来确定关系式的值,对代数式进行变形转化,并利用基本不等式即可求出结果。

图1

点评:此类涉及含有绝对值的函数的最值及含有绝对值的不等式恒成立问题,关键是通过等价转化,去掉绝对值符号,利用不等式的性质或不等式的求解来进一步分析与处理。对于不等式恒成立问题的切入就是等价转化,并结合函数与方程、不等式的性质等来综合求解。

不等式选讲部分的试题难度中等,重点考查代数运算与逻辑推理等核心素养,以及分类讨论思想、函数与方程思想及化归转化思想等。